Slide - Cálculo Vetorial - 2022-2

2001– GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR AULA 04 – 18 DE AGOSTO Profa Dra Emília Marques Departamento de Matemática Cálculo Vetorial ■ Estudaremos neste tópico as grandezas vetoriais, suas operações, propriedades e aplicações. ■ Este estudo se justifica pelo fato de, na natureza, se apresentarem 2 tipo de grandezas, as escalares e as vetoriais. ■ Trabalharemos inicialmente com os vetores no plano e no espaço (local onde vivemos). Grandeza Escalar ■ É aquela que necessita em sua definição explicitar seu módulo (quantidade) e uma unidade de medida. Exemplos: 1) Massa: um corpo com 24 kg de massa • 24 é o módulo da grandeza • kg (quilograma) é a unidade de medida. 2) Temperatura: a temperatura do ambiente é de 34ºC, • 34 é o módulo da grandeza • ºC (grau Celsius) a unidade de medida. Grandeza Vetorial ■ É aquela que necessita em sua definição explicitar seu módulo (quantidade) e uma unidade de medida, direção e sentido. Exemplos: 1) Força: A força aplicada em um corpo, possui uma intensidade (módulo), numa direção e num sentido. Ex.: uma força de intensidade 20N (Newtons), na direção horizontal com sentido para direita, está representada na figura a seguir: 20N Grandeza Vetorial 2) Velocidade: A velocidade indica movimento de um corpo, assim, se um corpo possui uma velocidade diferente de zero, este corpo está se deslocando com uma certa velocidade, numa determinada direção e num determinado sentido. Veja: Uma bola sendo lançada para o alto com uma velocidade de 12m/s (metros por segundo), está na direção vertical com sentido para cima e possui módulo igual a 12. 12m/s Vetores O vetor é uma classe de elementos matemáticos ao qual se atribui 3 características: módulo, direção e sentido. A B r v v = AB = B− A Notação: Origem do Vetor Extremidade do Vetor Reta Suporte Vetores: características ➢ Módulo: é o tamanho do vetor (seu comprimento) e será denotado por: Ԧ𝑣 = 𝑣 = 𝐴𝐵 ➢ Direção: é dada pela reta suporte que sustenta o vetor. ➢ Sentido: é indicado pela seta do vetor. Sentido Direção Módulo v Notação: v = AB = B− A Segmentos Orientados Definição: Um segmento orientado é um par ordenado (A,B) de pontos do espaço. O ponto A é a origem e B é a extremidade. Obs.: 1) Um segmento orientado do tipo (A,A) é chamado segmento orientado nulo. 2) Muitas vezes vetores são definidos como uma classe de equipolência de segmentos orientado. 3) Vetores paralelos têm a mesma direção. Operações com Vetores: ADIÇÃO Adição: somar dois vetores quaisquer consiste em aplicar um método chamado "método da poligonal“. Para isso considere o ponto O um ponto qualquer no plano (ou espaço), transportamos um dos vetores fazendo coincidir a origem do vetor com o ponto O (sem mudar as características do vetor pois o movimento é rígido). Em seguida transportamos o outro vetor, fazendo coincidir a extremidade do primeiro com a origem do segundo. Então, fechamos a poligonal (que no caso de somente dois vetores a poligonal será um triângulo) obtendo a SOMA (o último vetor cuja origem é o ponto O). Adição Obs.: Uma variação do método da poligonal é o que chamamos de "método do paralelogramo“. Atualmente o mais usado para a soma