Slide - Mais Exemplos de Subespaços Vetoriais 2022 2

Subespaços Vetoriais (Mais Exemplos) Seção 4.2 - Subespaços Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. Em resumo, para identificar se um conjunto W é subespaço de um espaço vetorial V, devemos verificar: 1) se W ⊆ V ; 2) se as operações de soma  e multiplicação por escalar ❊ definidas em V são as mesmas de W; 3) se a soma  herdada de V é fechada em W; 4) se a multiplicação por escalar ❊ herdada de V é fechada em W. Subespaços Vetoriais (V, , ❊) (W, , ❊) 2 Já vimos na aula de espaços vetoriais que Mnn = conjunto de todas as matrizes com coeficientes reais de ordem n munido com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar de matrizes é um espaço vetorial. Pode ser mostrado que cada conjunto a seguir é subespaço de Mnn : ▪ Sn = conjunto de todas as matriz simétricas de tamanho nxn; ▪ Tsn = conj. de todas as matrizes triangulares superiores de tam. nxn; ▪ Tin = conj. de todas as matrizes triangulares inferiores de tam. nxn; ▪ Dn = conjunto de todas as matrizes diagonais de tamanho nxn. pois em cada um desses conjuntos, a soma e multiplicação por escalar destas matrizes específicas são fechadas. Subespaços de Mnn Já vimos na aula de espaços vetoriais que Mnn = conjunto de todas as matrizes com coeficientes reais de ordem n munido com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar de matrizes é um espaço vetorial. Pode ser mostrado que cada conjunto a seguir é subespaço de Mnn : ▪ Sn = conjunto de todas as matriz simétricas de tamanho nxn; ▪ Tsn = conj. de todas as matrizes triangulares superiores de tam. nxn; ▪ Tin = conj. de todas as matrizes triangulares inferiores de tam. nxn; ▪ Dn = conjunto de todas as matrizes diagonais de tamanho nxn. pois em cada um desses conjuntos, a soma e multiplicação por escalar destas matrizes específicas são fechadas. Subespaços de Mnn A soma e a multiplicação por escalar de matrizes são fechadas em Sn : ▪ a soma de duas matrizes simétricas de tamanho nxn resulta em uma matriz simétrica de tamanho nxn; ▪ A multiplicação de um escalar por uma matriz simétrica de tamanho nxn resulta em uma matriz simétrica de tamanho nxn Já vimos na aula de espaços vetoriais que Mnn = conjunto de todas as matrizes com coeficientes reais de ordem n munido com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar de matrizes é um espaço vetorial. Pode ser mostrado que cada conjunto a seguir é subespaço de Mnn : ▪ Sn = conjunto de todas as matriz simétricas de tamanho nxn; ▪ Tsn = conj. de todas as matrizes triangulares superiores de tam. nxn; ▪ Tin = conj. de todas as matrizes triangulares inferiores de tam. nxn; ▪ Dn = conjunto de todas as matrizes diagonais de tamanho nxn. pois em cada um desses conjuntos, a soma e multiplicação por escalar destas matrizes específicas são fechadas. Subespaços de Mnn A soma e a multiplicação por escalar de matrizes são fechadas em Tsn : ▪ a soma de duas matrizes triangulares superiores de tamanho nxn resulta em uma matriz triangular superior de tamanho nxn; ▪ A multiplicação de um escalar por uma matriz triangular superior de tamanho nxn resulta em uma matriz triangular superior de tamanho nxn Já vimos na aula de espaços vetoriais que Mnn = conjunto de todas as matrizes com coeficientes reais de ordem n munido com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar de matrizes é um espaço vetorial. Pode ser mostrado que cada conjunto a seguir é subespaço de Mnn : ▪ Sn = conjunto de todas as matriz simétricas de tamanho nxn; ▪ Tsn = conj. de todas as matrizes triangulares superiores de tam. nxn; ▪ Tin = conj. de todas as matrizes triangulares inferiores de tam. nxn; ▪ Dn = conjunto de todas as matrizes diagonais de tamanho nxn. pois em cada um desses conjuntos, a soma e multiplicação por escalar destas matrizes específicas são fechadas. Subespaços de Mnn A soma e a multiplicação por escalar de matrizes são fechadas em Tin : ▪ a soma de duas matrizes triangulares inferiores de tamanho nxn resulta em uma matriz