Slide Parte 1 - Deflexão em Vigas e Eixos - 2024-1

1 - 1 Componente Curricular : ENG 301 – Resistências dos Materiais II-A Carga Horária: 60 horas “Deflexão” (Flecha) em Vigas e Eixos Parte 1 - Isostática 12 - 2 Capítulo 12- “Deflexão” (Flecha) em Vigas e Eixos 12.1 Equação diferencial da Linha Elástica 12.2 Exemplo de Aplicação 12.3 Funcão de singularidade ou descontinuidade R. C. Hibbeler Pearson Education do Brasil ~~ e e e v e 12.1 Equacao diferencial da Linha Elastica LI Toda viga ou eixo sob acao de um carregamento se deforma, e os deslocamentos que ocorrem nessa estrutura devem ser limitados evitando flechas excessivas. L) Visando a determinacao dessas flechas, consideraremos uma viga biapoiada, AB. Vv L} Antes da aplicacao de uma catga, o . Li, dx > L) Aplicando-se o carregamento, P, o ‘ —y WE) e1xo torna-se curtvo (linha ACB). Liz L/2 tan 0, = (=) Ve Bmax tan 63 = wv LI Essa configuracao deformada do eixo a \dx x=0 eB Vax) x=L longitudinal da viga, linha ACB, é (V4)x=0 = 0 (Vp) x=, = 0 ; ; oe = a LE denominada Linha Elastica (LE). v(%) = equacao de v,.é a deflexao ou deslocamento vertical, denominado de flecha. LI Observagées: 0, ¢ 0,840 deslocamentos rotacionais ou angulares. =" Pata que se tenha tensao tem que haver «=» Ny tealidade a estrutura deformagao (corpo deformavel). catregada se encontra na posicao = A LE é continua entre os vaos da viga. da LE. ee 12.1 Equacao diferencial da Linha Elastica L} Como outro exemplo de LE, veja uma viga engastada na extremidade A e apoiada na extremidade B. Vv ®) x L) Aplicando-se o carregamento, P, a (A) SSS SSS x eee eee estrutura se deforma indicando LE. L L Op Ck L 2 : _95 = 0 LE = v(x) PAraee Up)x=1 = 0 tan 0 (=) 0 d an 6, = | — = A dx x=0 tan 0p = (=) ® wl Vv O, Op x A Upper En nescence Gon ef) L) Para a viga biapoiada com ~hie pier =~ |@ | x a. extremidade C em_ balanco, = 7 | oR depois que é€ carregada (P), a (Va)x=0 = 0 (Ve)x=2a = 0 (Uc)x=3a * 0 LE tem a seguinte forma: dv dv dv tan 6,4 = (=) tan Op = (=) tan 0¢ = (=) dx x=0 ° ax x=2a dx x=3a De ~ e e e v e 12.1 Equacao diferencial da Linha Elastica LI Considerando uma viga biapoiada, as hipoteses de Bernoulli-Euler e do material ser homogéneo eisotrépico. WU Aposo carregamento generalizado, a estrutura se deforma sendo que: A deformagao longitudinal ou normal ao longo de ds é dada por: - hipotese de Bernoulli-Euler, afirma que a secao plana e perpendicular ao eixo longitudinal permanece plana e perpendicular ao eixo neutro apos a deformacao. P w ’ (ON © ereeeae Mente ree — ——— ZN | longitudinal &) ee Ea | ax —_ el Fn ' 4 ! — Elemento nao-deformado ds>0 0 dx = pd0 = ds _ (p—y)dé — pda _ y @ é€ = lim ————— é=—-— ds’ = (p — y)dé dé-0 pdaé p eixo Ke =" ds-comptimento de uma fibra qualquer da secao transversal; C)}) Z € ax) | " y-— distancia do eixo longitudinal até uma fibra qualquer, ds, da secao transversal; ~ ~ , Elemento deformado L) Dessa expressao da deformacio obtém-se a curvatura, dada por: |1 __ € , 0 ee ~~ e e e v e 12.1 Equacao