Slide Parte 2 - Deflexão em Vigas e Eixos - 2024-1

12.9. Exemplo 5 – Estruturas Hiperestáticas EI \frac{d^2v(x)}{dx^2} = M Equação do Momento fletor: M_{AB} = -M_A\langle x - 0 \rangle^0 + A_y\langle x - 0 \rangle^1 - 6\langle x - 0 \rangle - \frac{8\langle x - 0 \rangle^2}{2} - 8\langle x - 1,5 \rangle^1 M_{AB} = -M_A\langle x - 0 \rangle^0 + A_y\langle x - 0 \rangle^1 - 3\langle x - 0 \rangle^2 - 8\langle x - 1,5 \rangle^1 M_{AB} = -M_Ax^0 + A_yx - 3x^2 - 8\langle x - 1,5 \rangle^1 Equação diferencial da LE: EI \frac{d^2v(x)}{dx^2} = -M_Ax^0 + A_yx - 3x^2 - 8\langle x - 1,5 \rangle^1 EI \frac{dv(x)}{dx} = EI\theta(x) = -M_Ax + A_y\frac{x^2}{2} - \frac{3x^3}{3} - \frac{8}{2}\langle x - 1,5 \rangle^2 + C_1 EI\theta(x) = -M_Ax + A_y\frac{x^2}{2} - x^3 - 4\langle x - 1,5 \rangle^2 + C_1 \quad (1) 12.9. Exemplo 4 – Estruturas Hiperestáticas Inclinações e deflexões de vigas em balanço \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline Viga & Inclinação & Deflexão & Curva da linha elástica \\ \hline & \theta_{\max} = -\frac{PL}{2EI} & v_{\max} = -\frac{PL^2}{3EI} & v = -\frac{Px^2}{6EI}(3L-x) \\ \hline & \theta_{\max} = -\frac{PL}{2EI} & v_{\max} = -\frac{5PL^3}{48EI} & v = -\frac{Px^3}{6EI}(6L-x) & 0 \leq x \leq L/2 \\ \hline & & & v = -\frac{PL^2}{24EI}(3x+L) & L/2 \leq x \leq L \\ \hline & \theta_{\max} = -\frac{wL^3}{6EI} & v_{\max} = -\frac{wL^4}{8EI} & v = -\frac{wx^3}{24EI}(x^2-4Lx+6L^2) \\ \hline & & \theta_{\max} = -\frac{wL^2}{16EI} & & v = -\frac{wL^4}{48EI} \\ \hline & \theta_{max} = -\frac{7wL^4}{48EI} & v_{\max} = -\frac{wL^5}{384EI} & v = -\frac{wL^4}{192EI}(4x-L) & L/2 \leq x \leq L \\ \hline & \theta_{max} = -\frac{wL^3}{120EI} & v = -\frac{wq^3}{120EI}(10L^2-10Lx+5Lx^2-x^3) \\ \hline \end{array} 12.9. Exemplo 5 – Estruturas Hiperestáticas Determine as reações de apoios, a flecha em x = 1 m e a rotação em x = 2 m da viga ilustrada na figura pelo Método da Integração. EI é constante. Estaticidade da Estrutura: \begin{aligned} g &= i - e \\ i &= i_{externa} + i_{interna} \\ e &= e_{externa} + e_{interna} \\ i_{externa} &= 4 \\ i_{interna} &= 0 \\ e_{externa} &= 3 \\ e_{interna} &= 0 \\ \end{aligned} \begin{aligned} i &= 4, e = 3 \\ g &= 4 - 3 \\ g &= 1 \\ \end{aligned} Estrutura restringida (sujeição completa) Estrutura Hiperestática 12 - 33 12.6 Vigas e eixos estaticamente indeterminados □ Há três métodos para resolver os problemas que envolvem LE considerando as vigas hiperestáticas e isostática: 1) Método de Integração Requer a utilização da equação diferencial da LE: EI d²v(x)/dx² = M(x) 2) Método de superposição Refere-se em somar os efeitos, como forças e deslocamentos, desde que a estrutura esteja em regime elástico linear. 3) Método Momento-Área ou Teoremas de Mohr Refere-se ao cálculo de áreas sob o diagrama de momento fletor relacionado com a rigidez à flexão (M/EI) através da localização do centróide desta área. 12.7 Método da Integração Pode-se resolver o problema hiperestático pela integração da equação diferencial da LE, denominado Método da Integração, por exemplo. A viga está fixada em ambas as extremidades A e B sujeita à carga uniformemente distribuída. Determine as reações nos apoios. Despreze o efeito da carga axial. \sum F_x = 0 \sum F_y = 0 \sum M_{ZA} = 0 Estaticidade da Estrutura: g = i - e i = i_{externa} + i_{interna} e = e_{externa} + e_{interna} \begin{cases} i_{externa} = 6\\ i_{interna} = 0 \end{cases}\quad i = 6 \begin{cases} e_{externa} = 3\\ e_{interna} = 0 \end{cases}\quad e = 3 g = 6 - 3\quad g = 3\quad g > 0 Estrutura Hipersática Estrutura restringida (sujeição completa) 12 - 5 12.7 Método da Integração – Exemplo 1 Reações de apoio: \sum F_x = 0 \quad H_A - H_B = 0 \quad H_A = H_B = 0 \sum F_y = 0 \quad V_A + V_B - wL = 0 Por simetria tenho que V_A = V_B V_A = \frac{wL}{2} = V_B \sum M_A = 0 \quad -M_B + V_B \cdot L - w \cdot L \cdot \frac{L}{2} + M_A = 0 -M_B + \frac{wL^2}{2} - \frac{wL^2}{2} + M_A = 0 \quad M_A = M_B Equação do Momento fletor: M_{AB} = -M_A + V_A \cdot x - w \cdot x \cdot \frac{x}{2} M_{AB} = -M_A + \frac{wL}{2} x - \frac{wx^2}{2} Equação diferencial da LE: EI \frac{d^2v(x)}{dx^2} = -M_A + \frac{wL}{2} x - \frac{wx^2}{2} EI \frac{dv(x)}{dx} = EI \theta(x) = -M_A x + \frac{wL}{4} x^2 - \frac{wx^3}{6} + C_1 (1) EIv(x) = -\frac{M_A}{2} x^2 + \frac{wL}{12} x^3 - \frac{wx^4}{24} + C_1 x + C_2 (2) 12 - 6 12.7 Método da Integração – Exemplo 1 EI \frac{dv(x)}{dx} = EI \theta(x) = -M_A x + \frac{wL}{4} x^2 - \frac{wx^3}{6} + C_1 (1) EIv(x) = -\frac{M_A}{2} x^2 + \frac{wL}{12} x^3 - \frac{wx^4}{24} + C_1 x + C_2 (2) Condições de contorno: (\theta_A)_{x=0} = 0 \longrightarrow \text{Eq.1} \quad 0 = -M_A \cdot 0 + \frac{wL}{4} 0^2 - \frac{w}{6} 0^3 + C_1 \quad C_1 = 0 (v_A)_{x=0} = 0 \longrightarrow \text{Eq.2} \quad 0 = -\frac{M_A}{2} 0^2 + \frac{wL}{12} 0^3 - \frac{w}{24} 0^4 + C_1 \cdot 0 + C_2 \quad C_2 = 0 (\theta_B)_{x=L} = 