Linhas Bifilares em Regime Senoidal-2022 1

1 Linhas bifilares em regime senoidal 3. Linhas bifilares em regime senoidal 3.1. Equações gerais de transmissão 3.2. Estudo da impedância característica 3.3. Estudo do fator de propagação 3.4. Características das linhas sem distorção 3.5. Velocidades de propagação e comprimento de onda 3.6. Relações entre algumas características da linha 3.7. Reflexões nas linhas de transmissão 3.8. Descrição das grandezas na linha com reflexão 3.9. Determinação dos parâmetros da linha de transmissão 3.10. Admitância da linha de transmissão com reflexões 3.11. Elementos de circuitos com linhas de transmissão 3.12. Síntese de circuitos ressonantes com linhas de transmissão 3.13. Distribuição de tensão e corrente nas linha com reflexão 2 Equações gerais de transmissão Eg Zg ZL Ii Vi Δz z I(z) V(z) As descrições das linhas mostraram que condutores reais possuem resistência elétrica e indutância distribuídas 3 Equações gerais de transmissão Os valores vão depender: - Da condutividade do material - Do formato e da área de sua secção transversal - Do comprimento da linha - Da separação entre os elementos e da frequência S l R c         a d l L 0 ln   A resistência distribuídas por unidade de comprimento, R, deve ser a menor possível para se aproximar de um condutor ideal. A indutância distribuídas por unidade de comprimento, L, leva em conta a influência magnética de um elemento conduzindo corrente sobre o outro e do meio entre eles. A indutância como a resistência será responsável por uma queda de potencial nos condutores mas não contribui para dissipação de potência do sinal transmitido. 4 Equações gerais de transmissão Com os eletrodos separados por uma região dielétrica, forma-se uma capacitância distribuída , C, por unidade de comprimento. Seu valor vai depender: - Das dimensões dos condutores; - Da separação entre eles; - Da constante dielétrica do meio. Presença de uma capacitância Desvio de parte da corrente de um para outro condutor, crescente com o aumento da frequência. 5 Equações gerais de transmissão Um dielétrico real entre os eletrodos é responsável por uma condutância por unidade de comprimento, G, que como a resistência contribuirá para a perda de potência Os parâmetros R, L, G, C são definidos como parâmetros primários ou parâmetros distribuídos da linha de transmissão Cada linha de transmissão é caracterizadas com seus parâmetros R, G, L, C determinados pela configuração. Uma linha sem perda => R=G=0. 6 Equações gerais de transmissão j L R Z    Em regime senoidal permanente, os elementos longitudinais e transversais formam a impedância e a admitância por unidade de comprimento j C G Y    7 Equações gerais de transmissão Impedância característica O comportamento do circuito equivalente permite concluir que a impedância medida em qualquer ponto da linha assume um valor sempre igual, independentemente da distância, esse valor é conhecido como impedância características, Z0. 0 0 1 1 Z z Y Z z Z      ZΔz YΔz Z0 Z0   z YZ Z z YZ Z z Z        0 0 0 0 1 1 8 Equações gerais de transmissão   z YZ Z z YZ Z z Z        0 0 0 0 1 1 Resolução de polinômios de segundo grau                 Y Z Z z Z z Z 2 0 2 2 A solução exata exige que o trecho analisado tendo para zero j C G j L R Y Z Z      0  9 Equações gerais de transmissão ZΔz YΔz V0 V1 Constante de propagação   2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 z ZY z Z Z V Z z Y Z z Y z Z V V                             10 Equações gerais de transmissão Para uma descrição mas compreensível do comportamento do sinal, introduz-se um novo parâmetro denominado constante de propagação ZY Z Z         0    2 2 0 1 1 z z V V        Como Δz <<1 0   x x    1 1 1  z V V     0 1 1 x<<1 11 Equações gerais de transmissão Tendo V1 como exitação, na saida da segunda célula     2 0 1 2 1 1 z V z V V         Para n célula   n n z V V     1 0 Expansão binomial                       ... !3 2 1 !2 1 1 3 2 0 z n n n z n n z n V Vn    12 Equações gerais de transmissão O numero de células deve tender para o infinito, à medida que Δz 0      . 