diferencial da Linha Elastica LI Aplicando-se a lei de Hooke (comportamento linear elastico) valida para materiais homogéneo, tem-se: =" o-—tensao normal, uM # E—méddulo de elasticidade longitudinal U Da teoria da Flexao tem-se: =» I—Momento de Inércia em relacao ao eixo de flexao , centro de curvatura e L) Substituindo as duas equac6es anteriores na expressao da cutvatura, tem- raio de curvatura se a relagao da curvatura com 0 momento fletor M, dada por: wee [==-£] 3 ze loot 1 (M2) 1M a pT Ty) G2 DTT Ey Op By) Lp TH) om p y p E y P y longitudinal ds' 1 oO “ LI Pode-se também obter a curvatura em termos de tensAo: p E Elemento deformado L) A curvatura pode ser dada em funcao da equacao da LE, sabe-se que: LI Substituindo na expressao da curvatura pM dx = pao 1 dé em funcgao do momento, tem-se: O Des ~~ e e e v e 12.1 Equacao diferencial da Linha Elastica L} Nos casos da pratica da engenharia considera-se 0 comportamento do material linear elastico ( problema de 1° ordem) em teoria de pequenas deformag6es, assim tem-se: dv(x) dv(x tan @ = ——— tand ~ @ 9 ~ 9) = weg Ld om, L] Substituindo-se @ na _ expressdo da = ddv(x)_ M ew _M dx dx EI | dx* — EI curvatura, tem-se: L) Esta é a equacao diferencial basica para a Linha Elastica de uma viga, que deve ser integrada em cada caso particular para se obter a flecha, v(x). L} Essa equagao diferencial LE correlaciona distribuigdes de deslocamentos e momento fletor ao longo de uma viga prismatica. M C; ii L} Pode-se observar pela equagao diferencial da LE, quando o [ , . . . . . Momento interno positivo momento fletor Mé positivo (fibra inferior tracionada), a viga tende a concavidade para cima se curvat com a concavidade para cima. 1 a or LI Portanto, a LE tende a ter sua concavidade voltada para cima. Mommas iiecnsenegtin concavidade para baixo ee ~~ e e e v e 12.1 Equacao diferencial da Linha Elastica LI Veja alguns exemplos: +” (~ “yn _M oC _v | [se GY > eon L dx? «El Momento interno positivo Momento interno negativo NATAL YRARSIONAI concavidade para baixo P P, P, S D c M _— a kL 2S Cc E — ul. ra es * M _ Y 4 Diagrama de Momento fletor + 4 + Diagrama de Momento Fletor | | | "4 _D ce nO Niet Ee Lf — fa.) Ie OE , ——— WV i \ onto de Talents Ponto de inflexao . a Linha elastica Linha elastica ek: 12.1 Equacao diferencial da Linha Elastica LI Derivando a equacdo diferencial da LE e considerando a rigidez a flexao (ET), pode-se obter formas alternativas dessa equagao da seguinte maneira: pam _M dx?” EI L} Equacao para o calculo de flecha ou Elv(x) = | | M(x) deslocamento na direcao do etxo y. dv(x) - e122 ~ ng EI— 7 = M(x) — — — __ ——_ = ———— V me dx dx? dx me dx3 We) oP, ©) ae ae EIS 12-9 12.1 Equacao diferencial da Linha Elastica L} Quando se tem grandes deformagdes em uma viga, nao é possivel admitir as simplificacgdes utilizadas anterlormente para obtencao da equagao diferencial da LE. L} Deve-se, entao, usar a expressao exata da LE, relacionando a inclinagao ~ =v’ com o n ~ . , dv(x) = 7 angulo de rotagao @ do eixo da viga, dado pot: tan@ =——— = v’ LX 1 dé 1 dd M ! iP U) Considerando: ds = pdé p ~ ds p> ds El a(arctan v ) = M p ds EI dx Vdx2 2 LY Como: ds?