Campo Magnético Estacionario-2021 1

ELETROMAGNETISMO 2020.3 Prof. Mário de S. Araujo Filho DEE/CEEI/UFCG UNIDADE VIII CAMPO MAGNÉTICO ESTA- CIONÁRIO (a) LEI DE BIOT-SAVART (b) LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE (c) ROTACIONAL (d) TEOREMA DE STOKES (e) FLUXO MAGNÉTICO E DENSIDADE DE FLUXO MAGNÉTICO (f) POTENCIAL VETOR E ESCALAR MAGNÉTICOS UNIDADE VIII CAMPO ELÉTRICO (E) FONTE Distribuição de cargas; Distribuições de correntes Revendo as Equações de Maxwell para o campo E, caso estacio- nário (∂/∂t ≡ 0) (ou PONTUAL) FORMA DIFERENCIAL (I) ∇·D = ρ (II) ∇×E = 0 FORMA INTEGRAL (I) ∮s D·ds = ∫ρdv = qenc (II) ∮c E·dl = 0 (I) é a LEI DE GAUSS DA ELETRI- CIDADE (II) é a LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES GENERALIZADA D = εE ε = εrε0 ε0 = 1/36π × 10⁻⁹ (F/m) D = ε0 E no vácuo (em um meio qualquer) F/m → A/m → V/m → permissividade do meio No Magnetismo, com ∂/∂t ≡ 0 (caso estacionário) B = μH (meio qualquer) T = Wb/m² = μ = μπμ0 No vácuo, B = μ0H B → densidade de fluxo magnético H → campo magnético μ → permeabilidade do meio 1 T = 1 Wb/m² = 10.000 gauss μ0 = 4π × 10⁻⁷ (H/m) → permeabili- dade do vácuo Equações de Maxwell para o campo H. Caso estacionário. (∂/∂t ≡ 0) FORMA DIFERENCIAL (ou PONTUAL) (III) ∇·B = 0 (IV) ∇×H = J FORMA INTEGRAL (III) ∮s B·ds = 0 (IV) ∮c H·dl = ∮s J·ds = Ienc (III) é a LEI DE GAUSS DO MAGNETISMO (IV) é a LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE Relação entre 𝐻⃗ e sua fonte X 𝐸⃗ e sua fonte (3) (a) LEI DE BIOT-SAVART Sabemos que: 𝐸⃗ -> LEI DE COULOMB (experimental) LEI DE GAUSS (simetria) 𝐻⃗ -> LEI DE BIOT-SAVART (experimental) LEI DE AMPÈRE (simetria) LEI DE BIOT-SAVART -> campo magnético produzido por um elemento de corrente contínua, no espaço livre. [figura] regrade mão direita → 𝑅₁₂ ∠ 𝑄ₙ (entrando nos papel) 𝐼₁ 𝑑𝐿₁, elemento diferencial de corrente. [caixa vermelha] → 𝑑𝐻₂ = 𝐼₁𝑑𝐿₁ × â𝑅₁₂ 4π𝑅₁₂² 𝐴/𝑚 = 𝐴.u/m² 𝑑𝐻₂ = 𝐼₁𝑑𝐿₁𝑠𝑒𝑛𝜃 × â𝑄ₙ 4π𝑅₁₂² Simplificando a notação: 𝐼𝑑𝐿 → 𝑑𝐻 = 𝐼𝑑𝐿 × 𝑎𝑅 4π𝑅² [outra notação] → 𝑑𝐻 = 𝐼𝑑𝐿 × 𝑅 4π𝑅³ (𝑎𝑅 = 𝑅̂ /𝑅) Comparando com a Lei de Coulomb para o elemento diferencial de cargas: [figura] → 𝐸₂ = 𝑑𝐿₁ â𝑅₁₂ 4πε₀𝑅₁₂ → 𝑑𝐻₂ = 𝐼₁𝑑𝐿₁ × â𝑅₁₂ 4π𝑅₁₂² SEMEHANÇAS a) Infinitude dos campos α 1/𝑅² b) Relações lineares entre fonte e campo. PRINCIPAL DIFERENÇA – direção e sentido dos campos. Além disso, 𝐸⃗ depende do meio; 𝐻⃗ independe do meio. FORMA INTEGRAL DA LEI DE BIOT-SAVART. [caixa vermelha] 𝐻⃗ = ∮ (𝐼𝑑𝐿 × 𝑎𝑅) 4π𝑅² Somente esta pode ser verificada experimentalmente (corrente flui apenas em um circuito fechado). UM PARÊNTESES. 