de dois vetores. u v u+v=u+v Diagonal Propriedades da ADIÇÃO Associativa: Comutativa: Elemento Neutro: Elemento Oposto: 𝑢 + Ԧ𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + Ԧ𝑣 + 𝑤 𝑢 + Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣 + 𝑢 ∀𝑢, ∃0ȁ𝑢 +0 = 0 + 𝑢 = 𝑢 ∀𝑢 = 𝐴𝐵, ∃ − 𝑢 = 𝐵𝐴ȁ𝑢 + −𝑢 = 0 = −𝑢 + 𝑢 Observação Importante A subtração não é considerada uma operação “atraente”, do ponto de vista algébrico, pois não satisfaz nenhuma das propriedade importante, assim ela deriva da adição considerando a “soma pelo oposto”. Operações com Vetores: PRODUTO POR ESCALAR É uma operação cujo vetor resultante possui o módulo alterado, em relação ao vetor dado (aumenta ou diminui), sem que a direção do mesmo seja alterada. Quanto ao sentido do vetor resultante, pode ser alterado ou não (conforme o sinal do escalar). Propriedades do PRODUTO POR ESCALAR ■ P1: ■ P2: ■ P3: ■ P4: 𝛼 𝛽𝑢 = 𝛼𝛽 𝑢, ∀𝛼, 𝛽 ∈ ℝ 𝑒 𝑢 ∈ 𝑉 𝛼 𝑢 ± Ԧ𝑣 = 𝛼𝑢 ± 𝛼 Ԧ𝑣, ∀𝛼 ∈ ℝ 𝑒 𝑢, Ԧ𝑣 ∈ 𝑉 𝛼 ± 𝛽 𝑢 = 𝛼𝑢 ± 𝛽𝑢, ∀𝛼, 𝛽 ∈ ℝ 𝑒 𝑢 ∈ 𝑉 1. 𝑢 = 𝑢, ∀𝑢 ∈ 𝑉 Exercícios: 1. Considere a figura e determine cada vetor solicitado: a) b) c) d) e) 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 𝐴𝐵 + 𝐷𝐸 𝐴𝐶 − 𝐵𝐶 𝐴𝐷 + 𝐵𝐴 − 𝐹𝐸 2𝐴𝐹 + 𝐴𝐵 Operações com Vetores: Soma De Um Ponto Com Um Vetor Intuitivamente, podemos entender como o resultado do deslocamento de um ponto material, inicialmente na origem do vetor, até sua extremidade. O resultado da operação é o ponto extremidade do vetor com origem no ponto que se deseja somar. 𝑃 + 𝑢 = 𝑄 ⇔ 𝑢 = 𝑄 − 𝑃 ⇔ 𝑢 = 𝑃𝑄 Propriedades da Soma de um ponto com um vetor: ■ P1: ■ P2: Lei do Cancelamento de Ponto ■ P3: Lei do Cancelamento de Vetor ■ P4: 𝐴 + 𝑢 + Ԧ𝑣 = 𝐴 + 𝑢 + Ԧ𝑣 , ∀𝐴, 𝑢, Ԧ𝑣 𝐴 + 𝑢 = 𝐴 + Ԧ𝑣 ⇔ 𝑢 = Ԧ𝑣 𝐴 + 𝑢 = 𝐵 + 𝑢 ⇔ 𝐴 = 𝐵 𝐴 − 𝑢 + 𝑢 = 𝐴 Versor Definição: O versor de um vetor diferente do vetor nulo, é um vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor dado. Notação: 𝑣0 = Ԧ𝑣 Ԧ𝑣 Ângulo entre dois vetores O ângulo entre dois vetores, não nulos, é o ângulo entre os segmentos orientados que representam os vetores, quando os mesmos possuem a mesma origem no ponto P. O ângulo estará sempre entre 0º e 180º. P=A=C B D Lei dos Cossenos A geometria plana nos dá que: w2 = u2 + v2 – 2uvcos(α) onde α é o ângulo entre os lados u e v de um triângulo. Essa é a chamada de “Lei dos Cossenos”, sendo os vetores lados de um triângulo qualquer e α um ângulo interno ao triângulo, oposto ao lado w. Lei dos Cossenos para Vetores u u v w   𝛼 + 𝜃 = 180∘ ⇔ 𝑤2 = 𝑢 + Ԧ𝑣 2 = 𝑢2 + 𝑣2 + 2𝑢𝑣 cos 𝜃 𝑤2 = 𝑢 + Ԧ𝑣 2 = 𝑢2 + 𝑣2 − 2𝑢𝑣 cos 𝛼 ⇔ 𝛼 = 180∘ − 𝜃 ⇔ cos 𝛼 = − cos 𝜃 Exercícios: 1. Dados os vetores 𝑢 e Ԧ𝑣 ortogonais entre si, isto é, entre eles existe um ângulo reto, determine o versor de um determinado vetor 𝑤 que possui projeções iguais nas direções de 𝑢 e Ԧ𝑣 . (Sugestão: Use os versores) 2. Dados os vetores 𝑢 e Ԧ𝑣, de módulo 2 e 6 respectivamente, os quais formam entre si um ângulo de 120º, determine: a) o módulo da soma de 𝑢 e Ԧ𝑣 b) o módulo da diferença de 𝑢 por Ԧ𝑣. Exercícios: 3. Mostre que num triângulo, considerando pontos médios de dois lados, forma-se um segmento paralelo ao terceiro lado cuja medida é metade deste. Obs.: Esse segmento é chamado de Base Média do triângulo ABC. Exercícios: