Questões - Transformação Linear e Núcleo - Álgebra Linear 2021 2

b) Dê uma base e a dimensão de Im(T ). 5. Determine uma transformação linear T: R^3 \rightarrow R^4 tal que possua o conjunto Im(T) = [(1,1,2,1), (2,1,0,1)]. 6. Determine o núcleo e a imagem, e suas dimensões, para a transformação linear T: P_2(R) \rightarrow P_3(R), dada por T(f(t)) = f(t) + t^2f'(t). Questão 5 Determine uma transformação linear \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^4\) tal que possua o conjunto \( \text{Im}(T) = [ (1, 1, 2, 1), (2, 1, 0, 1) ] \) Solução: Seja \( B = \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) \} \) a base canônica de \( \mathbb{R}^3 \) como Imagem de \( T \) é gerada por \( (1, 1, 2, 1), (2, 1, 0, 1) \), temos \( T(1, 0, 0) = (1, 1, 2, 1) \) \( T(0, 1, 0) = (2, 1, 0, 1) \) \( T(0, 0, 1) = (2, 1, 0, 1) \) Agora: seja \( (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \), temos \( (x, y, z) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1) \) Aplicando \( T \), temos \( T(x, y, z) = x T(1, 0, 0) + y T(0, 1, 0) + z T(0, 0, 1) \) \( = x (1, 1, 2, 1) + y (2, 1, 0, 1) + z (2, 1, 0, 1) \) \( = (x + 2y + 2z, x + y + z, 2x, x + y + z) \) Logo, a transformação dado por \(T(x, y, z) = (x + 2y + 2z, x + y + z, 2x, x + y + z)\) satisfaz o exigido, pois \( (x + 2y + 2z, x + y + z, 2x, x + y + z) = x (1, 1, 2, 1)+ y (2, 1, 0, 1) + z (2, 1, 0, 1), \) ou seja. \( \text{Im}(T) = [ (1, 1, 2, 1), (2, 1, 0, 1) ] \) Portanto, a transformação \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^4 \) definida por \( T(x, y, z) = (x + 2y + 2z, x + y + z, 2x, x + y + z) \) é uma transformação linear que satisfaz o exigido. Questão 6 Determine o núcleo e a imagem, e suas dimensões, para transformação linear T : P_2(IR) -> P_3(IR), dada por T(f(t)) = f(t) + t² f'(t). Solução Se f ∈ P_2(IR) então f(t) = ω_0 + ω_1 t + ω_2 t². Logo, temos f'(t) = ω_1 + 2 ω_2 t e, f(t) + t² f'(t) = ω_0 + ω_1 t + ω_2 t² + ω_1 t² + 2ω_2 t³ e = ω_0 + ω_1 t + (ω_1 + ω_2) t² + 2 ω_2 t³ Podemos reescrever T(f(t)) da seguinte maneira T(f(t)) = ω_0 + ω_1 t + (ω_1 + ω_2) t² + 2 ω_2 t³ Sabe-se que o núcleo de T é dado por N(T) = { f ∈ P_2(IR) | T(f(t)) = 0 (t) } , ou seja, ω_0 + ω_1 t + (ω_1 + ω_2) t² + 2 ω_2 t³ = 0, ou ainda { ω_0 = 0 ω_1 = 0 ω_1 + ω_2 = 0 2 ω_2 = 0 } onde temos ω_0 = ω_1 = ω_2 = 0. Logo, N(T) = {0} (ou seja o núcleo de T só contém o polinômio identicamente nulo, f = 0) B_1 = Φ é uma base de N(T) (pois a base de um espaço vetorial que só contém vetor nulo é o conjunto vazio) dim N(T) = 0. Agora, observe que T(f(t)) pode ser expresso da seguinte maneira ω_0 + ω_1 t + (ω_1 + ω_2) t² + 2ω_2 t³ = ω_0 + ω_1 (t + t²) + ω_2 (t² + 2t³), ou seja, Im(T) = [1, t + t², t² + 2t³] e, dim Im(T) = 3 (Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem)