Slide - Base Dimensão Coordenadas e Propriedades Li e Ld

Propriedades com conjuntos LI e LD Sejam 𝑆, 𝑆1 e 𝑆2 conjuntos de um espaço vetorial 𝕍, +,⋅ . Então: P1) Se 𝑢, 𝑣 ∈ 𝕍 é um conjunto L.D. então ∃𝛼 ≠ 0ȁ𝑣 = 𝛼𝑢 ou seja, v é combinação linear de ou u u é combinação linear de v Conteúdo Novo: P2) Se o vetor nulo pertence ao conjunto então esse conjunto é sempre L.D., pois o vetor nulo pode sempre ser escrito como combinação linear de quaisquer outros vetores. P3) Se 𝑢 ≠ 0 e 𝑆 = 𝑢 então S é L.I. P4) Se 𝑆1 ⊆ 𝑆2 e 𝑆1 é L.D. Então 𝑆2 é L.D. P6) Se 𝑆 = 𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛 é L.I. e para algum 𝑣 ∈ 𝕍 e 𝑣 ≠ 0 temos que 𝑆 ∪ 𝑣 é um conjunto L.D. e então 𝑣 ∈ 𝑆 . P5) Se 𝑆1 ⊆ 𝑆2 e 𝑆2 é L.I. Então 𝑆1 é L.I. P7) Se 𝑆 = 𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛 é L.D. e para algum 𝑗 ∈ 1,2, . . . 𝑛 temos que 𝑢𝑗 ∈ 𝑆 − 𝑢𝑗 . Então 𝑆 = 𝑆 − 𝑢𝑗 . Base para espaços e subespaços vetoriais Definição: Seja 𝕍, +,⋅ espaço vetorial finitamente gerado. Um subconjunto finito 𝐵 ⊂ 𝕍 é chamado de base do espaço vetorial se, e somente se satisfaz as condições abaixo: 𝕍 = 𝐵 𝐵 é L.I. e Exercício 01: Verifique se os conjuntos abaixo são base para os respectivos espaços vetoriais: a) 𝐵 = 1,2 , −3,1 ⊂ ℝ2 Exercício 01: Verifique se os conjuntos abaixo são base para os respectivos espaços vetoriais: b) 𝐵 = 1,2,3 , −1,5,1 , 1, −1,4 ⊂ ℝ3 Exercício 01: Verifique se os conjuntos abaixo são base para os respectivos espaços vetoriais: c) 𝐵 = 1 + 𝑡, 𝑡2 + 𝑡3, −𝑡 + 𝑡3, 𝑡 ⊂ 𝑃3 ℝ d) e) ( ) ( ) ( )   2 1,2 , 0,1 , 1,0 B = −  R ( ) 2 3 1 0 1 0 1 1 , 0 0 1 1 0 0 x B  −      =              M R Exercício 01: Verifique se os conjuntos abaixo são base para os respectivos espaços vetoriais: Resultados Importantes: Teorema: Seja 𝑆 = 𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛 ⊂ 𝕍 um sistema de geradores do espaço vetorial 𝕍. Então dentre os vetores de 𝑆 existe uma base para 𝕍. Resultados Importantes: Teorema: Seja 𝕍 um espaço vetorial gerado por um conjunto finito de vetores 𝑆 = 𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛 . Então qualquer conjunto com mais do que n vetores é necessariamente L.D. Dimensão Corolário: Qualquer base de um espaço vetorial 𝕍 possui sempre o mesmo número de elementos. Definição: Seja 𝕍 um espaço vetorial finitamen-te gerado, denominamos dimensão de 𝕍 ao número de vetores em uma base de 𝕍. Notação: dim(𝕎). Obs: Se tivermos um subespaço 𝕎 ⊂ 𝕍, então dimensão de 𝕎 será o número de vetores de uma base qualquer para 𝕎. Base e Dimensão Teorema: Qualquer conjunto L.I. de vetores de um espaço vetorial 𝕍 de dimensão finita pode ser completado de modo a se tornar uma base para 𝕍 . Corolário: Se dim 𝕍 = 𝑛 qualquer conjun- to com n vetores L.I. formam uma base para 𝕍 . Dimensão - Exemplos dim ℝ2 = 2 dim ℝ3 = 3 dim ℝ𝑛 = 𝑛 dim ℙ1 ℝ = 2 dim ℙ𝑛 ℝ = 𝑛 + 1 dim 𝕄2 ℝ = 4 dim 𝕄2𝑥3 ℝ = 6 dim 𝕄𝑚𝑥𝑛 ℝ = 𝑚. 𝑛 dim ℙ2 ℝ = 3 Exercício: Obtenha bases e dimensões para os subespaços vetoriais abaixo relacionados: 𝕎 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3ȁ2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 0 1. Exercício 02: Obtenha bases e dimensões para os subespaços vetoriais abaixo relacionados: ( )   3 , , 2 3 0 x y z x y z =  + − = W R ( )   4 , , , 2 0, 3 x y z t x y t z =  + = = − W R ( )   2 2 0 ax bx c a b c = + +  + − = W P R 2 ( ) 3 0 a b a b c d c d     =  + = = −         W M R A. . B. . C. . D. . Processo Prático para determinação de Base Sabemos que: 1. A permuta de dois vetores, dentre os geradores, não altera o subespaço gerado. 2. A substituição de um vetor por uma combinação linear dele com outros do conjunto, não altera o subespaço gerado. Assim obtemos que: se escrevendo os vetores geradores em linha, a matriz apresentada estiver na forma escalonada então esse conjunto de vetores é L.I.. Exercício 03: Determinar uma base e a dimensão para 𝕎 e 𝕌 , sendo: 𝕎 = 2,1,1,0 , 1,0,1,2 , 0, −1,1,4 𝕌 = 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 ∈ 𝑅4 ቚ 𝑥 = 2𝑦, 𝑧 = 𝑡 Exercício 04: Considere o sistema linear e determine uma base e a dimensão para o subespaço das soluções: 2 2 0 : 2 3 2 0 3 0 x y z t S x y z t x y z t − + − =   + − + =   + − + =  Coordenadas Definição: Diz-se que uma base é ordenada se a ordem dos vetores é fixada. Proposição: Dada uma base ordenada para o espaço vetorial, cada vetor dele é escrito de maneira única como combinação linear dos elementos dessa base. Coordenadas Definição: Dados uma base ordenada para um subespaço vetorial real e um vetor do subespaço, chamamos de coordenadas do vetor com relação à base, aos escalares únicos da combinação linear. Notação:   1 2 .... B n v          =         Exercício 05  Dados os vetores abaixo, determine as coordenadas de cada um deles em relação às bases dadas em cada caso: ( ) 3 v = 2,3, 1 − R ( ) ( ) ( )   1,1,1 , 1,1,0 , 1,1,0 B = − ( ) ( ) 2 2 2 4 v t t t = + + P R   2 1,1 ,1 B t t = + +