Slide - Espaços Vetoriais Arbitrários 2022 2

Espaços Vetoriais Arbitrários Seção 4.1 - Espaços Vetoriais Reais Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. 2 ✓ Estenderemos o conceito de vetores mais uma vez, usando as propriedades algébricas mais importantes dos vetores de Rn como axiomas. ✓ Esses axiomas, quando satisfeitos por um conjunto de objetos, nos permitirá pensar nesses objetos como vetores. ✓ Axioma: é uma sentença ou proposição que não é provada ou demonstrada. É considerada como verdadeira e serve como ponto inicial para dedução e inferências de outras verdades. ✓ Ou seja, axiomas são as bases para construção de uma teoria. Obs. Não se demonstra axiomas. Espaços Vetoriais Agora tudo é novo! Imagine-se nascendo de novo num país mágico onde as palavras são diferentes! Espaços Vetoriais no País das Maravilhas Por exemplo, neste país todos falam que a nossa conhecida “banana” se chama “minhoca”. E todos se referem às bananas como minhocas. Ou seja, comer minhocas lá é normal e ninguém acha esquisito. Nhammm, teremos minhocas para comer! ☺ Nesse país muitas palavras são diferentes do que estamos habituados e temos que entender essa nova linguagem, com as novas regras e novo raciocínio... Seja V um conjunto não vazio qualquer de objetos no qual estão definidas duas operações: a soma maluquinha e a multiplicação por escalar maluquinha. Vamos associar dois operadores:  = ”soma maluquinha” e  = ”multiplicação por escalar maluquinha” Por soma maluquinha entendemos: uma regra que associa a cada par de objetos u e v em V um novo objeto uv, denominado soma maluquinha u com v. Por multiplicação por escalar maluquinha entendemos: uma regra que associa a cada escalar β e cada objeto u em V um novo objeto βu denominado múltiplo escalar maluquinho de u por β. Definição de Espaços Vetoriais no País das Maravilhas Se os axiomas seguintes forem satisfeitos por todos os objetos u, v e w em V, e quaisquer escalares β e ζ , diremos que V com as operações de soma maluquinha  e multiplicação por escalar maluquinha  é um espaço vetorial e seus objetos serão chamados vetores: Definição de Espaços Vetoriais no País das Maravilhas (Continuação) 1) A soma maluquinha é fechada em V: se u є V e v є V, então uv є V 2) A soma maluquinha é comutativa em V, ou seja, para quaisquer u є V e v є V: u  v = v  u 3) A soma maluquinha é associativa em V, ou seja, para quaisquer u є V, v є V e w є V: (u  v)  w = u  (v  w) 4) Existe elemento neutro da soma maluquinha em V, ou seja, existe um vetor vneutro є V tal que, para qualquer u є V, então u  vneutro = vneutro  u = u. Chamaremos vneutro de 0 . 5) Cada u є V possui inverso aditivo em V, ou seja, existe uinvaditivo є V, tal que u  uinvaditivo = uinvaditivo  u = 0 (elemento neutro da soma). Chamaremos o inverso aditivo de u de –u. Esse cara não necessariamente é o cara nulo ! (Esse cara não necessariamente é o negativo!) Definição de Espaços Vetoriais no País das Maravilhas (Continuação) 6) A multiplicação por escalar maluquinha é fechada em V: se v є V e se β é um escalar, então βv є V. 7) A multiplicação por escalar maluquinha é distributiva com relação à soma maluquinha de vetores em V, ou seja, para quaisquer u є V e v є V e para qualquer escalar β: β  (u  v) = βu  βv 8) A multiplicação maluquinha de escalar por vetor é distributiva com relação à soma de escalares, ou seja, para quaisquer escalares β e ζ e qualquer vetor v є V, então: (β + ζ)  v = βv  ζv 9) A ordem da multiplicação maluquinha de escalares com vetor não importa: se β e ζ são escalares quaisquer e se v є V, então (β∙ζ)v = β(ζv) = ζ(βv) 10) O escalar 1 é neutro na multiplicação por escalar maluquinha: 1v = v, para qualquer v є V. ✓ Observe que a definição de espaço vetorial não especifica nem a natureza dos vetores nem das operações. ✓ Qualquer tipo de objeto pode ser um vetor, e as operações de soma e multiplicação por escalar podem não ter relação alguma com as operações usuais em Rn. ✓ Atenção nesta notação para espaço vetorial: (V, , ) = significa que temos um conjunto não vazio V de objetos, munido de duas operações:  e . ▪ A operação  opera dois objetos de V e é chamada “soma”. ▪ A operação  opera um escalar com um objeto de V e é chamada “multiplicação por escalar”. Então (V, , ) será um espaço vetorial se aqueles 10 axiomas relatados forem satisfeitos. Observações sobre Espaços Vetoriais Uma estrutura (V, , ) será: ✓ Um espaço vetorial real se os escalares forem números reais. ✓ Um espaço vetorial complexo se os escalares forem números complexos. Observações sobre Espaços Vetoriais Seja V um conjunto não vazio qualquer de objetos no qual estão definidas duas operações: a soma + e a multiplicação por escalar ∙ . Por soma entendemos: uma regra que associa a cada par de objetos u e v em V um novo objeto u+v, denominado soma u com v. Por multiplicação por escalar entendemos: uma regra que associa a cada escalar k e cada objeto v em V um novo objeto k∙v denominado múltiplo escalar de v por k. Definição de Espaços Vetoriais (como está nos livros) Se os axiomas seguintes forem satisfeitos por todos os objetos u, v e w em V, e quaisquer escalares k e m , diremos que V com as operações de soma e multiplicação por escalar é um espaço vetorial e seus objetos serão chamados vetores: Definição de Espaços Vetoriais (como está nos livros) 1) A soma é fechada em V: se u є V e v є V, então u+v є V 2) A soma é comutativa em V, ou seja, para quaisquer u є V e v є V: u + v = v + u 3) A soma é associativa em V, ou seja, para quaisquer u є V, v є V e w є V: (u + v) + w = u + (v + w) 4)Existe elemento neutro da soma maluquinha em V, ou seja, existe um vetor v є V tal que, para qualquer u є V, então u + v = v + u = u. Chamaremos v de 0 . 5) Cada u є V possui inverso aditivo em V, ou seja, existe uinvaditivo є V, tal que u + uinvaditivo = uinvaditivo + u = 0 (elemento neutro da soma). Chamaremos o inverso aditivo de u de –u. Definição de Espaços Vetoriais (como está nos livros) 6) A multiplicação por escalar é fechada em V: se v є V e se k é um escalar, então k∙v є V. 7) A multiplicação por escalar é distributiva com relação à soma de vetores em V, ou seja, para quaisquer u є V e v є V e para qualquer escalar k: k∙(u+v) = k∙u + k∙v 8) A multiplicação de escalar por vetor é distributiva com relação à soma de escalares, ou seja, para quaisquer escalares k e m e qualquer vetor v є V, então: (k+m)∙v = k∙v + m∙v 9) A ordem da multiplicação de escalares com vetor não importa: se k e m são escalares quaisquer e se v є V, então (k∙m)∙v = k∙(m∙v) = k∙(m∙v) 10) O escalar 1 é neutro na multiplicação por escalar: 1∙v = v, para qualquer v є V.