0 \longrightarrow \text{Eq.1} \quad 0 = -M_A \cdot L + \frac{wL}{4} L^2 - \frac{w}{6} L^3 + 0 \quad M_A = \frac{wL^2}{12} Substituindo os valores das constantes e da reação nas equações (1) e (2): EI \theta(x) = -\frac{wL^2}{12} x + \frac{wL}{4} x^2 - \frac{w}{6} x^3 \quad \theta(x) = \frac{w}{24EI} (-2L^2x + 6Lx^2 - 4x^3) EIv(x) = -\frac{wL^2}{24} x^2 + \frac{wL}{12} x^3 - \frac{w}{24} x^4 \quad v(x) = \frac{w}{24EI} (-L^2x^2 + 2Lx^3 - x^4) Das equações de equilíbrio tem-se que: \quad M_A = M_B \quad M_B = \frac{wL^2}{12} 12 - 7 12.7 Método da Integração – Exemplo 2 Calcule as reações de apoio da viga ilustrada sujeita ao momento aplicado na extremidade A. O módulo de rigidez EI constante. Estaticidade da Estrutura e Reações de apoio: g = i - e i = i_{externa} + i_{interna} e = e_{externa} + e_{interna} i_{externa} = 4 i_{interna} = 0 i = 4 e_{externa} = 3 e_{interna} = 0 e = 3 g = 4 - 3 g = 1 g > 0 Estrutura Hiperestática ΣF_x = 0 H_B = 0 ΣF_y = 0 V_A + V_B = 0 V_A = -V_B ΣM_B = 0 M_A - V_A·L - M_B = 0 M_B = M_A - V_A·L 2°) Equação do Momento fletor: M_{AB} = -M_A + V_A·x 3°) Equação diferencial da LE: EI\frac{d^2v(x)}{dx^2} = -M_A + V_Ax 12.7 Método da Integração – Exemplo 2 Equação diferencial da LE: EI\frac{d^2v(x)}{dx^2} = -M_A + V_Ax EIθ(x) = -M_Ax + \frac{V_A}{2}x^2 + C_1 (1) EIv(x) = -\frac{M_A}{2}x^2 + \frac{V_A}{6}x^3 + C_1x + C_2 (2) Condições de contorno: (v_A)_{x=0} = 0 Eq.2 0 = -\frac{M_A}{2} 0^2 + \frac{V_A}{6} 0^3 + C_1·0 + C_2 C_2 = 0 (θ_B)_{x=L} = 0 Eq.1 0 = -M_A·L + \frac{V_A}{2}L^2 + C_1 C_1 = M_AL - V_A\frac{L^2}{2} (v_B)_{x=L} = 0 Eq.2 0 = -\frac{M_A}{2}L^2 + \frac{V_A}{6}L^3 + C_1·L + 0 0 = -\frac{M_A}{2}L^2 + \frac{V_A}{6}L^3 + \left(M_AL - V_A\frac{L^2}{2}\right)L ... 0 = -M_A\frac{L^2}{2} + V_A\frac{L^3}{6} + M_AL^2 - V_A\frac{L^3}{2} M_A\frac{L^2}{2} - V_A\frac{L^3}{6} = 0 V_A = \frac{3M_A}{2L} 12.7 Método da Integração – Exemplo 2 Equação diferencial da LE: EI\frac{d^2v(x)}{dx^2} = -M_A + V_Ax EIθ(x) = -M_Ax + \frac{V_A}{2}x^2 + C_1 (1) EIv(x) = -\frac{M_A}{2}x^2 + \frac{V_A}{6}x^3 + C_1x + C_2 (2) Condições de contorno: (v_A)_{x=0} = 0 Eq.2 0 = -\frac{M_A}{2} 0^2 + \frac{V_A}{6} 0^3 + C_1·0 + C_2 C_2 = 0 (θ_B)_{x=L} = 0 Eq.1 0 = -M_A·L + \frac{V_A}{2}L^2 + C_1 C_1 = M_AL - V_A\frac{L^2}{2} (v_B)_{x=L} = 0 Eq.2 0 = -\frac{M_A}{2}L^2 + \frac{V_A}{6}L^3 + C_1·L + 0 0 = -\frac{M_A}{2}L^2 + \frac{V_A}{6}L^3 + \left(M_AL - V_A\frac{L^2}{2}\right)L ... 