=dx?+ dp?, tem-se: —Jav ds =. dx2 4+ dv2 ds _ vax* + dv* ds dx dx d dx2 dv 2 | ds WU Por definicao: Se lS SL (2) | Sanson dx dx? dx? dx dx ax d(arctan v’) v" dx 14 (’) L Multiplicando a expressAo da curvatura pot dx/ dx, tem-se: d(arctanv’)dx = M Equacao diferencial exata da LE. ds dx El v" 1 M y" M | ! 1 4 (w)2111 + (2112/2 *ET a d(arctanv')dx _M [1 + (’)*] [1 + W’)?] El [1+ @)2)3/2 EL dx ds El Peale 12.1 Equacao diferencial da Linha Elastica L} Condicgées de contorno ou extremidade: O) Condicées de continuidade e de simetria: P =» Para a_ solugdo dos _ problemas SSS Ss envolvendo LE, tem que © ser G4 ee] C) considerado algumas_ situacdes que > ® Li2 L/2 denominamos de condigdes_ de contorno ou de extremidade. x=L/2 6, = dv +0 6, = dv +0 L} Entao, a partir de uma distribuicao ax dx] _ x=0 P ied de momentos fletores e das condicgdes de contorno, de A SS) B i. . . >> . continuidade e de simetria da viga, —*,_, iz L® (one =0]e = pode-se obter, por integragao, a V1 )x=1/2 = (V2) x=1 [eden = 0 distribuigao das flechas ao longo dv da viga. 6, = (=) =0) (av 4 auise rv _M x=0 B=\a) * “dx? El x=L 12-11 12 - 12  Convenções de sinal da equação da LE 12 - 13  Convenções de sinal da equação da LE Variação de x da esquerda para direita Variação de x da direita para esquerda 12.2 Exemplo de Aplicacao v Para a viga biapoiada com carregamento DCL qd S| distribuido gq e I constante, pede-se x | __, AA TAB determinar: F,, - x L { a) aequacao da flecha ou LE, v(x); Ay | Pay b) A equacao da inclinacao da LE, 0(x); Ee d2v(x) / c) A flecha maxima (V,,,;,) dx2 (x) d) As inclinagoes (@ no apoios A e B, e no meio do vao. 2°) Equagao do Momento fletor: 1°) Reagées de apoio: _ * ) s P ou [@\) a Map = Fay X — 9. X65 - Map =X — 1 aL " 3°) Equagao diferencial da LE: Z _ _-— _ tf] | een” | | EI——— = x -—— OL) \ Pear e fw Vv 12.2 Exemplo de Aplicacao 9 (N/m) a) aequagao LE, v(x); AY A B x x (m) ” d2 L 2 ' L m i pp 2) — q” _ ae (Nm) eh b) A equagao da inclinacgao, O(x), da LE; dv(x) qL qx? Le ~ EI—— = E10(x) = Te —= +C, (1) (Nm?) ° Substituindo C; na equacao (1): L qx? qL? L x4 _ 4h 2 aXe dh Elv(x) = x8 — — +C1x+C. (2) (Nm) EIO(x) =x E04 2 6(x) = —*— (—4x3 + 6Lx? _— L?) aa =rad * Condig6es de contorno: m L 0* N (v4)x=9 = 0 mC Eq2 > 0 = =0! - T+ 00+ 6, El =—5+m* = Nm? qL qL* L3 (Vp) x=, = 0 mC Eq2 > O=- sy tal +0 ——— ¢ Substituindo os valores de C,e C,na equagao (2): Elv(x) = 75x 5A 4 v(x) = aay ox" + 2Lx L°x) Nm2 Dae 12,2 Exemplo de Aplicacao 9 c) Flecha maxima, v,,,3 A,\——Li_ Unix AB Poe On 7 v(x) = (—x* + 2Lx? — L?x) O sinal negativo gq L\* LY (L 5qL! 2 (Umax) x=L/2 = 24EI| \2 + 2L 7) ~ L 2 Umax ~ ~ 30a indica a flecha para baixo. d) Inclinagao da LE, 6,, O,e 6,3 q 3 2 O(x) = —— (—4x3 + 6Lx? — L3) q L L 4 (@)x=1/2 = DAE] —4 5 + 6L 5) ~ L?} | @x=1/2 = 0 O,)xa0 = - 2 Ao’ 24 E um ponto de minimo (concavidade da curva para cima), que sera O sinal negativo indica a a flecha maxima. Entao, oe = 0, consequentemente, tangente do rotacao sentido horario. snoulo é nul angulo é nula. O sinal positivo indica a rotacao q L3 Pp ¢ Oe” 2AEI Oa)xat = +5; sentido anti-horario. al Ahy fe WT. 1 1 A » fey Rotacgao (8) rad y \ g EMecienen ele : : x oo oo, I in A Ee Se x L ! amen 0.50 1.00 2.00 aX) 3.00 6 (x) = 1 (4,3 + 6Lx2 — L?) MMe etit 24E] a q L L? mM Teele Oxn=9) 0))..-+ I 7} ams Flecha (v) if A lt00 [w=s owen] | Y 2AF] . ope R10) rm FU Pan) 2.50 Pau y mm Meee . ; ] _— q = 5 kN/m eoMestoweeet A 5 4 -0.015000000 bs f - |b Q am ». -- "| K yy max ~~ 284F] MOMAyLOe eee ‘ P 0,01 . 0,1? _7 4 -0.025000000 \. 3 I = 42. = 8,33 x 10 m eos he ae Pd r a Ss to E = 200 x 10kN/m? [ EI = 166,67 kNm? a Y 100 ros S 3k y mm a) Determinar o valor da flecha maximaeoseu fgg, | N a as 4 I w+ | [29m ponto de ocorréncia. [ ; oe wm SB = . b) Tracar a Linha Elastica LE. A Ic __, 4 * hj Sy , Fax Jim | ary F ~ . > | 1°) Reagoes de apoio: Fy, x Cy YF. = 0 YF,=0 Fy tky—-3=0 |Fay = 2KN YM, =0 Fy:3—-—3-1=0 |Fcy =1KN 2°) Equacao do Momento fletor: Trecho AB: Map = 2x ou [e\) M Trecho BC: Mgc = 2x — 3(x — 1) 3°) Equagao diferencial da LE: d*v(x d x2 Trecho AB: pp) = 2x pp Le) = E19(x) = “~ +C, El@(x) =x?+C, (1) ax dx 2 3 EIv(x) = > + Ci x + Cy (2) DET: 12.2 Exemplo 2 Aco: E=200GPa gay y 20 ~ 3 KN gam Equagao da LE: een (A nn Trecho AB: EI@(x) = x*+C, (4) x3 ‘ 1 a EIv(x) = 23 + Ci x + C, (2) A ‘ Cc d?v(x) J tm | em Trecho BC: El-p = 2x — 3(x - 1) dv(x) 2x2 3(x — 1)? 2 37 a2 EI —— = E10(x) = —— -———- + Gy EI0(x) =x 5 (x 1)*°+C3 (3) dx 2 2 x? 3 x? 1 3 Elv(x) = z7 g —1)?+C3x+C, Elv(x)= 37 5 —1)°+C3x+C, (4) 03 ¢ Condicées de contorno: (V,4)x=0 = 0 mC Eq2 > 0 = 3 + €,0+ C, 33 1 ; (Ve)x=3 = 0 => CEq4 > 0=3-5G6-D +03°34+C4 3C3+C,=-—5 * Condig6es de continuidade: 3 _ _ Pry 4)2 (05 )x=1 = (08) 4 = Cag D=Caq3 > x* + Cy = x? — 5 (x—1)° + C3 3 += 1-51-12)? +¢3 Pa 12.2 Exemplo 2 Aco: E=200GPa omy y 120 . 3 KN y) t mm Equagao da LE: een nl [uo Trecho AB; El0(x) = x° + C (4) ; x ‘ 1 = , 3 , dm | am Trecho BC: EI@(x) = x* — 5 —1)°+C,3 (3) x3 1 Elz) = —5(e-DI+GxtCy (4) 3C3 +C, =—5 (5) * Condicées de continuidade: (v3%),-1 = (vg), 1 c= Cig2 = x3 x3? 1 3 13 17 1 1 1 —4+C,-140C, = >- 51-13 +03-14+C, [+03 +0=54+034+Cy 3 3 2 3 3 5 ¢ Substituindo os valores das » Oo x3 5 Trecho AB:| FI@(x) = x*—--s || Elv(x) =—-=x Constates nas equacoes: 3 > 8 x3 1 , 9 Trecho BC: | El0(x) =x*-—x=(x-1)*-= | JElv(x~) =—-=(x-1)?-=x PEP AQYON TL 1 ty Ago: FE=200GPa U y 100 ~ . mm Equacdo da LE: 4 | |! Qn 5 x? 5 i E10(x) = x* —= || Elv(x) =—-—-=x | ‘atm ~P>—_B — 3 3.3 A | — 3 5 | dim | im | ———_ a | --- e e EIO(x) = x* -—=(x-1)?-= 0,01- 0,13 Trecho BC: | z [= — = 833 x 1077m*4 Xx Elv(x) =—~—-=(x-1)?