2 1 1 3 2 etc n n n n n n n                      ... !3 !2 1 3 3 2 2 0 z n z n z n V Vn    13 Equações gerais de transmissão                 ... !3 1 !2 1 1 3 2 0 n z n z n z V Vn    z n z                ... !3 1 !2 1 1 3 2 0 z z z V Vn    14 Equações gerais de transmissão Se reconhece a série do exponential elevado a -γz Com esse desenvolvimento e a definição da impedância caracteristica, a tensão e a corrente a uma distância z são encontradas por: V e z V    0 e z Z V I          0 0   j C j L G R       15 Estudo da impedância característica Estudo da impedância caracteristica   2 2 2 2 0 0 0 C G RC LG j LC RG j C G j L R jX R Z                Elevando ao quadrado e igualando 2 2 2 2 2 0 2 0 C G LC RG X R         2 2 2 0 2 0 C G RC LG R X     16                2  2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 C G LC RG RC LG LC RG X C G LC RG RC LG LC RG R                       A parte real de Z0 é sempre positiva. O termo reativo depende dos parâmetros: 0  0 X RC LG  0  0 X RC LG  Estudo da impedância característica 17 Formulação polar / 4 1 2 2 2 2 2 2 0          C G L R Z                     G C arctg R L arctg    2 1 0 0 0 0 R Z cos 0 0 0 Z sen X                    45 / / 45 / / 0 0       C G R L C G R L São as limites teoricamente possíveis para uma linha Estudo da impedância característica 18 Linha de transmissão com condutores e dielétrico perfeitos R = 0 e G = 0 Impedância característica real e independente da frequência C L R Z   0 0 0 0 X Estudo da impedância característica 19 Linha com pequenos valores de resistência e condutância Bons condutores L R   Bons dielétricos C G   L   R C  G  Estudo da impedância característica 20 Reescrevendo a impedância característica j C G j L R C L Z   / 1 / 1 0    Séries binomiais ... 48 15 8 3 2 1 ) 1( ... 48 3 8 2 1 ) 1( 3 2 / 2 1 3 2 / 2 1              x x x x x x x x Estudo da impedância característica 21                               C G L R C L j C G L R C G L R C L Z       2 1 3 8 1 1 0 Com os três primeiros termos                       C G L R C G L R C L R     3 8 1 1 0         C G L R C L X   2 1 0 Estudo da impedância característica 22 Com apenas os dois primeiros termos                          L R C G j LC RG C L C j G L j R C L Z      2 2 4 1 2 1 2 1 2 0         LC RG C L R 2 0 4 1          L R C G C L X   2 2 0 Como as condutâncias nos isolantes são muito pequenas, a impedância característica tem parte real quase idêntica à da linha ideal e uma parte imaginaria capacitiva C L R  0          LC R L R C L X   2 2 0 Estudo da impedância característica 23 Exemplo Uma linha de transmissão apresenta os seguintes parâmetros distribuídos L = 0.25µH/m C = 100pF/m R = 1.5mΩ/m G = 200pS/m Achar sua impedância característica para uma frequência de 1MHz e de 100MHz; Comparar com uma linha ideal sem perda. Estudo da impedância característica 24 Estudo do fator de propagação Estudo da constante de propagação     RC LG j LC RG j C j L G R j                 2 Constante de atenuação Np/m Constante de fase Rad/m 25 Estudo do fator de propagação             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 LC RG RC LG RG LC LC RG RC LG RG LC                     As duas constantes variam de forma não linear com a frequência Distorção do sinal transmitido 26 Estudo do fator de propagação Formulação polar    g j C j L G R j                  4 2 2 2 2 2 2 C G L R                         G C arctg R L arctg g    2 1  g   cos    sen g 27 Estudo do fator de propagação Linha de transmissão com condutores e dielétrico perfeitos  0  LC   Varia linearmente com a frequência Transmissão sem atenuação e sem distorção de um sinal de qualquer formato 28 Estudo do fator de propagação Linha com pequenos valores de resistência e condutância                        j C G j L R LC j j C j L G R j         1 1 Usando a expansão em série binomial                         2 8 1 1 2 1 C G L R C G L LC R                     2 8 1 1 C G L R LC    29 Estudo do fator de propagação Selecionando somente os primeiros termos, os valores aproximados seriam: 2 2 2 2 0 0 GZ Z R C L G L C R      LC LC RG LC            4 2 1 Linha com pequena distorção 30 Estudo do fator de propagação Exemplo Uma linha de transmissão apresenta os seguintes parâmetros distribuídos L = 0.2µH/m C = 200pF/m R = 1.mΩ/m G = 100pS/m Determinar a constante de atenuação e a constante de fase para uma frequência de 1MHz e de 100MHz; Comparar com uma linha ideal sem perda. 