0 = -M_A\frac{L^2}{2} + V_A\frac{L^3}{6} + M_AL^2 - V_A\frac{L^3}{2} M_A\frac{L^2}{2} - V_A\frac{L^3}{6} = 0 V_A = \frac{3M_A}{2L} Inclinações e deflexões de vigas em balanço Viga | Inclinação | Deflexão | Curva da linha elástica __| θ_max = \frac{-PL}{2EI} | v_max = \frac{-PL^3}{3EI} | v = \frac{-Px^2}{6EI}(3L - x) __| θ_max = \frac{-PL}{8EI} | v_max = \frac{-5PL^3}{48EI} | v = \frac{-P{x^2}}{6EI}(\frac{3L}{2} - x) __| θ_max = \frac{-wL^3}{6EI} | v_max = \frac{-wL^4}{8EI} | v = \frac{-wx^2}{24EI}(x^2 - 4Lx + 6L^2) __| θ_max = \frac{M_0L}{EI} | v_max = \frac{M_0L^2}{2EI} | v = \frac{M_0x^2}{2EI} __| θ_max = \frac{−wL^3}{48EI} | v_max = \frac{-7wL^4}{384EI} | 0 \leq s \leq L/2 = \frac{-w{x^2}}{24EI}(x^2 − 2Lx + \frac{3}{2}L^2) __| v = \frac{-w_0x^2}{24EI} | v_max = \frac{-wL^4}{192EI}(4x − L/2) | L/2 \leq s \leq L __| θ_max = \frac{w_0L^2}{24EI} | v_max = \frac{-w_0L^4}{30EI} | v = \frac{-w_0x^2}{120EI}(10L^2x + 5Lx)^x 12.9. Exemplo 1 – Estruturas Isostáticas Determine por superposição de efeitos a flecha (deslocamento) no ponto C e a inclinação no apoio A da viga ilustrada na figura. EI é constante. 1°) Estaticidade da Estrutura: g = i - e i = i_externa + i_interna e = e_externa + e_interna __| i_externa = 3 | i_interna = 0 | i = 3 __| e_externa = 3 | e_interna = 0 | e = 3 g = 3 - 3 | g = 0 __ + __ ∑F_x = 0 ∑F_y = 0 ∑M^Z_A = 0 __+__ Estrutura restrigida (sujeição completa) Estrutura Isostática 12.9. Exemplo 1 – Estruturas Isostáticas Determine a flecha no ponto C e a inclinação no apoio A da viga ilustrada na figura. EI é constante. O carregamento pode ser dividido em duas partes componentes. θ_A = θ_A(c1) + θ_A(c2) v_C = v_C(c1) + v_C(c2) Do apêndice C do livro do Hibbeler, pode-se determinar a inclinação em A e a flecha em C, conforme modelos de estruturas e carregamentos correspondentes. 12 - 17 = (c1 ) (c2 ) Sistema 1 Sistema 2 Sistema original 12.9. Exemplo 1 – Estruturas Isostáticas Determine o deslocamento no ponto C e a inclinação no apoio A da viga mostrada na Figura. EI é constante. O carregamento pode ser separado em duas partes componentes. Do apêndice C do livro, pode determinar o deslocamento em C e a inclinação em A. θA(c1) = -3wL^3/128EI = -3·2·8^3/128EI = -24 kNm^2/EI vC(c1) = -5wL^4/768EI = -5·2·8^4/768EI = 53,33 kNm^3/EI θA(c1) = -24 kNm^2/EI vC(c1) = -53,33 kNm^3/EI θA(c2) = -PL^2/16EI θA(c2) = -8·8^2/16EI = -32 kNm^2/EI vC(c2) = -PL^3/48EI vC(c2) = -8·8^3/48EI = -85,33 kNm^3/EI θA = θA(c1) + θA(c2) θA = -24 kNm^2/EI + -32 kNm^2/EI θA = -56 kNm^2/EI vC = vC(c1) + vC(c2) vC = -53,33 kNm^3/EI -85,33 kNm^3/EI vC = -138,66 kNm^3/EI 12.9. Exemplo 2 – Estruturas Hiperestáticas Utilizando o método da superposição de efeitos, determine a reação no apoio B da viga ilustrada na figura e trace os diagramas de força cortante e momento fletor. EI é constante. Estaticidade da Estrutura: g = i - e i = iexterna + iinterna e = eexterna + einterna { iexterna = 4 iinterna = 0 eexterna = 3 einterna = 0 g = 4 - 3 ⇒ g = 1 Estrutura restringida (sujeição completa) Estrutura Hiperestática 12.9. Exemplo 2 – Estruturas Hiperestáticas Inclinações e deflexões de vigas em balanço Viga Inclinação Deflexão Curva da linha elástica θmaks = \frac{−PL^2}{2EI}\; v\text{maks} = \frac{−PL^3}{3EI}\;ψ = \frac{-Px^3}{6EI} (3L − x) θmaks = \frac{−PL^2}{48EI}\; v\text{maks} = \frac{−5PL^3}{48EI}\;ψ = \frac{-Px^2}{24EI} (3L − x) \text{L}\div2 ≤ x ≤ \text{L}/2 θmaks = \frac{−wL^3}{6EI}\; v\text{maks} = −\frac{wL^4}{8EI}\;ψ = \frac{-wx^3}{24EI} (x^2 − 4Lx + 6L^2) θmaks = \frac{-wL^2}{24EI}\; v\text{maks} = −\frac{7wL^4}{384EI}\;ψ = \frac{-wx^2}{192EI} (4x − L) θmaks = \frac{−woL^3}{24EI}\; v\text{maks} = \frac{−wL^4}{30EI}\;ψ = \frac{-wox^2}{120EI} (10L^3 − 10L^2x + 5Lx^2) 1,5 m 8 kN 6 kN/m A B Sistema original By Carregamento 2 (c2) 8 kN Carregamento 1 (c1) 6 kN/m Sistema 1 - Isostático Reação redundante By removida Carregamento 3 (c3) Sistema 2 - Isostático Somente a reação redundante By aplicada 12.9. Exemplo 2 – Estruturas Hiperestáticas A equação de compatibilidade de deslocamentos é dada por: \underline{v_B + v'_B = 0}\;A partir do apêndice C do livro, pode-se determinar as flechas \underline{v_B}\;e \underline{v'_B}\;. v_B = v_B(c1) + v_B(c2)\;v_B = \frac{−wL^4}{8EI} \frac{−5PL^3}{48A}EI\; v_B = \frac{6 · 34}{8EI} − \frac{5 · 8 · 33}{48EI}\;v_B = \frac{-83,25}{EI}\; v'_B = v'_B(c3) v'_B = \frac{PL^3}{3EI}\;v'_B = \frac{9B_y}{EI}\; v_B + v'_B = 0\;\frac{-83,25}{EI} + \frac{9B_y}{EI} = 0\;9B_y = 83,25 B_y = 9,25 kN 12.9. Exemplo 2 – Estruturas Hiperestáticas DCL 16,75 kN 8 kN 6 kN/m C B A 1,5 m 1,5 m \frac{-11,25}{\text{kN.m}} 0 9,25 kN Das equações de equílibrio tem-se que: ΣF_x = 0\;A_x = 0\;ΣF_y = 0\;A_y = 16,75 kN\;ΣM_A = 0\;M_A = 11,25 kNm\;Diagrama de força cortante (V) V_AC = 16,75 − 6x\;x = 1,5 m\;V_C = 7,75 kN\;V_BC = −9,25 + 6x\;x = 1,5 m\;V_C = −0,25 kN\;V (kN)\;16,75\;7,75\;−0,25\;−9,25 Diagrama de Momento fletor (M)\;M_BC = 9,25x − \frac{6x^2}{2} \;x = 1,5 m\;M_C = 7,125 kNm\; M(kNm)\;−11,25\;1,5\;7,125 12.9. Exemplo 3 – Estruturas Hiperestáticas Utilizando o método da superposição de efeitos, determine as reações na viga ilustrada na figura. Devido à carga e um problema na construção, o apoio em B sofre um recalque diferencial de 12mm. Considere E = 200GPa e I = 80x10⁶ mm⁴. 24 kN/m A B C 4 m 4 m Ay By Cy Cx Estaticidade da Estrutura: g = i - e i = iexterna + iinterna iexterna = 4 iinterna = 0 e = eexterna + einterna eexterna = 3 einterna = 0 g = 4 - 3 i = 4 g = 1 Estrutura Hiperesática Estrutura restringida (sujeição completa) 12.9. Exemplo 3 – Estruturas Hiperestáticas Inclinações e deslocamentos de vigas simplesmente apoiadas Viga Inclinação Deflexão Curva da linha elástica θmáx= PL² 2EI θa= θb= wL³ 24EI θmáx= PL³ 48EI 0 <= x <= L/2 vmax= wL³ 24EI vmax= -5wL⁴ 384EI θmáx= -wL³ 36EI θa= 7wL³ 360EI θb= 7wL² 24EI θ1 θ2 L 2 θ1L/2 x θ2 ϕ1= Pa(L + b) 6EI.L ϕ2= Pab(L + a) 6EI.L ϕmáx= -M0L² 3EI ϕ1= M0.L 6EI θa= -wL³ 60EI θb= wL² 45EI Sistema original 24 kN/m A B C 4 m 4 m 12 mm By Sistema 1 Isostático 24 kN/m A B C 4 m 4 m Reação redundante By removida Sistema 2 Isostático A B C 4 m 4 m Somente a reação redundante By aplicada 12.9. Exemplo 3 – Estruturas Hiperestáticas A equação de compatibilidade de deslocamentos é dada por: vB + v’B = -0,012m A partir do apêndice C do livro, pode determinar o deslocamento em B. vB = -5wL⁴ 768EI vB = -5 · 24 · 8⁴ 768EI vB = -640 EI v’B = PL³ 48EI v’B = By · 8³ EI v’B = 10,67By EI -640 EI + 10,67By EI = -0,012 10,67By = -0,012EI + 640 EI = 200 x 10⁶ · 80 x 10⁻⁶ EI = 16 x 10³kNm² By = 42kN Sistema original 24 kN/m A B C 4 m 4 m 12 mm By Sistema 1 Isostático 24 kN/m A B C 4 m 4 m Reação redundante By removida Sistema 2 Isostático A B C 4 m 4 m Somente a reação redundante By aplicada 12.9. Exemplo 3 – Estruturas Hiperestáticas Reações de apoio: ∑F_x = 0 \quad C_x = 0 ∑F_y = 0 \quad A_y + 42 + C_y - 24 \cdot 4 = 0 ... \quad A_y + C_y = 54 A_y = 51 \text{kN} ∑M_A^Z = 0 \quad C_y \cdot 8 + 42 \cdot 4 - 96 \cdot 2 = 0 ... \quad 8C_y = 24 C_y = 3 \text{kN} 12.9. Exemplo 4 – Estruturas Hiperestáticas Determine a reação de apoio em B na viga ilustrada na figura pelo método da superposição dos efeitos. Estaticidade da Estrutura: g = i - e \begin{cases} i_{externa} = 4\ i_{interna} = 0 \end{cases} \Rightarrow i = 4 \begin{cases} e_{externa} = 3\ e_{interna} = 0 \end{cases} \Rightarrow e = 3 