Lista Divergencia de Campos Vetoriais-2021 2

1. Em uma região do espaço livre que inclui o volume 2 < x, y, z < 3, o campo vetorial D = \frac{2}{z^2} (yz \mathbf{a}_x + xz \mathbf{a}_y - 2xy \mathbf{a}_z)C/m^2 é denominado densidade de fluxo elétrico (D = \varepsilon_0 E). Calcule ambos os lados do teorema da divergência. (sol. \mathbf{Doro} = \int_2^3 \int_2^3 \frac{8xy}{z^3} dx dy dz = (9-4)(9-4)(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = 3.47C Superfície total: Superfície traseira X=3 X=2 Superfície direita Superfície esquerda y=3 y=2 Superfície superior Superfície inferior z=3 z=2 Integrando D Componente x de D não varia com x portanto os fluxos externos da superfície frontal e traseira se anulam; O mesmo acontece com as superfí- cies esquerda e direita pois Dy não varia com y. Sobram apenas as superfícies superior e inferior; ∫0 . dS = \int_2^3 \int_2^3 \frac{-4xy}{3^2} dx dy - \int_2^3 \int_2^3 \frac{-4xy}{2^2} dy dx a=3 = (9-4)(9-4)(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}) = \boxed{3.47C} 2. Dois condutores cilíndricos coaxiais, para efeitos práticos são considerados como sendo infinitos. O interno é maciço, de raio a. O externo possui raio interno b e raio externo c. Uma carga de densidade \rho_s C/m^2 é colocada na superfície do condutor interno. Avaliar o campo elétrico a partir da origem até r > c. Obs1. Os raios estão em metros. Obs2. Considere uma superfície gaussiana de raio r. QUESTÃO 2 Aplicando a lei de gauss para cada uma das regiões: • Para r < a, a carga envolvida pela gaussiana vai ser sempre 0, pois a carga em um condutor se localiza na superfície. Então o campo elétrico também será 0. • Para a < r < b: A densidade de fluxo é: ∮ \mathbf{D} d\mathbf{S} = \int \rho_s dS \int_0^L \int_0^{2\pi} D r d \phi dz = \rho_s \int_0^L \int_0^{2\pi} a d\phi dz D \cdot 2\pi r L = \rho_s \cdot 2\pi a L D = \frac{\rho_s a}{r} A carga será: Q = 2\pi a L\rho_s (D) \nabla \cdot F_4 = \frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{1}{r^2 \cos \theta} \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( - \sin \theta / r^2 \cos^2 \theta \right) \nabla \cdot F_4 = \frac{2}{r^3 \cos \theta} \frac{1 + \sin^2 \theta}{r^2 \cos^3 \theta} \nabla \cdot F_5 = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{y}{x^2} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{y^2}{x^3} \right) \nabla \cdot F_5 = \frac{-2y}{x^3} + \frac{2y}{x^3} \nabla \cdot F_5 = 0 (F) F_4 está em coordenadas polares, transformando pra cartesianas: F_4 = \frac{1}{r^2 \cos \theta} \left(\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j} \right) - \frac{\sin \theta}{r^2 \cos^2 \theta} \left( - \sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j} \right) F_4 = \left(\frac{1}{r^2 } \hat{i} + \frac{\tan \,\theta}{r^2 } \hat{j} \right) + \left(\frac{\tan^2 \theta}{r^2 } \hat{i} - \frac{\tan \,\theta}{r^2 } \hat{j} \right) ∇ ⋅ (F₄ + F₅) = - \frac{2}{r³ \sin³θ \cos³ϕ} (H) Pelo divergente ser nulo, o sistema está em regime estacionário. 4 ROTEIRO EXPERIMENTAL Obs. Utilize como auxílio o Guia de Comandos do Mathematica para realização de todo o experimento. 1. Inicialize o programa Mathematica; 2. Instale os pacotes \textit{VectorAnalysis} e \textit{VectorFieldPlots} digitando os camandos: - << \textbf{VectorAnalysis}` - << \textbf{VectorFieldPlots}` 3. Redefina as variáveis coordenadas nos sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas, para aquelas utilizadas no curso; 4- utilize o comando Div[ { f x, f y, f z } ] para obter as expressões de divergência dos campos vetoriais dos itens 1 a 4 dos exercícios acima e compare os resultados obtidos durante o exercício. 5- Siga as instruções considerando o exercício 5  Obtenha a expressão de divergência de F1 utilizando o comando Div[ { f x, f y, f z } ]  Utilize os comandos Plot3D[ f , {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}, opção → valor ] e ContourPlot[ f , {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax} ] para plotar respectivamente o gráfico 3D e o gráfico de contorno de divergência F1  Determine o diagrama de F1 através do comando VectorFieldPlot[ { f x, f y} ,{x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax} ]  Obtenha a expressão de divergência de F2 utilizando o comando Div[ { f x, f y, f z } ]  Utilize os comandos Plot3D[ f , {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}, opção → valor ] e ContourPlot[ f , {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax} ] para plotar respectivamente o gráfico 3D e o gráfico de contorno de divergência F2  Determine o diagrama de F2 através do comando VectorFieldPlot[ { f x, f y} ,{x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax} ]  Obtenha a expressão de divergência de de F3 utilizando o comando Div[ { f x, f y, f z } ]  Utilize os comandos Plot3D[ f , {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}, opção → valor ] para plotar respectivamente o gráfico 3D e o gráfico de contorno de divergência F3 Item (d)  Obtenha a expressão de divergência de de F4 utilizando o comando Div[ { f x, f y, f z } ] Item (E)  Obtenha a expressão de divergência de F5 utilizando o comando Div[ { f x, f y, f z } ]  Determine o diagrama de F4 através do comando VectorFieldPlot[ { f x, f y} ,{x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax} ] Item (F)  Obtenha as expressões de F3 + F4 expresso em coordenadas cartesianas utilizando o comando Div[ { f x, f y, f z } ]  Salve o Arquivo Mathematica;