31 Características das linhas sem distorção Características das linhas sem distorção Exigência para uma linha sem distorção No domínio da frequência, a função de transferência complexa de uma estrutura qualquer é a relação entre os sinais de saída e de excitação      H   H 32 Excitação        1 i i i i i t E sen e   Sinal de saída                           1 1 i i i i i i i i i s t t H E sen t H E sen e        Duas condições ao mesmo tempo para o sinal de saída sem distorção 1. Todas as componentes devem guardar entre si as mesmas relações de amplitude de entrada Módulo da função de transferência independente da frequência Características das linhas sem distorção 33 2. Todas as componentes devem ser deslocadas no tempo de uma mesma quantidade, para que se somem algebricamente nos mesmos valores instantâneos que tinham na entrada Deslocamento de fase diretamente proporcional à frequência Nas linhas de transmissão Amplitude do sinal Constante de atenuação Alteração do argumento Constante de fase Características das linhas sem distorção 34 Logo, uma linha será sem distorção se a constante de atenuação for independente da frequência e a constante de fase variar linearmente com a frequência Constante de propagação em linhas sem distorção   2 1 2 j K K RC LG j LC RG j               RG K  1 LC K  2  RG    LC G C R L  Características das linhas sem distorção 35 Impedância de linha sem distorção                    j C G C j L R L j G j L R Y Z Z     1 1 0 Impedância características real e independente da frequência G R C L Z   0 Características das linhas sem distorção 36 Velocidades de propagação e comprimento de onda Velocidades de propagação e comprimento de onda Velocidade de fase     j C  j L G R m vp           Para linhas sem perdas ou sem distorção LC LC vp 1     Para linhas baixas perdas             LC RG LC LC RG LC vp 2 2 8 1 1 4 1     37 Velocidade de grupo 1           gv              m LC LC j LC m vg 1 2 2 1                           1 1 2 2 2 2                                     j C j L G R LC LG j RC m LC LG m j RC vg      Linhas ideais Velocidades de propagação e comprimento de onda 38 Relação de dispersão                   p p p g v v v v 1 Nas linhas sem perdas, sem distorção e de pequenas perdas LC v v g p 1  Velocidades de propagação e comprimento de onda 39 Equações gerais de transmissão A constante de velocidade A relação entre a velocidade da onda guiada e o seu valor na vácuo c v c v g p v    Os valores mais comuns ficam entre 65% e 85% O comprimento de onda da linha f vp     2 40 Exemplo Uma linha de transmissão apresenta os seguintes parâmetros distribuídos L = 0.6µH/m C = 125pF/m R = 0.75mΩ/m G = 125pS/m Determinar a velocidade de fase, a velocidade de grupo, a constante de velocidade e o comprimento de onda na frequência de 150MHz Velocidades de propagação e comprimento de onda 41 Relações entre algumas características da linha Relações entre os parâmetros e a velocidade da onda v C Z p 1 0  v L Z p  0 Relações da impedância características com a geometria                          1 ln 2 cosh 2 1 0 a h a h a s Z     Cilíndricos paralelos               a b a b Z ln ln 0     Cabo coaxial 42 Relações entre algumas características da linha Uma linha bifilar simétrica foi construída no ar com condutores de 0.6mm de diâmetro, separados de 10mm. Admitindo tratar-se de uma estrutura sem perdas, determinar sua impedância característica e seus parâmetros distribuídos. Exemplo µ0=4*π*1e-7; ε0=8.854e-12; Linhas sem perdas  LC LC g 1   43 Reflexões nas linhas de transmissão Comportamento geral das linhas de transmissão Uma linha de transmissão com comprimento infinito Impedância igual à sua impedância característica em qualquer ponto Sem reflexões Uma linha de transmissão com comprimento finito terminada com uma impedância de carga igual à sua impedância característica simula as condições de comprimento infinito Linha casada ou não ressonante 44 Reflexões nas linhas de transmissão Linha terminada por qualquer carga diferente da sua impedância característica Uma parte da energia guiada até sua extremidade será refletida para o gerador Linha com terminação incorreta Linha ressonante Linha descasada 45 Reflexões nas linhas de