𝐸⃗ (ou 𝐷⃗ ) -> campo irrotacional 𝐻⃗ (ou 𝐵⃗ ) -> campo solenoidal [figura] ∇⋅𝐷⃗ = ρ ou ∇⋅𝐸⃗ = ρ/ε₀ irrotacional -> ∇×𝐸⃗ = 0 ou ∇×𝐷⃗ = 0 ∇⋅𝐵⃗ = 0 ou ∇⋅𝐻⃗ = 0 ∇×𝐻⃗ = 𝐽 ou ∇×𝐵⃗ = μ₀𝐽⃗ APLICAÇÃO DA LEI DE BIOT-SAVART. Filamento infinito percorrido por uma corrente constante I. COORDS. cil. P(p, φ, z) (ponto onde queremos encontar H). Por considerações de simetria, H = H(p) = Hφ(p) aφ Hp = Hz = 0 Podemos fixar: φ = π/2, z = 0 P(p, φ, z) ≡ P(p, π/2, 0) Determinação de H = H(P). dH = Idl × âR 4πR² = IdL × R 4πR³ IdL = Idz eᶻ R = −z eᶻ + p âp IdL × R = Idz eᶻ × (−z eᶻ + p âp) = − Ieᶻ dz (eᶻ × eᶻ) + + Ip dz (eᶻ × âp) = Ip dz âφ = IdL × R R = (z² + ρ²)¹/² ∴ R³ = (ρ² + z²)³/² dH = Iρ dz 4π (ρ² + z²)³/² âφ H = ∫ −∞ ∞ Iρ dz 4π (ρ² + z²)³/² âφ H = aφ Iρ 4π [z ρ² √ρ² + z²] ∞ −∞ H = aφ Iρ 4π 1 ρ² [1 − (−1)] = 2 H = I 2πρ âφ No caso geral, H(p, φ, z) = Hp(p, φ, z) âp + Hφ(p, φ, z) âφ + Hz(p, φ, z) âz ESBOÇO DE H: Comparação com o esboço do campo elétrico produzido por uma linha infinita de cargas: Associa-se: V → H E → ? (potencial escalar magnético, Vm) Usar a Lei de Biot-Savart → H é semelhante a usar a Lei de Coulomb → E H = ∮ C Idl × âp 4πR² E = ∫ V ρ dv 4π𝜀₀R² âR RESULTADO ÚTIL H produzido por um filamento de tamanho finito (corrente I) Mostrar que: H = \frac{I}{4 \pi \rho} (\sin \alpha_2 - \sin \alpha_1) \hat{\phi} Se o filamento tornar-se infinito, \alpha_1 \to -\pi/2 e \alpha_2 \to +\pi/2 Assim, H = \frac{I}{4 \pi \rho} \left[1 - (-1)\right] \hat{\phi} H = \frac{I}{2 \pi \rho} \hat{\phi} EXEMPLO de aplicação da expressão H(P) = ? (9.2) SCHAUM Um filamento de corrente de 5,0 A, na direção ây é paralelo ao eixo xOy em x = 2 m, z = -2 m. Calcule H na origem. Para um filamento retílineo infinito de corrente no eixo do 'z', H = \frac{I}{2 \pi \rho} \hat{\phi} \text{ (coord. cilíndricas)} Se o filamento estiver em outra posição: H = \frac{I}{2 \pi R} \hat{H} Determinação de \hat{\phi}: De: Lei de Biot-Savart, dH = \frac{I d\vec{l} \times \vec{R}}{4 \pi r^2} = \frac{I d\vec{l} \times \vec{R}}{4 \pi r^3} d\vec{l} = dy \hat{y}, \vec{R} = 2 \hat{z} - 2 \hat{x} \hat{H} = \frac{\vec{dl} \times \vec{R}}{|\vec{dl} \times \vec{R}|} \vec{dl} \times \vec{R} = dy \hat{y} \times (-2 \hat{x} + 2 \hat{z}) = + 2 dy \hat{z} + 2 dy \hat{x} \vec{dl} \times \vec{R} = 2 dy (\hat{x} + \hat{z}) |\vec{dl} \times \vec{R}| = 2 dy \sqrt{2} \hat{H} = \frac{2 dy (-\hat{x} + \hat{z})}{2 dy \sqrt{2}} \hat{H} = \frac{\hat{x} + \hat{z}}{\sqrt{2}} R = |\vec{R}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \boxed{R = 2\sqrt{2}} Assim, H(0,0,0) = \frac{5}{2\pi \times 2\sqrt{2}} \left(\frac{-\hat{x} + \hat{z}}{\sqrt{2}}\right) \therefore \boxed{H(0,0,0) = 0,281 \left(\frac{\hat{x} + \hat{z}}{\sqrt{2}}\right)}