Slide - Diagonalização e Operadores Lineares - 2022-2

Profa Dra Emília Marques Depto de Matemática Operador Diagonalizável Observe ainda que 𝜆 ∈ ℝ é um autovalor se e somente se , ∃𝑢 ≠ 0ȁ𝑢 ∈ 𝑁 𝑇 − 𝜆𝐼 visto que 𝑇 𝑢 = 𝜆 𝑢 = 𝜆 I 𝑢 . Assim tem-se que o operador linear 𝑇 − 𝜆𝐼 não é inversível. Logo a matriz desse operador linear também não é inversível, significando que det 𝑇 − 𝜆𝐼 = 0. Logo as raízes do chamado Polinômio Característico (ou função característica) da transformação linear 𝑃𝑇 𝜆 = det 𝑇 − 𝜆𝐼 são os autovalores da transformação linear. Operador Diagonalizável  Obs: As raízes 𝜆 de um polinômio possuem multiplicidade algébrica, que é a quantidade de vezes que esse real é raiz do polinômio.  Se 𝑃𝑇 𝜆 = det 𝑇 − 𝜆𝐼 = 𝑥 − 𝜆 𝑘𝑞 𝑥 onde 𝑞 𝜆 ≠ 0 Então 𝑚. 𝑎. 𝜆 = 𝑘. Operador Diagonalizável Definição: Dizemos que um operador linear é dia- gonalizável se e somente se existe uma base de autovetores para o espaço vetorial onde está defi- nido. Teorema: O operador linear T é diagonalizável se e somente se ( ) ( ) ( ) ( ) , autovalor de T . . dim e autovalor de , . . . . . m a U T m a m g        • =  •  =   Corolário: Se T é diagonalizável então a base de autovetores é a união das bases dos subespaços de autovetores de T. O processo para diagonalizar uma matriz A é como se segue. 1º passo Forme o polinômio característico p(λ) = det(A - λI_n) de A. 2º passo Ache todas as raízes do polinômio característico de A. Se as raízes não forem todas reais, então A não pode ser diagonalizada. 3º passo Para cada autovalor λ_i de A com multiplicidade k_i, ache uma base para o espaço-solução de (A - λ_i I_n)X = 0 (o autoespaço de λ_i). Se a dimensão do autoespaço for menor do que k_i, então A não é diagonalizável. Determinamos assim n autovetores de A linearmente independentes. 4º passo Seja P a matriz cujas colunas são os n autovetores linearmente independentes determinados no terceiro passo. Então P^(-1) A P = D, uma matriz diagonal cujos elementos sobre a diagonal são os autovalores de A que correspondem às colunas de P. Exemplo 1: Considere o operador linear abaixo: Determine se esse operador linear é diagonalizável usando a Matriz do Operador Linear T. 𝑇: ℝ2 → ℝ2 𝑥, 𝑦 → 𝑦, 𝑥 Exemplo 2: Considere o operador linear dado pela matriz Determine se esse operador linear é diagonalizável. 3 0 4 A= 0 3 5 0 0 1 −        −    Resp: Sim, pois 1= 3 e VT(3)={ 𝑥, 𝑦, 0 ∈ ℝ3} = [ 1,00 , (0,10)] 2= -1 e VT(-1)= [(1, 5/4, 1)] Exercício: Considere o operador linear abaixo: Determine se esse operador linear é diagonalizável. 𝑇: ℝ3 → ℝ3, onde 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 3𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 2𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧, 𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 Resp: Sim, pois 1= 2 e VT(2)= [(1, -1, 0), (1, 0, -1)] , 2= 6 e VT(6)= [(1, 2, 1)]