transmissão Aplicando as leis de Kirchhoff e Δz 0     j L I z R dz dV z ) (         j C V z G dz dI z ) (         ZI z dz dV z       YV z dz dI z  46 Reflexões nas linhas de transmissão Derivando estas expressões     ZYV z dz d V z  2 2     ZYI z dz d I z  2 2     V z dz d V z 2 2 2       I z dz I z d 2 2 2       0 2 2 2   V z dz d V z      0 2 2 2   I z dz d I z  Equações do telegrafo 47 A solução geral é a superposição das duas soluções linearmente independentes   z z Be Ae z V         z z De Ce z I       Propagação da direção positiva de z Do gerador para a carga Onda incidente da linha Propagação da direção negativa de z Da carga para o gerador Onda refletida da linha Reflexões nas linhas de transmissão 48 Reflexões nas linhas de transmissão Eg Zg ZL= Z0 Eg Zg ZL≠ Z0 Vamos admitir que a distância é contada a partir da fonte z r z i V e V e V      z r z i I e I e I      49 Reflexões nas linhas de transmissão     ZI z dz dV z  z r z i V e V e V        ZI V e V e V e V e dz dV z r z i z r z i                ZY    z r z i V e Z V e I      0 1 Y Z Z  0 50 Reflexões nas linhas de transmissão Vi(z) Vr(z) Ii(z) Ir(z) VL IL ZL 51 Reflexões nas linhas de transmissão Tensão e corrente na linha com reflexão z r z i V e V e V      Condição na entrada da linha  V z 0  z 0 I r i V V V  0   r  i V V Z I   0 0 1   z r z i V e Z V e I      0 1    0  0 0 0 0 0 2 1 2 1 Z I V V Z I V V i r     52 Reflexões nas linhas de transmissão Na extremidade da carga z = l ) ( l V z VL   ) ( l I z I L       l L L r l L L i e Z I V V e Z I V V        0 0 2 1 2 1 L L L V Z I   l L L r Z e Z I V     0 2 53 Reflexões nas linhas de transmissão Tensão e corrente em um ponto qualquer da linha            l  l l l L L l l l l L L e Z e e Z e Z I I e Z e e Z e I V                     0 0 0 2 2    ) cosh( ) ( ( ) ) cosh( 0 0 0 l Z Z senh l Z I I Z senh l l Z I V L L L L         54 Reflexões nas linhas de transmissão Coeficiente de reflexão de tensão Relação entre a amplitude da tensão refletida e a amplitude da tensão incidente em um mesmo ponto da linha   z i r z i z r v V e V e V V e z    2     Coeficiente de reflexão na carga 0 0 Z Z Z Z e V e V L L l i l r vc         55 Reflexões nas linhas de transmissão Coeficiente de reflexão de corrente Relação entre a amplitude da corrente refletida e a amplitude da corrente incidente em um mesmo ponto da linha     z e V V e Z V e Z V z v z i r z i z r i                              2 0 0 Coeficiente de reflexão de potência     z 2 z v p   56 Reflexões nas linhas de transmissão Coeficiente de transmissão de tensão Relação entre a tensão resultante e a tensão incidente no ponto considerado             z z V z V z V V z z T v i r i v      1 1 Sobre a carga:     0 2 1 Z Z Z z z T L L v v     Coeficiente de transmissão de corrente               z z z I z I z I I z z T v i i r i v         1 1 1 57 Reflexões nas linhas de transmissão Exemplo Uma linha de transmissão sem perda tem impedância de 75Ω e é terminada por uma impedância de carga de (50 + j35)Ω. Determinar os coeficientes de reflexão e de transmissão na carga. 58 Descrição das grandezas na linha com reflexão Expressão geral da impedância                  z Z senh z Z Z senh z z Z Z I V z Z L L     cosh cosh 0 0 0              Z tgh z Z Z tgh z Z Z I V z Z L L   0 0 0 ZL Z0   Z0 Z z  59 Descrição das grandezas na linha com reflexão                       z vc z vc v v e e Z z z Z z Z   2 2 0 0 1 1 1 1 Impedância para a linha sem perdas    j    z jtg tgh z                 z jZ tg Z z jZ tg Z Z I V z Z L L   0 0 0 60 Descrição das grandezas na linha com reflexão Eg Zg ZL Comportamento da tensão e da corrente Een Ien en g en g r i en Z Z E Z V V E     Zen z = 0   en g g r i en Z Z E V V Z I     0 1 61 Relações entre algumas características da linha Eg Zg ZL Een Ien Zen z = 0 z = l Zen en g en g l r l i en Z Z E Z V e V e E          en g g l r l i en Z Z E V e V e Z I        0 1 62 Relações entre algumas características da linha l en g en g i e Z Z Z Z E V           0 2 l en g en g r e Z Z Z Z E V            0 2         l vc l vc en e e Z Z   2 2 0 1 1 l vc l vc l vc en e Z e e Z Z Z Z    2 0 2 2 0 0 0 1 2 1 1              l vc l l vc l vc en e Z e Z e e Z Z Z     2 2 0 0 2 2 0 0 1 2 1 1                l vc l vc g g