Lista - Álgebra Linear 2021 2

1. Verifique se a função T: R^3 -> R^2, tal que T(x, y, z) = (z, x + y) é uma transformação linear. 2. Verifique se a aplicação T: R^3 -> R dada por T(x, y, z) = -2x + 3y + 7z é uma transformação linear. 3. Sabendo que F: R^2 -> R^2 é um operador linear e que F(1, 2) = (3, -1) e F(0, 1) = (1, 2), determine F(x, y), onde (x, y) ∈ R^2. 4. Seja T: R^3 -> R^2 dada por T(x, y, z) = (x + y, 2x - y + z) uma transformação linear a) Dê uma base e a dimensão de N(T). b) Dê uma base e a dimensão de Im(T). 5. Determine uma transformação linear T: R^3 -> R^4 tal que possua o conjunto Im(T) = [(1,1,2,1), (2,1,0,1)]. 6. Determine o núcleo e a imagem, e suas dimensões, para a transformação linear T: P_2(R) -> P_3(R), dada por T(f(t)) = f(t) + t^2 f'(t). 7. Verifique se a função T: R^2 -> R^2 definida por T(x, y) = (x^2 + y^2, x) é um operador linear. 8. Seja P uma matriz inversível de M_n(R). Mostre que F: M_n(R) -> M_n(R) dada por F(X) = P^-1XP é um operador linear desse espaço. 9. Seja T: R^3 -> R^3 o operador linear assim definido na base canônica do R^3: T(1,0,0) = (2,3,1), T(0,1,0) = (5,2,7), T(0,0,1) = (-2,0,7). Determine T(x, y, z). 10. Verifique se a função T(f(x)) = xf'(t), ∀f(t) ∈ P_2(R) é um operador linear no espaço P_2(R).