triangular inferior de tamanho nxn; ▪ A multiplicação de um escalar por uma matriz triangular inferior de tamanho nxn resulta em uma matriz triangular inferior de tamanho nxn Já vimos na aula de espaços vetoriais que Mnn = conjunto de todas as matrizes com coeficientes reais de ordem n munido com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar de matrizes é um espaço vetorial. Pode ser mostrado que cada conjunto a seguir é subespaço de Mnn : ▪ Sn = conjunto de todas as matriz simétricas de tamanho nxn; ▪ Tsn = conj. de todas as matrizes triangulares superiores de tam. nxn; ▪ Tin = conj. de todas as matrizes triangulares inferiores de tam. nxn; ▪ Dn = conjunto de todas as matrizes diagonais de tamanho nxn. pois em cada um desses conjuntos, a soma e multiplicação por escalar destas matrizes específicas são fechadas. Subespaços de Mnn A soma e a multiplicação por escalar de matrizes são fechadas em Dn : ▪ a soma de duas matrizes diagonais de tamanho nxn resulta em uma matriz diagonal de tamanho nxn; ▪ A multiplicação de um escalar por uma matriz diagonal de tamanho nxn resulta em uma matriz diagonal de tamanho nxn Já vimos na aula de espaços vetoriais que (F, +, ∙) é um espaço vetorial, sendo F = o conjunto de todas as funções reais f: RR . Seja n um inteiro não negativo e defina Pn = conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais e de grau ≤ n ou seja, Pn = { p(x) = a0 + a1x + ... + anxn | a0, a1,..., an є R } . Claramente vemos que Pn ⊆ F, pois todo polinômio é uma função real. Além disso, como: ▪ a soma de 2 polinômios de grau ≤ n continua sendo um polinômio de grau ≤ n; ▪ e a multiplicação de um escalar qualquer por um polinômio de grau ≤ n continua sendo um polinômio de grau ≤ n; então a soma e a multiplicação por escalar de funções são fechadas em Pn, e por isso Pn é um subespaço do espaço vetorial das funções F. Subespaços de Polinômios de Grau ≤ n Vamos trocar um pouco a notação. Vamos chamar F de F(-∞, ∞) = o conjunto de todas as funções reais f: RR . Cada subconjunto de F(-∞, ∞) a seguir é subespaço de F(-∞, ∞): ▪ C(-∞,∞) = conjunto de todas as funções reais contínuas definidas em (-∞,∞) ▪ C1(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais diferenciáveis em (-∞,∞) ▪ C2(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais 2 vezes diferenciáveis em (-∞,∞) ▪ C3(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais 3 vezes diferenciáveis em (-∞,∞) ⁝ ▪ Cn(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais n vezes diferenciáveis em (-∞,∞) ⁝ ▪ C∞(-∞,∞) = conj. de todas funções reais infinitamente diferenciáveis em (-∞,∞) Outros Subespaços do Espaço Vetorial das Funções Reais F Vamos trocar um pouco a notação. Vamos chamar F de F(-∞, ∞) = o conjunto de todas as funções reais f: RR . Cada subconjunto de F(-∞, ∞) a seguir é subespaço de F(-∞, ∞): ▪ C(-∞,∞) = conjunto de todas as funções reais contínuas definidas em (-∞,∞) ▪ C1(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais diferenciáveis em (-∞,∞) ▪ C2(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais 2 vezes diferenciáveis em (-∞,∞) ▪ C3(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais 3 vezes diferenciáveis em (-∞,∞) ⁝ ▪ Cn(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais n vezes diferenciáveis em (-∞,∞) ⁝ ▪ C∞(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais n vezes diferenciáveis em (-∞,∞) Outros Subespaços do Espaço Vetorial das Funções Reais F C(-∞,∞) é subespaço de F(-∞, ∞) pois a soma e multiplicação por escalar de funções são fechadas em C(-∞,∞): a soma de funções contínuas é uma função contínua e a multiplicação de uma função contínua por um escalar resulta em uma função contínua. Vamos trocar um pouco a notação. Vamos chamar F de F(-∞, ∞) = o conjunto de todas as funções reais f: RR . Cada subconjunto de F(-∞, ∞) a seguir é subespaço de F(-∞, ∞): ▪ C(-∞,∞) = conjunto de todas as funções reais contínuas definidas em (-∞,∞) ▪ C1(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais diferenciáveis