l vc l vc g en g e e Z Z Z Z e e Z Z Z Z     2 2 0 0 2 2 0 1 1 1                  63 Relações entre algumas características da linha Coeficiente de reflexão em relação a impedância interna 0 0 Z Z Z Z g g vg       l vc l vc g g l vc l vc g en g e e Z Z Z Z e e Z Z Z Z     2 2 0 0 2 2 0 1 1 1                      0 2 2 1 1 Z Z e e Z Z g l vc l vc vg en g           64 Relações entre algumas características da linha z r z i V e V e V        z vc z i e V e V   2 1       z vc z l en g en g e e e Z Z Z Z E V    2 0 1 2               65 Relações entre algumas características da linha   z vc z l en g en g e e e Z Z Z Z E V    2 0 1 2                              l vc vg z vc g g e e Z e Z E Z V    2 2 0 0 1 1 Distância a partir da extremidade da fonte 66 Relações entre algumas características da linha                l vc vg z vc g g e e Z e Z E Z V    2 2 0 0 1 1    1 2 2 0 0 1 1       l vc vg z vc g g e e Z e Z E Z V                ... ... ... 1 1 2 0 0 2 2 2 2 0 0                     refb incb refa inca l vc vg z l vc g g vc vg vc vg z vc g g V V V V e e e e e Z Z Z E e l e l e Z e Z E Z V          67 Relações entre algumas características da linha       e V e V V e e V V e Z e Z E Z V l vc vg incb z l vc refa g g inca 2 0 0 0 0 0         Eg Zg ZL e V0 V e l  0 l vc V e  0  z l vc V e e   0  l vc V e  2 0  V e e l vc vg 2 0   68 Relações entre algumas características da linha Exemplo Uma linha tem os parâmetros R = 0.05Ω/m; L = 0.2µH; C = 80pF. Seu comprimento total é de 15m e sua impedância de carga é (45 + j75)Ω. O gerador na entrada tem f.e.m de 50V e impedância interna de 50Ω, com a frequência de 920MHz. Determinar a tensão e a corrente na entrada de carga. Calcular as respectivas amplitudes das tensões das ondas incidente e refletidas 69 Relações entre algumas características da linha Zl = 45.0000 +75.0000i gama = 0.0005 +23.1221i Z0 = 50.0000 - 0.0011i Zen = 23.3168 -45.5808i Ien = 0.4919 + 0.3058i ModIen = 0.5792 argIen = 31.8691 Een = 25.4068 -15.2895i ModEen = 29.6526 argEen = -31.0390 Vi = 7.7839 +23.9556i ModVi = 25.1885 argVi = 71.9994 Vr = -14.3075 - 5.0732i ModVr = 15.1803 argVr = -160.4764 70 Obtenção dos parâmetros secundários Com medidas da impedância de trechos especificados, sob condições conhecidas em suas extremidades, é possível encontrar a impedância característica e a constante de propagação Z tgh l Zec   0  l tgh Z Zea  0  ZecZea Z  0               ea ec Z Z tgh l 1 1  Determinação dos parâmetros da linha de transmissão 71 Determinação dos parâmetros da linha de transmissão Comentários sobre a constante de propagação A parte real corresponde a constante de atenuação e é determinado univocamente; A parte imaginaria, pode não corresponder a um valor único, mas a um múltiplo da primeira valor com π/l. Isto é, a defasagem da tensão ou da corrente na entrada pode ser o valor verdadeiro mais um número inteiros de 2nπ. Se a constante de velocidade encontra-se a constante de propagação possível. vp  /  72 Obtenção dos parâmetros primários Determinação dos parâmetros da linha de transmissão        j L R j C G j L R j C j L G R Z Z               0        j C G j L R j C G j C j L G R Z Y               0 73 Exemplo Em uma linha com comprimento de 5m foram feitas medições em sua impedância de entrada com a saída em curto-circuito e em aberto. Os valores em 200MHz foram Zec = (32.35 + j19.25)Ω e Zea = (99.5 – j61.71)Ω respectivamente. Achar a impedância característica, a constante de atenuação, a constante de fase e os parâmetros primários. A constante de fase é desconhecida, mas situa-se entre 0.75 e 1. Determinação dos parâmetros da linha de transmissão 74 1. Aplicar as equações para impedância características e a constante de propagação ZecZea Z  0               ea ec Z Z tgh l 1 1           .0 61) (66.39 61.71 19.25 99 5. 32.35 0 j j j Z   1 1 .0 0715 .0 0936 61.71 5. 99 19.25 .35 32 5 1                   m j j j tgh  Determinação dos parâmetros da linha de transmissão 75 dB m Np m / .0 813 / .0 0936      .0 0715 c vp    .1 75751010   ? 