-=x E=200x10°kKN/m? | EI = 166,67 kNm? Rotacgao (8) rad Flecha (v) m MMos ini synn el) Pon eOm | ON i) rma ra PAI) PAI Aw Amerestienerel) MMos tne el ® PELL GME LENE men r ney Teele) \ Trecho AB -0.003000000 @ 0.002000000 \ mney @ 0.000000000 N 0.00 0.50 1.00 1.50 Patt) PAs} t) 3.00 -0.005000000 hn’ -0.002000000 ” mua tnii\0e \ MMIC nn el) ; @ MMensteyene = od ae \ ) Menor ak a BALLIULOLES \ -0.010000000 @-®- or" Trecho Wb) -0.009000000 -0.012000000 mM OsLiLne\s a Afr fre Ww. 4 ty Rotacao (8) rad MMestoleeleee Aco: E = 200 GPa U ft OMel=toelere Uy 4 a MMe nelee te) 100m 3 KA Z — iMate) 4 ” _.| |! rm Maroy tnyin el) - Onenelee te Ka et) rm rat 2.00 2.50 ERI) A mM eyleele nie) A ( 8 Cc mney toe oe) ; os moe nee ete _4o |_dm Lem | -0.008000000 a -0.010000000 rane 3 5 -0.012000000 EIO(x) = x* -—=(x-1)*-= Flecha (v) m 0 — 2 _ 3 _ 1 2 _ o 0.000000000 @ =X _ (x ) _ 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 Pa) 3.00 2 3 -0.001000000 | @ 3 5 -0.002000000 " x2 —_ — (x? — 2X + 1) a 0 MOET NTN . 2 3 MM terete A) & —3x2+18x-19=0 |[x=1,367m ee . -0.006000000 . 5 EI = 166,67 kNm? eM oeln - 3 1 5 -0.008000000 . : — * — — 3 mM Tee eee Elv(x) =—--=(x-1)?-=x MMOS ee ee) v = —0,00872 m = —8,72 mm 12.2 Exemplo 3 3 4 | Pha 5 kN/m a) Determinar a equacao da rotacao e da Ma, C —yx LE e tracar a LE. RO Ax S18 = Ax 1,2m J, Lm 1°) Reag6es de apoio: Fy, x l YF. =0 YR,=0 Fy,—-4-5x1,2=0 |Fy, =10KkN YMi=0 Mg, —5-1,2(0,6+1,2)-4-12+7=0 | Maz = 8,6kNm 2°) Equacgao do Momento fletor: Trecho AB: Mag = —8,6 + 10x oo [@\) a — 1,2 Trecho BC: Msc = —86+10x-—7- A(x _ 1,2) _ 5(x _ 1,2) 2) 5 Mpc = ~15,6 + 10x — 4(x — 1,2) —> (x - 1,2)? 3°) Equagao diferencial da LE: d*v(x 5x3? 86x? Trecho AB: pp = —8,6 + 10x EIv(x) = — — o + Cx + Cy dv(x) 10x? 3 JM — a 5 EI—7— = El0(x) = —8,6x + — + Gy Elv(x) = — ~4,3x2 +C,x+C, (2) EIO(x) = 5x* — 8,6x + C, (1) D8 4 4 {Nn 12.2 Exemplo 3 | FKNin | 5 N/m ae —x Equagao da LE: AA y. G c | 42m") 1,Zm | | 5x3 * Trecho AB: EIl0(x) =5x*-—8,6x+C, (1) Elv(x) = 37 4,3x7+C,x+C> (2) 2 Trecho BC: pp = —15,6+ 10x — 4(x —- 1,2) - >. (x — 1,2)” dv(x) x? 4 , Oo ; EI = EIO(x) = —15,6x + 10>--5&@ — 1,2) — Ee — 1,2) + C3 5 EIO9(x) = —15,6x + 5x* — 2(x — 1,2)? — Eo — 1,2)? + C3 (3) 15,6 5 2 5 = _— oo” 2 _ vos _ _ _ 3. _ 4 EIv(x) 5x + Be 3 (x — 1,2) oA (x —1,2)* + Cax+C, (4) * Condicdes de contorno: (94)x=-0 =0 => 0=5-0*-86-:0+¢C, 5-03 3 = (V4) x=0 = 0 = 0=—7—— 43-0 + (€,°0+C, ¢ Substituindo os valores das 53 Constates nas equacées: = techo AB: DEpy 12,2 Exemplo 3 4 4 kN Pp | *Rn| 5 kN/m Equagao da LE: [a C AA x a Cc * Condig6ées de continuidade: | 12m | d,s | | (OB )a-12 = (68), 1. mp Caqd = Cia 5 5x* — 8,6x = —15,6x + 5x* — 2(x — 1,2)* — Ee — 1,2)? +C, 5 5+ 1,2? -8,6- 1,2 = —15,6-1,2+ 5+ 1,2? -2(1,2 — 1,2)? - 2 (1,2 -1,2)° + ¢; Beata =D yaiam—> Coa2 = Chad) 5x3 15,6 5 2 5 we 2 ng 8 Ay a 4 3 43x 5 + Be 3 (x — 1,2) 54 (x —1,2)* + C3x+ Cy 5- 1,23 15,6 5 2 5 a . 2—__’_—" 24, 3 _ 3 _ _ 4 . 3 4,3-1,2 5 1,2° + 3 1,2 3 (1,2 — 1,2) 7A (1,2 —1,2)*+84-124+C, Cy = —5,04 e 1t111 5 Substituindo as Constates nas EI0(x) = —15,6x + 5x2 —2(x — 1,2)? - (x —1,2)3 +84 equagoes (3) e (4): Trecho BC: . 