Exercícios - Álgebra Linear 2021-2

2. Verifique se a aplicação T: R3 → R dada por T(x, y, z) = -2x + 3y + 7z é uma transformação linear. 3. Sabendo que F: R2 → R2 é um operador linear e que F(1, 2) = (3, -1) e F(0, 1) = (1, 2), determine F(x, y), onde (x, y) ∈ R2 .5. Determine uma transformação linear T: R3 → R4 tal que possua o conjunto Im(T) = [(1,1,2,1), (2,1,0,1)]. 10. Verifique se a função T(f(x)) = xf'(t), ∀f(t) ∈ ℙ2(ℝ) é um operador linear no espaço ℙ2(ℝ). 6. Determine o núcleo e a imagem, e suas dimensões, para a transformação linear T: ℙ2(ℝ) → ℙ3(ℝ), dada por T(f(t)) = f(t) + t2 f'(t). 8. Seja P uma matriz inversível de M_n(ℝ). Mostre que F: M_n(ℝ) → M_n(ℝ) dada por F(X) = P^{-1}XP é um operador linear desse espaço. 01) Mostre que cada operador T do R^3 é inversível e encontre uma fórmula para T^-1. a) T(x, y, z) = (x - 3y - 2z, y - 4z, z) b) T(x, y, z) = (x + z, x - z, y) Resp: a) T^-1(x, y, z) = (14z + 3y + x, 4z + y, z) b) T^-1(x, y, z) = ( x+y 2 , x-y 2 ) 02) Determine quais dos operadores lineares do R^3 são automorfismo: a) T(x, y, z) = (x - 3y - 2z, y - 4z, z) Resp: sim b) T(x, y, z) = (x, x - y, 2x + y - z) Resp: sim 04) Encontre todos os auto-valores e uma base para cada auto-espaço: a) T: ℝ^2 → ℝ^2 tal que T(x, y) = (3x + 3y, x + 5y) b) T: ℝ^3 → ℝ^3 tal que T(x, y, z) = (x + y + z, 2y + z, 2y + 3z) Verificar quais dos operadores lineares abaixo é diagonalizável. Em caso afirmativo, exibir a matriz do operador em relação à base de auto-vetores. a) T(x, y, z) = (x + y + z, x + y - z, x - y - z) b) T(x, y) = (x-y 4 , 2x+3y 4 ) c) T(x, y, z) = (x - 3y + 3z, x + 3y - z, x + 2y) d) T(x, y, z) = (x + 2y + 3z, z + y + 2z, 3x + 3y + z) e) T(a_0 + a_1t + a_2t^2) = (a_0 + a_1 + a_2) + (a_0 + a_1 - a_2)t + (-a_0 + a_1 + 3a_2)t^2