8 8 .0 75 3 10 3 10    x x    .5 56 .4 19    Determinação dos parâmetros da linha de transmissão 1 Np = 8.686dB 76 Determinação dos parâmetros da linha de transmissão .5 56 5 2 .0 0715 .4 19     n 4 n  .5 098rad / m  Constante de fase m s x vp / .2 465 10 8    Velocidade de propagação  .0 822  c vp v  Constante de velocidade   1 .5 098 .0 0936    m j  Constante de propagação 77 Determinação dos parâmetros da linha de transmissão Z0 Z   Z0 Y        m j j j Z / 338.25 .9 32 .0 61 .5 098 66.39 .0 0936             S m j j j Y / .0 07683 .0 000704 .0 61 .39 66 .5 098 .0 0936      R G wL wC H m H m L / .0 27 / .0 27 10 2 10 2 338.25 6 8          pF m F m C / 61.14 / 61.14 10 2 10 2 .0 07683 12 8         78 Admitância da linha de transmissão com reflexões Definições dos termos L L L L iB G Z Y    1 0 0 0 0 1 iB G Z Y            iB z G z Z z Y z    1 79 Admitância da linha de transmissão com reflexões              Z tgh z Z Z tgh z Z Z I V z Z L L   0 0 0              Z tgh z Z Z tgh z Z Z V I z Y L L   0 0 0 1             Y tgh z Y Y tgh z Y Y z Y L L   0 0 0             z jY tg Y z jY tg Y Y z Y L L   0 0 0 80 Elementos de circuitos com linhas de transmissões Transformador de meia onda A tangente é uma função periódica que repete seu valor sempre que o argumento variar com pπ, sendo p inteiro A impedância da linha de transmissão apresenta variação periódica idêntica. Será encontrada a mesma impedância sempre que a distancia percorrida for múltipla de: 2 / 2         z  81 Relações entre algumas características da linha 82 Elementos de circuitos com linhas de transmissões Esta propriedade permite construir dispositivos denominados transformadores de meia onda, que reproduzem as impedância ligadas nas suas extremidades. Medições de impedâncias em locais inacessíveis, como numa antena instalada em torres, altos edifícios, onde a dificuldade de instalação do equipamento de teste fica evidente. 83 Elementos de circuitos com linhas de transmissões Transformador de quarto de onda Para uma linha sem perdas ou de baixas perdas, a uma distancia especificada de carga tem-se uma impedância com o valor Zp. A uma nova distância de um quarto de comprimento de onda a mais, a nova impedância será calculada como:  z tg z tg    1 4                         z jZ tg Z z jZ tg Z Z Z z Z L L q p    0 0 0 4) ( p q Z Z Z 2  0 84 Elementos de circuitos com linhas de transmissões O transformador de quarto de onda, permite de transformar um elemento em serie em um elemento em paralelo e o contrario. Z Y Linha em curto-circuito     Z tgh z Z z   0     jZ tg z Z z  0  85 Elementos de circuitos com linhas de transmissões 86         1 180 1 0 0 Z Z Z Z L L vc A tensão refletida tem a mesma amplitude da tensão incidente e está com polaridade invertida em todos os instantes Exemplo Gerador de pulse UWB Casamento de impedância Elementos de circuitos com linhas de transmissões 87 Elementos de circuitos com linhas de transmissões Exemplo Uma linha de transmissão sem perdas tem constante de velocidade de 2/3 e impedância característica de 50Ω. Para frequência de 1GHz, determinar os menores comprimentos de stub em curto-circuito para simular comportamentos de uma indutância de 0.25µH e de uma capacitância de 12pF 88 Elementos de circuitos com linhas de transmissões 3 2 v   3 2 c vp m s x vp / 2 10 8    p  v p v f  2 10rad / m    z tg j j H   50 .1 57 10 .0 25 3     cm z 9.4 10 .1 539 .1 539      89 Elementos de circuitos com linhas de transmissões  z tg j j pF  50 13.263 12     cm z 2.9 10 .2 8823 .2 8823      GHz f Z 1 50 0    GHz f Z 1 50 0    9.2cm 4.9cm H L  .0 25 pF C 12 90 Elementos de circuitos com linhas de transmissões Circuitos ressonantes com stub em curto-circuito Nas proximidades de um quarto de comprimento de onda um stub em curto circuito tem o comportamento de um circuito ressonante paralelo, com uma impedância elevada e resistiva 91 Elementos de circuitos com linhas de transmissões Quando aproxima-se de meio comprimento de onda, o dispositivo age como um circuito ressonante série, a reatância tende para 0, e novamente, a impedância fica resistiva, com pequeno valor. Técnica útil em altas frequências, onde são difíceis componentes concentrados.                               