15,6 5 2 5 Elv(x) = —-——x? +=x? —=(x- 1,2)? - 5, (*- 1,2)* + 8,4x — 5,04 EDS ARQR TE 1 vo) Rotacao (8) rad aes 0.000000000 @ VA, oye eT 1.00 1.50 Paw Pay 3.00 y 4 fn) Y | F Nin 5 EN Ton Uy 100 MOM aresTH lou a Z WT yy mm ; “| A _ 40 MoMoterelelerety0 . Trecho AB ° GB | | \ [42m bam | hime ee Y EI@ (x) _— 5x2 _ 86x meme tue oe *e et El 0 (x ) mMIPLTOHe eT) = —15,6x + 5x* — 2(x — 1,2)? 5 -0.030000000 —=(x- 1,2)° + 8,4 > Flecha (v) m 5x3 0.000000000 @-@: EIv(x) = 20 — 4,3x? 0.00 a 1.00 1.50 PA 2.50 3.00 EIv(x) mMestow |e ss aka TA AB 15,6 5 2 hc — , 2 3 3 MMe = — HX + KP - Ss (X- 1,2 - 2 3 3 ( ) _— 74 (x _ 1,2)* + 84x _ 5,04 Morro oes (er018) 0,01 e 0,1 4 -0.040000000 | =" = 8,33 x 10-7 12 mMereeeloe E = 200 x 10° kN/m? EI — 166,67 kNm?2 -0.060000000 12 - 27 Pág. 431 - Prob. 12.2; 12.11; 12.12; 12.14; 12.15; 12.22. Resolver os seguintes exercícios do capítulo 12 do livro texto (Resistência dos Materiais, 7a ed. - R. C. Hibbeler): 12.3 Funcodes de Descontinuidade ¢ Para expressat a distribuicao de esforcos em uma viga a partir da equacao do momento fletor (MVM) usando uma unica expressao ao longo do vao, utiliza-se a fungao de descontinuidade, dada por: omer M mene (x—a)' Cparax>a ©) Gn) ¢ Assim, equagao diferencial da LE é | qx, cE x determinada obtendo a equacao de momento ———!= (2) fletor utilizando a fungao de descontinuidade on da seguinte forma: Gx] x ee d?v(x) (3) a 1 ees, = a> CaP | ¥ . ¢ x€0 ponto ao longo da viga; ee . oy (4) Inclinagé ¢ aéo local na viga onde ocorre “descontinuidade”’. 41 = a x ———<$—__—_——_—> Pees: 12.3 Exemplo 4 Aco: E = 200 GPa U “h 4 1100 AA | mm Determinar o valor da flecha maximaeo ponto jo _— 3 KN [-. T 0 — 2 de ocorréncia usando as fungdes_ de 4 om descontinuidade. nn = A s 1 Cc —> 1°) Reagées de apoio: F,, | 4m | hy | F EF x BF =0 ° 2°) Equac4o do Momento fletor: Trecho AC: Mac = 2x — 3(x — 1)’ mu [@\ )™ d2 3°) Equagio diferencial da LE: £12 = 2x — 3-1)" dv(x) | _ 2x* 3 5 _ 4 3 5 EI—7— = El6(x) = - 5-1) + C; EIl6(x) =x 5 (x 1)*+C, (1) x? 3 3 xe 1 Elv(x) = 37 ra —1)?+Cyx+C, Elv(x) = 37 5 —1)?+Cyx+C, (2) ree 12,3 Exemplo 4 , 10 parax <a _ (x-a)) - . Ago: E=200GPa ho _ “> j Equagao da LE: (x a) patax=a 100m 3 KN [-. " a 3 —| |= mm PAG) = PZ pot x3 1 A . Xx cS Elv(x) =~ 5-1 +x + C (2) cir > zm | * Condigdes de contorno: 0 o> 1 (V4)x<0 = 0 Em 0 =F Se 1) +046, 37 1 ; 5 (v)xa3 = 0 Emp CEg2 » 0=37-58-D +C,-3+4+0 G=-3 Pode-se observar que nao houve a necessidade de se utilizar as equagées de continuidade... ¢ Substituindo C,e C,nas equacoes (1) e (2): | EI@(x) = x? — 3 ty — 1)? > ~~ Ay 7y3 2 Determinar o valor da flecha maxima e 0 ponto de ocorréncia. Elv(x) = 3 2 (x — 1) 3% 0=x?- (x — 1) -2 —3x*+18x-19=0 |x=1,367m EI = 166,67 x 10? Nm? 1,367% 1 5 Elv(x) = 3— — 5 (1,367 — 1)% 5 -1,367 @ = —0,00872 m = —8,72 mm eR 12.3 Exemplo 5 d 4 KN | *Rn| 5 N/m a) Determinar a equacao da rotacao e da Ma, C a, LE usando a fungao de descontinuidade. 4A B v Fax S . 