Teste 6 - Gabarito - Álgebra Linear 2021-2

Gabarito da 1ª prova de ALCV - Turma 151 GABARITO DO TESTE 6 Questão1: Determinar as equações simétricas reta r que passa pelo ponto A2,1,3 e seu vetor diretor forma um ângulo de 90° com o eixo z. Resolução: Identificando o vetor direção como sendo 1,1,0. Equação vetorial: X  2,1,3  1,1,0t, em que t  . Equação paramétrica : x  2  t y  1  t z  3 ,em que t  . Equação simétrica: x2 1  y1 1 e z  3 ou x  2  y  1e z  3. Resposta: x2 1  y1 1 e z  3 ou x  2  y  1e z  3. 1 Gabarito da 1ª prova de ALCV - Turma 151 Questão 2) Determinar as equações reduzidas em z da reta s que passa pelo ponto B1,0,3 e tem a direção do vetor v v  3 i  j  k. Resolução: Identificando o vetor direção como sendo 3,1,1. Equação vetorial: X  1,0,3  3,1,1t, em que t  .(0,25 ponto) Equação paramétrica : x  1  3t y  t z  3  t ,em que t  . Equação simétrica: x1 3  y 1  z3 1 ou x1 3  y  3  z. Equação reduzida na variável z: x  8  3z y  3  z Resposta: x  8  3z y  3  z 2 Gabarito da 1ª prova de ALCV - Turma 151 Questão 3: Dada a reta abaixo. Determine um ponto que pertença da reta abaixo que tenha a ordenada -1. s : x  1  2y z  3  y Resolução: Resolução: Paray  1,temos x  1  2y z  3  y  x  1  21 z  3  1  x  1  2 z  3  1  x  1 z  4 . Portanto o ponto tem coordenadas 1,1,4. Resposta: 1,1,4 3 Gabarito da 1ª prova de ALCV - Turma 151 Questão 4) Estude a posição relativa entre as retas r e s. No caso delas serem concorrentes, determine o ponto de interseção entre elas. r: y  0 z  1 s: x  1  2y z  3  y Resolução: Resolução: Identificando um ponto e o vetor direção da reta r : A0,0,1 (a variável x pode assumir qualquer valor, enquanto y e z são constantes) e v r  1,0,0 Identificando um ponto e o vetor direção da reta s : B1,0,3 e v s  2,1,1 Verificando se as retas são coplanares ou não. v r, v s,AB  det 1 0 0 2 1 1 1 0 4  4 em que AB  1,0,4 . Como o produto misto é diferente de zero, as retas r e s são reversas ou não coplanares. Resposta: As retas são reversas. 4 Gabarito da 1ª prova de ALCV - Turma 151 Questão 5) Dadas as retas r e s. Cálculo o cosseno do ângulo entre as retas. r: y  0 z  1 s: x  1  2y z  3  y Resolução: cos  v r.v s v r v s  |1,0,0.2,1,1| 1. 6  1.20.20.1 6  2 6  cos  2 6 . Resposta: 2 6 5 Gabarito da 1ª prova de ALCV - Turma 151 Questão 6) Dadas as retas r e s. Estude a posição relativa entre as retas r e s. No caso delas serem concorrentes, determine o ponto de interseção entre elas. r : x  4  y3 2  z6 3 ; e s : x  1  y z  2  2y Resolução: Identificando um ponto e o vetor direção da reta r : A4,3,6 e v r  1,2,3 Identificando um ponto e o vetor direção da reta s : B1,0,2 e v s  1,1,2 Verificando se as retas concorrentes ou reservas, já que os vetores diretores não são colineares. . v r, v s,AB  det 1 2 3 1 1 2 3 3 4  0 em que AB  3,3,4. Portanto as retas são concorrentes. Para encontrar o ponto de interseção entre as retas, temos que resolver o sistema linear: x  1  y z  2  2y x  4  y3 2 y3 2  z6 3  x  1  y z  2  2y x  4  y3 2 z  6  3 y3 2  x  1  y z  2  2y x  4  y3 2 z  6  3 y3 2  x  1  y z  2  2y x  8y3 2 z  123y9 2  x  1  y z  2  2y x  5y 2 z  33y 2  z  2  2y 1  y  5y 2 z  33y 2  z  2  2y 2  2y  5  y z  33y 2  x  2 y  1 z  0 Portanto r  s  2,1,0. Este ponto será chamado de C2,1,0. Resposta: Concorrentes e o ponto de interseção é 2,1,0 6 Gabarito da 1ª prova de ALCV - Turma 151 Questão 7) Determine as equações reduzidas da reta que passa pelo ponto de interseção das retas r e s e é simultaneamente ortogonal a r e s: r : x  4  y3 2  z6 3 ; e s : x  1  y z  2  2y Resolução: Da questão anterior, sabemos que as retas são concorrentes no ponto 2,1,0. A reta procurada é ortogonal as retas r e s simultaneamente, então o seu vetor diretor w é dado por: w  v r  v s  det i j k 1 2 3 1 1 2  3k  5j  i Então a equação da reta procurada será x2 1  y1 5  z 3 . Portanto as equações reduzidas em z será x  2  z 3 z  1  5z 3 ou em x: y  5x  9 z  3x  6 Resposta: x  2  z 3 z  1  5z 3 ou y  5x  9 z  3x  6 7 Gabarito da 1ª prova de ALCV - Turma 151 Questão 8) Determine as equações reduzidas da reta na variável z que passa pela origem e é ortogonal a cada uma das retas: r : 2x1 3  y2 2  2z  2 ; e s : x  y  z Resolução: Para a reta r: 2x1 3  y2 2 2z  2  y2 2  22x  1  3y  2 2z  1  y2 2  4x  2  3y  6 z  1  y2 4  4x  3y  6  2 z  y2 4  1  4x  3y  4 z  y 4  1 2  1  x  3 4 y  1 z  y 4  1 2  x  1  3 4 t y  0  t z  1 2  1 4 t Identificando um ponto e o vetor direção da reta r : A1,0, 1 2  e v r  3,4,1 ou  3 4 ,1, 1 4  Identificando um ponto e o vetor direção da reta s : B0,0,0 e v s  1,1,1 Fazendo o produto vetorial para achar o vetor ortogonal as duas retas: w  v r  v s  det i j k 3 4 1 1 1 1   4j  k  5i Logo w  5,4,1. Então o vetor direção da reta procurada é 5,4,1 e ela passa pela origem 0,0,0. x  0  5t y  0  4t z  t  x  5z y  4z Suas equações reduzidas são: x  5z y  4z ou x  5z y  4z Resposta: x  5z y  4z 8