l l sen jsenh l l l l sen j l l senh Z l Z senh l Z tgh z Zen            cos cosh cosh cos cosh 0 0 0 92 Elementos de circuitos com linhas de transmissões O comprimento de onda é múltiplo inteiro de meio comprimento de onda            2 2     n l   l 0 sen    Z  l l Z tgh Zen   0 0   l <<1 α Ressonância série Pequeno valor real                l l l l senh Z Z tgh z Zen      cos cosh cos 0 0 93 Elementos de circuitos com linhas de transmissões    l Z l tgh Z Zen   0 0   Comportamento de um circuito ressonante paralelo O comprimento do stub em curto-circuito deve ser: ( = 2 +1) 4 λ n l ( ) ( = 2 +1) 2 4 2 +1 2 = π n λ n λ π lβ Alto valor 94 Elementos de circuitos com linhas de transmissões Nos dois casos αl ≥ 3 tanh  1 l   A impedância de entrada fica praticamente igual à impedância característica. 95 Elementos de circuitos com linhas de transmissões Noção de largura de faixa BW f2 - f1 BW  2 0 2 BW f f   2 0 - 1 BW f f  ( ) f BW λ lπ λ lπ BW v lπ v l fπ v l BW f π v πfl lβ p p p p 0 0 0 0 0 + = 2 + = 2 / 2 + = 2 2 = A largura de faixa é determinada pelas frequências correspondentes à metade da potência em relação à condição de ressonância. 96 Elementos de circuitos com linhas de transmissões Lembrando que a ressonância paralela ocorre em múltiplos ímpares de um quarto de comprimento de onda ( 2 +1) 4 = 0λ n l ( ) ( ) = 2 +1 2 + 2 +1 2 2 0 f π BW n π n lβ                                                     0 0 0 0 1 2 2 2 cos 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 cos cos f BW n f BW n n sen l sen f BW n sen f BW n n l           97 Elementos de circuitos com linhas de transmissões O comprimento final do stub em curto circuito deve ser pequeno, para não haver perdas significativas e o projeto aproximar-se do ideal ( ) <<1 +1 2 2 2 0f π BW n             1 2 2 0 2 cos f BW n l      1 l  sen    l l senh    cosh  1 l  98                               l l jsenh l sen l l l sen j l l senh Z l Z senh l Z tgh z Zen            cos cosh cosh cos cosh 0 0 0 Elementos de circuitos com linhas de transmissões                                         0 0 0 0 0 0 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 f BW n j l f l BW n j Z j l f BW n j f BW n l Z Zen            99 ( ) <<1 +1 2 2 2 0f π BW n Elementos de circuitos com linhas de transmissões     0 0 0 0 2 1 2 2 1 / 1 2 2 2 f BW l n j l Z f BW n j l Z Zen                        As frequências correspondentes aos pontos de meia potência acontecerão quando: ( ) =1 2 +1 2 2 0f BW αl π n 0 = 2 β f α BW 100 Elementos de circuitos com linhas de transmissões Da teoria de circuitos ressonantes, a relação entre a frequência de ressonância e a largura de faixa indica o fator de mérito, Q: α β BW f Q = 2 = 0 101 Exemplo Uma linha em 3GHz apresenta R = 0.6Ω/m, L = 0.2μH/m, C = 75pF e G = 12pS/m. Deseja-se construir um circuito ressonante paralelo nesta frequência. Encontrar a menor dimensão do stub em curto-circuito, o fator de mérito, as frequências limites da faixa de passagem e a impedância de ressonance. Elementos de circuitos com linhas de transmissões 102 Relações entre algumas características da linha f = 3e9; R = 0.6; L = 0.2e-6; C = 75e-12; G = 12e-12; gama = sqrt((R+j*2*pi*f*L)*(G+j*2*pi*f*C)) Z0 = sqrt((R+j*2*pi*f*L)/(G+j*2*pi*f*C)) beta = imag(gama); lambda0 = 2*pi/beta l = lambda0/4 Q = (beta/(2*real(gama))) BW = f/Q fmin = f - BW/2 fmax = f + BW/2 Zen = real(Z0/(real(gama)*l)) 103 Relações entre algumas características da linha gama = 0.0058 +73.0040i Z0 = 51.6398 - 0.0041i lambda0 = 0.0861 l = 0.0215 Q = 6.2832e+003 BW = 4.7746e+005 fmin = 2.9998e+009 fmax = 3.0002e+009 Zen = 4.1312e+005 Solução 104 Relações entre algumas características da linha Linha terminada em circuito aberto    l Z l tgh Z Z z   coth ) ( 0 0     g l jZ l tg Z j Z z   cot - - ) ( 0 0         Como na analise para o trecho terminado em curto-circuito. O stub em circuito aberto pode representar o funcionamento de um circuito ressonante 105 Relações entre algumas características da linha Exemplo Uma linha de transmissão sem perdas tem fator de velocidade de 2/3 e impedância característica de 50Ω. Admitindo frequência de 1GHz, determinar os menores comprimentos de stub para simular uma indutância de 120nH e uma capacitância de 2pF. 106 Relações entre algumas características da linha 3 2 v   3 2 c vp m s x vp / 2 10 8  10rad / m     p  v p v f  2  Linha aberta ) ( ) ( cot 0 0 l tg jZ l g jZ Z      107 Relações entre algumas características da linha cm lL ,5 01  cm lC  ,1 79 108 Relações entre algumas características da linha Síntese de circuitos ressonantes com linhas de transmissão Elementos de circuito ressonante Condição geral da linha em curto-circuito   0 0    sl jZ tg jX Z    p ls  A constante de fase é calculada para a frequência de ressonância e p um inteiro diferente de 0. 