1,2m 3 zm 1°) Reag6es de apoio: F,, x I YF. =0 YF,=0 |Fyy=10KN| YMi=0 [My = 8,6kNm 2°) Equagao do Momento fletor: Trecho AC: Mac = —8,6(x — 0)° + 10(x — 0) — 7(x — 1,2)° — 4(x — 12)! — lx 1,2)” ou [@\) a AC , , , 2 , 5 Mac = —8,6x° + 10x — 7(x — 1,2)° — 4(x — 1,2)* — =(x — 1,2)” 3°) Equagao diferencial da LE: d? 5 pp) = —8,6x° + 10x — 7(x — 1,2)° — 4(x — 1,2)* —-=(x - 1,2)” dx? 2 10 4 5 EIO(x) = —8,6x + ze — 7(x — 1,2) — 5 — 1,2)? - a — 1,2)? +C, (1) 8,6 10 7 4 5 a a 8 ly 1 9)2 © ly 129593 © 2 ly 1954 EIv(x) = 7x + a * 73 (x — 1,2) ; (x — 1,2) a4 (x —1,2)*+C,x+Cz (2) EE) d 4 kn 12.3 Exemplo 5 | Pitta 5 kN/m 3 —x Equagao da LE: | A c 1,2m 1,2 in 10 4 5 EI@(x) = —8,6x + ze — 7(x —1,2)1 — 5% — 1,2)? — a —1,2)2+C, (1) x 8,6 10 7 4 5 2 8 ly a ae a 4 Elv(x) = 7x + 5% 5 (x 1,2) 5 1,2) 54 1,2)*°+C,x+C, (2) { * Condigdes de contorno: (x—a) = , (x—a) parax2a (04)x-9 = 0 => 10 0 4 0 c 0 0 = -8,6-0+=0 7(x 41,2) (1,2) a(x 12) +C, LG (v4) x=0 = 0 => CEq2 > 0 0 0 8,6 10 7 4 5 = 86524199 Ty op See Any Sa Arc: 0 5 0“ + 6 0 J (x 41,2) =(x 1,2) (x 41,2) +C,:04+C, (“2 ° itui 10 4 5 Substituindo C,e Cz mas | pig.) = 9 6x + x? — Wx — 1,2)! — (x — 1,2)? — 2x — 1,2) equacoes (1) e (2): . 8,6 10 7 4 5 ee 2 8 ly a 3 Dy 4 Elv(x) = 7x + 5% 75 (x — 1,2) 6 1,2) oA (x — 1,2) EEy 12.3 Exemplo 6 P § KN /m 12 kN | S Determine a equagiéo da linha M, C 50 kKN-m I A ° : elastica e da rotagao para a BA C H x | viga em balanco ilustrada na A ) — ———5m -~—— 4 nd fioura. ET é constante. Calcule Vs = DCL aflechaemx=4m. (3) Wp at kN-m 8 kN /m 12 kN Hy, = 0 = Y V, =52kN “ A 5 C 4 , 0 S2kN SO KN-m aN im My =258kNm ‘*~“) > (x-a)’ parax>a a ee ¢ xé€o ponto ao longo da viga; x e aéo local na viga onde ocorre “descontinuidade”’. u( [@\ ) Equagao do Momento fletor de AC: x —0) x — 5)? Mac = —258(x — 0)° + 52(x — 0)1 — gpa + ge + 50(x —5)° Mac = —258x° + 52x — 4x* + 4(x — 5)* + 50(x — 5)° EES 12.3 Exemplo 6 ___8KN/m een NAY yyy A SOKNm Equagao diferencial da LE: 7 B ee. y | ’ —— ao EIv" (x) = —258x° + 52x — 4x2 + 4(x — 5)* + 50(x — 5)° x? x3 (x —5)9 Elv'(x) = —258x + 52 — 4 + 4— +50(x-—5) +(C, 4 4 Elv'(x) = —258x + 26x? — 3 + 3% —5)3+50(x-5) +C, (1) 26 1 1 EIv(x) = —129x? + 3 — 3X + 3% — 5)4 + 25(x — 5) +C,x+C, (2) * Condig6es de contorno: (x-a) = (x-a)’ parax 2a (O4)x=0 = 0 mp 4 4.0 0 0 = 258-0 + 26-0? —20 + 3(x~'5) + 50(x ~5) +O, |G ()xe0 = 0 ma C42 > 0 = —129 02 + 2.03 — 208 + = 25) 425 sy +04C gO gO tg (x 2 DEEY 12,3 Exemplo 6 8 kN /m 12 kN * Substituindo C, e GC, nas A 50 KN-m equacdes (1) e (2), obtém as | B C equacoes da rotacao e da LE: . x 5m 4m lo) == 258x + 26x? ‘ 344) 5)3 + 50(x — 5) v(x) = El x xo — 2x + (x x 1 26 1 1 _~ =f _ 24 9 3 4 ly _ cy4 _ cy2 v(x) = 129x° + BBX +3 (x 5)* + 25(x — 5) Calcule a flecha em x= 4 m: (xa) = (x-a)’ parax 2a _ 129 - 42 26 43 * 44 1, 25) 25(25) v(x) =F at 3 +(e SY" + 25(x— 5) 1594,67 12-35 12.3 Exemplo 7 — Materiais e areas distintas 10 kn /m Obtenha as equacoes da inclinacao e da LE para a | | | | | | | if [ | | | | | | viga biapoioada. O material do trecho AB é SS B A —=> A———*— Alberto B. Vieira Jr. composto de aluminio com (EJ),, = 28 kNm? o Hy | 98m | 0,8 ra | ie | ee trecho BC de aco com (EI),,,=126 kNm’. Vs x Vv; Reacoées de apoio: H, = 0 V, =8kN Vc =8kN 2 Equacao do