Estrutura restringida (sujeição completa) g = 4 - 3 \Rightarrow g = 1 Estrutura Hiperestática 12.9. Exemplo 4 – Estruturas Hiperestáticas Sistema original Sistema original equivalente Sistema 1 – sem a força redundante Sistema 2 – somente a força redundante A equação de compatibilidade de deslocamentos é dada por: v_B = v_B^P + v_B^q + v_B^M \quad v_B' = v_{VB}^B v_B + v_B' = 0 \quad V_B 12 - 31 Pág. 460 - Prob. 12.104; 12.105; 12.106; 12.108; 12.109 e 12.110.  Resolver os seguintes exercícios do capítulo 12 do livro texto (Resistência dos Materiais, 7a ed. - R. C. Hibbeler):  Método da Superposição Pág. 472 e 473 - Prob. 12.123; 12.124; 12.127 e 12.129.  Método da Integração - Estruturas hiperestáticas  Estruturas Isostáticas  Estruturas Hiperestáticas Pág. 455 e 456 - Prob. 12.89; 12.90; 12.91; 12.92 e 12.95. 12.9. Exemplo 5 – Estruturas Hiperestáticas Equação diferencial da LE: EI \frac{d^2v(x)}{dx^2} = -M_Ax^0 + A_yx - 3x^2 - 8\langle x - 1,5\rangle^1 EI\theta(x) = -M_Ax + A_y \frac{x^2}{2} - x^3 - 4\langle x - 1,5\rangle^2 + C_1 \hspace{5pt} (1) EI\nu(x) = -\frac{M_A}{2}x^2 + \frac{A_y}{6}x^3 - \frac{x^4}{4} - \frac{4}{3}\langle x - 1,5\rangle^3 + C_1x + C_2 \hspace{5pt} (2) • Condições de contorno: (\theta_A)_{x=0} = 0 \hspace{25pt} \text{Eq.1}\hspace{25pt} 0 = -M_A \cdot 0 + A_y \frac{0^2}{2} - 0^3 - 4\langle x - 1,5\rangle^2 + C_1 \hspace{5pt} C_1 = 0 (\nu_A)_{x=0} = 0 \hspace{25pt} \text{Eq.2}\hspace{25pt} 0 = -\frac{M_A}{2}0^2 + \frac{A_y}{6}0^3 - \frac{0^4}{4} - \frac{4}{3}\langle x - 1,5\rangle^3 + C_1 \cdot 0 + C_2 \hspace{5pt} C_2 = 0 (\nu_B)_{x=3} = 0 \hspace{25pt} \text{Eq.2}\hspace{25pt} 0 = -\frac{M_A}{2}3^2 + \frac{A_y}{6}3^3 - \frac{3^4}{4} - \frac{4}{3}\langle 3 - 1,5\rangle^3 + 0 + 0 \ldots\hspace{5pt} -4,5M_A + 4,5A_y = 24,75 (M_B)_{x=3} = 0 \hspace{25pt} \text{Eq.3}\hspace{25pt} 0 = -M_A \cdot 3^0 + A_y \cdot 3 - 3 \cdot 3^2 - 8\langle 3 - 1,5\rangle^1 \ldots \hspace{5pt} -M_A + 3A_y = 39 12.9. Exemplo 5 – Estruturas Hiperestáticas -M_A + 3A_y = 39 -4,5M_A + 4,5A_y = 24,75 M_A = 11,25 \text{kNm} \hspace{5pt} A_y = 16,75 \text{kN} \hspace{5pt} C_1 = 0 \hspace{5pt} C_2 = 0 Levando as constantes C_1 e C_2 e as reações M_A e A_y nas equações da inclinação (1) e da LE (2): EI\theta(x) = -M_Ax + A_y \frac{x^2}{2} - x^3 - 4\langle x - 1,5\rangle^2 + C_1 \hspace{5pt} (1) EI\nu(x) = -\frac{M_A}{2}x^2 + \frac{A_y}{6}x^3 - \frac{x^4}{4} - \frac{4}{3}\langle x - 1,5\rangle^3 + C_1x + C_2 \hspace{5pt} (2) EI\theta(x) = -11,25x + 16,75 \frac{x^2}{2} - x^3 - 4\langle x - 1,5\rangle^2 EI\nu(x) = -\frac{11,25}{2}x^2 + \frac{16,75}{6}x^3 - \frac{x^4}{4} - \frac{4}{3}\langle x - 1,5\rangle^3 Das equações de equilíbrio tem-se que: \Sigma F_x = 0 \hspace{5pt} A_x = 0 \Sigma F_y = 0 \hspace{5pt} A_y + B_y - 6 \cdot 3 - 8 = 0 16,75 + B_y - 18 = 0 \hspace{5pt} B_y = 9,25 \text{kN} 12.9. Exemplo 5 – Estruturas Hiperestáticas Equações da inclinação e da LE: EI\theta(x) = -11,25x + 16,75 \frac{x^2}{2} - x^3 - 4\langle x - 1,5\rangle^2 EI\nu(x) = -\frac{11,25}{2}x^2 + \frac{16,75}{6}x^3 - \frac{x^4}{4} - \frac{4}{3}\langle x - 1,5\rangle^3 Calcule a flecha em x = 1 \text{ m}: \hspace{5pt} EI\nu(x) = -\frac{11,25}{2} \cdot 1^2 + \frac{16,75}{6} \cdot 1^3 - \frac{1^4}{4} - \frac{4}{3}\langle x - 1,5\rangle^3 v(1\text{m}) = -\frac{3,083}{EI} Calcule a a rotação em x = 2 \text{ m}: \hspace{5pt} EI\theta(x) = -11,25 \cdot 2 + 16,75 \frac{2^2}{2} - 2^3 - 4\langle 2 - 1,5\rangle^2 \theta(2\text{m}) = \frac{2,0}{EI} Diagrama de Momento fletor (M) Linha elástica Ponto de inflexão 12 - 37 Determine o deslocamento vertical na extremindade B da tira de aço A-36 e as expressões da rotação e da flecha utilizando a equação diferencial da LE. A rigidez da mola é k = 2N/mm e a rigidez à flexão EI = 83,33 x 106 Nmm² Ay B MA Ax 12.9. Exemplo 6 – Estruturas Hiperestáticas EId²v(x)/dx² = M Equação do Momento fletor: MBA = By⟨x−0⟩¹ − 50⟨x−0⟩¹ MBA = Byx − 50x Equação diferencial da LE: EId²v(x)/dx² = Byx − 50x EI dv(x)/dx = EIθ(x) = By x²/2 − 50 x²/2 + C₁ EIθ(x) = By x²/2 − 25x² + C₁ (1) EIv(x) = By x³/6 − 25 x³/3 + C₁x + C₂ (2) 12.9. Exemplo 6 – Estruturas Hiperestáticas EIθ(x) = By x²/2 − 25x² + C₁ (1) EIv(x) = By x³/6 − 25 x³/3 + C₁x + C₂ (2) Condições de contorno: (θA)x=200 = 0 Eq.1 0 = By 200²/2 − 25 · 200² + C₁ 20 × 10³By + C₁ = 1.000 × 10³ (vA)x=200 = 0 Eq.2 0 = By/6 · 200³ − 25/3 · 200³ + C₁ · 200 + C₂ (vB)x=0 = −vB Eq.2 EI(−vB) = By/6 · 0³ − 25/3 0³ + C₁ · 0 + C₂ −EIvB = C₂ 1.333 × 10³By + 200C₁ + C₂ = 66.667 × 10³ Fm = By = kvB 1.333 × 10³By + 200C₁ − EIvB = 66.667 × 10³ 1.333 × 10³(kvB) + 200C₁ − EIvB = 66.667 × 10³ 12 - 41 Pág. 460 - Prob. 12.104; 12.105; 12.106; 12.108; 12.109 e 12.110.  Resolver os seguintes exercícios do capítulo 12 do livro texto (Resistência dos Materiais, 7a ed. - R. C. Hibbeler):  Método da Integração ou utilizando a Equação diferencial da Linha Elástica - Estruturas hiperestáticas