0f e frequência e comprimento de onda de ressonância 0 109 Relações entre algumas características da linha v  2f0 2 2 0 0  p f pv ls   Circuito ressonante série formado por uma indutância e uma capacitância Condição de ressonância 0 1 0 0   C L   LC 1 0  110 Relações entre algumas características da linha   0 0 0 0 0 2 0 2 2 sec 0 f p Z v p Z v Z l p v Z l X s s               L C L X 2 1 2 0 0             0 0 4 f Z p L  0 0 2 1 f Z p C   111 Relações entre algumas características da linha Circuito ressonante em paralelo Susceptância do circuito Susceptância da linha aberta L C 0 0 1     sl  jY tg jB Y  0   4 0 0 f Z p C  0 2 0 f p Z L   112 Relações entre algumas características da linha Exemplo Uma linha de transmissão tem impedância característica de 50Ω. Um trecho de linha em curto-circuito deve simular um circuito ressonante série para uma frequência de 1,5GHz. Supondo que a constante de velocidade seja de 2/3, encontrar o comprimento mínimo e os elementos equivalentes do circuito ressonante. 113 Relações entre algumas características da linha Comprimento da linha             0 0 3 2 f c  13,33cm Menor comprimento 2 p0 ls  p = 1 6,67cm 114 Relações entre algumas características da linha nH f Z p L .8 33 4 0 0   pF f Z p C ,135 1 0 0 2    GHz f Z 5.1 50 0    6.67cm 115 Relações entre algumas características da linha Distribuição de tensão e corrente nas linha de transmissões                     z j z vc z i z vc z i e e V e e V e V 2 2 2 1 1 Variação de tensão na linha Na forma fasorial           z vc z vc z i z vc j z z i e z e V e V z jsen z e e V e V             4 2 2 2 cos 2 2 1 2 cos 2 1                116 Relações entre algumas características da linha A combinação da onda incidente com a onda refletida leva a uma tensão resultante que passa por máximos e mínimos ao longo da linha   1 cos 2 z      1 cos 2    z      n z 2 2         1 2 2    n z Dois pontos de mínima tensão sucessivos ocorrem, por exemplo, para z1 e z2      2 z1       3 2 2   z    2 2 1 2 z  z  117 Relações entre algumas características da linha 118 Relações entre algumas características da linha Variação de corrente na linha              z e e Z e V I z vc z vc z i cos 2 2 1 2 4 2 0 Comparação com a tensão mostra uma troca de sinal envolvendo o cos. Por isso, o ponto máxima de tensão coincide com o mínima de corrente e vice- versa. 119 Relações entre algumas características da linha Coeficiente de onda estacionária Esse parâmetro estabelece a relação entre os valores máximo e mínimo da tensão total (ou da corrente total) em uma linha com reflexão. SWR standing wave radio VSWR voltage standing wave radio ROE relação de onda estacionaria z vo z vo e e E E SWR   2 2 min max 1 1       120 Relações entre algumas características da linha Impedância da linha nos pontos de tensão máxima e de tensão mínima Para uma linha sem perdas                      z j vc z j vc e e Z I V Z 2 2 0 1 1 Condições de tensão máxima e mínima ? 121 Relações entre algumas características da linha     1 2 2       n j z j e e       1 1 2 2        n j z j e e  SWR Z Z Z vc vc              0 0 max 1 1  SWR Z Z Z vc vc 0 0 min 1 1                      ) ( ) ( 1 min min 0 v v L z jtg SWR z jSWRtg Z Z            ) ( 1 ) ( max max 0 v v L z jSWRtg z jtg SWR Z Z   Combinando com a expressão da impedância de linha sem perdas Primeiro mínimo de tensão 122 Relações entre algumas características da linha Exemplo Uma linha de transmissão opera em 2GHz e tem impedância característica de 120Ω. A constante de velocidade é de 0.75 e apresenta um SWR de 3. O primeiro ponto de tensão máxima ocorre a 5cm de sua extremidade. Determinar a impedância de carga. 123 Relações entre algumas características da linha  SWR Z Z   0 max f c v            ) ( 1 ) ( max max 0 v v L z jSWRtg z jtg SWR Z Z   max max 2 z z     124 Relações entre algumas características da linha max 360 Z 11,25cm  rad z max  ,2 7925     1.8595e + 002 - 1.5938e + 002i ZL