Momento fletor: Trecho AB: Mag = 8x — 10— Map = 8x — 5x? 2 ae BE ye 88 6) Trecho BC: Mpc = 8x - 10 Mpc = 8x — 5x ou [@\) ~ 4: , d*v(x) 2 Equagcao diferencial da LE: Trecho AB: (EI JalF2 = 8x — 5x 8x2 5x3 5x3 (ET) 19 (x) =r rm (ET) 8 (x) = 4x* ———+ C, (1) 2 3 3 4x? 5x4 d?v(x) (EI) qiv(x) = 3.7 TD +C,x+C, (2) Trecho BC: (ED gco——>— = 8x — 5x? dx? 8x* 5x3 5x3 (El) aco9 (x) = Tt (El) aco9 (x) = 4x*—-——+C3 (3) 2 3 3 4x? 5x4 (El) acoV(x) = 3-— Fz t Osx + Cy (4) ee 12.3 Exemplo 7 — Materiais e areas distintas 10 RN Jor as BUUETERTEUNGEENS Trecho AB: (EI)q9(«) = 4x* — 3) +C, (1) Ax? 5x4 >» — (ED) giv (x) = 20 —_ “12. + Ci x + Cy (2) 4 —x 8 Alberto B. Vieira Jr. 2 j— 28 | 96m | Trecho BC: (EI) aco 9 (X) = Ax* — > +C3z (3) Se Ax? 5x4 (EDago¥X) = + Oye + Cy (4) . 4-02 5-04 * Condicédes de contorno: (v,4),-9 = 0 = E> 0= JT + €,0+ C, 4-1,6% 5-1,64 (Ve) x=1,6 = 0 => CEq4 > 0 = 23 —_ 42, + C3 ° 1,6 + Cy 1,6C3 + C4 = —2,73 * Condigoes de continuidade (transic¢ao do tipo de material): (EI) q., 4s (8)x<08 = (8) a0 PC Fal = Cia3 > Di 1 (42 +4] , (42 +65) Cy 3 0") (EDaco 3 C8 (El) aco 5x? 5x3 5x3 5x3 aa S80 x? — = ( 4x2 — 2 = ( 4x2 — (ED x 3 + Cy x 3 + C3 4,5 (4: 3 + c) (4: 3 + cs) > OC 0,8° 5 OC 0,87 4514-0,8 a+ =(4-08 “3 + C3 4,5C, — C3 = —5,97 DEEY 12.3 Exemplo 7 — Materiais e areas distintas 10 aN, Jor _ TTT Trecho AB: (EI)q9(«) = 4x* — 3) +C, (1) Ax? 5x4 >» | x B A (EI) v(x) a > _ TD +C,x+C, (2) A 7 Alberto 8. Vieira ut C | 98m | 0,8 ra | 5x3 J l*= Trecho BC: (El) aco9 (x) = 4x2 — > +C3 (3) x ted 54 1,6C3 + Cy, = —2,73 x x (El) acov(X) = 3 —_ 12 + C3Xx + C4 (4) 4,5C, _ C, _ 5,97 * Condicées de continuidade: (V3) x=08 = (v3 aos i Ciig2 = 1 (4x? 5x* texte \e 1 Ax? 5x4 LCxte (ED aco _ AS (ENa\ 3 12. * 7) (Dao 3 12 > 4 (ED (El)aco (4x° 5x4 texte) = Ax? 5x* LCxte (EN \3 12. 2) \3. 12° 3%" "4 4-087 5-084 4-087 5-084 4,5 er ne en = a er 3,6C, — 0,8C3 — C, = —1,79 DEES 12.3 Exemplo 7 — Materiais e areas distintas 10 eri fm Trecho AB: (EI) qi9(x) = 4x* — 3) +C, (4) (Eg) = art (2) Pe evan, Ee alV X = _.- SC 4x 2 rto B. Vieira Jr. rrr | ~All Trecho BC: 4 5 5x3 3 ee EI = 4x? — (ET) aco9 (x) x 3 +6 (3) Ax? 5x4 (Elacov(x) = Tap t xt e, A * Resolvendo esse sistema de 3 equacoes e 3 incdgnitas, tem-se 1,6C3 4 Cy _— —2,73 Cy = —1,29 ° Substituindo as constates nas 4,5C, — C3 = —5,97 C3 = 0,16 equacoes (1), (2), (3) e (4), tém-se as 3,60, — 0,803 — C4 = —1,79 Cy, = —2,99 equacoes de rotagao e LE dos trechos AB e BC: 5x3 Ax? 5x4 Trecho AB: \(EI)q,0(x) = 4x2 —-——-—1,29) | (EDqv(*%) =>--= - 1,29x 5x3 Ax? 5x4 Trecho BC: |(EDaco9(&) = 4x* ——— + 0,16 (El) acoV(x) = =- —- => + 0,16x — 2,99 Dee 12 - 40 Resolver os seguintes exercícios do capítulo 12 do livro texto (Resistência dos Materiais, 7a ed. - R. C. Hibbeler): Utilizando o processo da integração direta com a equação geral, de forma a minimizar a quantidade de constantes a serem determinadas (Funções de descontinuidade): Pág. 440 - Prob. 12.39; 12.41; 12.42; 12.43; 12.45; 12.47. Pág. 455 - Prob. 12.89; 12.90; 12.94; 12.97; 12.102.