em (-∞,∞) ▪ C2(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais 2 vezes diferenciáveis em (-∞,∞) ▪ C3(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais 3 vezes diferenciáveis em (-∞,∞) ⁝ ▪ Cn(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais n vezes diferenciáveis em (-∞,∞) ⁝ ▪ C∞(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais n vezes diferenciáveis em (-∞,∞) Outros Subespaços do Espaço Vetorial das Funções Reais F C1(-∞,∞) é subespaço de F(-∞, ∞) pois a soma e multiplicação por escalar de funções são fechadas em C1(-∞,∞): a soma de funções diferenciáveis é uma função diferenciável e a multiplicação de uma função diferenciável por um escalar resulta em uma função diferenciável. Vamos trocar um pouco a notação. Vamos chamar F de F(-∞, ∞) = o conjunto de todas as funções reais f: RR . Cada subconjunto de F(-∞, ∞) a seguir é subespaço de F(-∞, ∞): ▪ C(-∞,∞) = conjunto de todas as funções reais contínuas definidas em (-∞,∞) ▪ C1(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais diferenciáveis em (-∞,∞) ▪ C2(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais 2 vezes diferenciáveis em (-∞,∞) ▪ C3(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais 3 vezes diferenciáveis em (-∞,∞) ⁝ ▪ Cn(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais n vezes diferenciáveis em (-∞,∞) ⁝ ▪ C∞(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais n vezes diferenciáveis em (-∞,∞) Outros Subespaços do Espaço Vetorial das Funções Reais F C2(-∞,∞) é subespaço de F(-∞, ∞) pois a soma e multiplicação por escalar de funções são fechadas em C2(-∞,∞): a soma de funções 2x diferenciáveis é uma função 2x diferenciável e a multiplicação de uma função 2x diferenciável por um escalar resulta em uma função 2x diferenciável. Vamos trocar um pouco a notação. Vamos chamar F de F(-∞, ∞) = o conjunto de todas as funções reais f: RR . Cada subconjunto de F(-∞, ∞) a seguir é subespaço de F(-∞, ∞): ▪ C(-∞,∞) = conjunto de todas as funções reais contínuas definidas em (-∞,∞) ▪ C1(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais diferenciáveis em (-∞,∞) ▪ C2(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais 2 vezes diferenciáveis em (-∞,∞) ▪ C3(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais 3 vezes diferenciáveis em (-∞,∞) ⁝ ▪ Cn(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais n vezes diferenciáveis em (-∞,∞) ⁝ ▪ C∞(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais n vezes diferenciáveis em (-∞,∞) Outros Subespaços do Espaço Vetorial das Funções Reais F Cn(-∞,∞) é subespaço de F(-∞, ∞) pois a soma e multiplicação por escalar de funções são fechadas em Cn(-∞,∞): a soma de funções n vezes diferenciáveis é uma função n vezes diferenciável e a multiplicação de uma função n vezes diferenciável por um escalar resulta em uma função n vezes diferenciável. Vamos trocar um pouco a notação. Vamos chamar F de F(-∞, ∞) = o conjunto de todas as funções reais f: RR . Cada subconjunto de F(-∞, ∞) a seguir é subespaço de F(-∞, ∞): ▪ C(-∞,∞) = conjunto de todas as funções reais contínuas definidas em (-∞,∞) ▪ C1(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais diferenciáveis em (-∞,∞) ▪ C2(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais 2 vezes diferenciáveis em (-∞,∞) ▪ C3(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais 3 vezes diferenciáveis em (-∞,∞) ⁝ ▪ Cn(-∞,∞) = conj. de todas as funções reais n vezes diferenciáveis em (-∞,∞) ⁝ ▪ C∞(-∞,∞) = conj. de todas funções reais infinitamente diferenciáveis em (-∞,∞) Outros Subespaços do Espaço Vetorial das Funções Reais F C∞(-∞,∞) é subespaço de F(-∞, ∞) pois a soma e multiplicação por escalar de funções são fechadas em C∞(-∞,∞): ▪ a soma de funções infinitamente diferenciáveis é uma função infinitamente diferenciável; ▪ a multiplicação de uma função infinitamente diferenciável por um escalar resulta em uma função infinitamente diferenciável. Outros Subespaços do Espaço Vetorial das Funções Reais F F C C∞ C1 C2 Cn … … Pn … … P1 … P0