P2 - Cálculo Diferencial e Integral 2 - 2019-2

RESOLUÇÃO DEE - CEEI - UFCG - Curso de Graduação em Engenharia Elétrica Disciplina: ELETROMAGNETISMO - Turma 02 - Período 2019.2 Professor: Mário de Sousa Araújo Filho ALUNO(A): ___________________________________________________ MAT: ____________ 2º Exercício Escolar de Eletromagnetismo 31/10/2019 Resolva 4 (quatro) dos 6 (seis) problemas abaixo, assinalando-os. Expresse todos os resultados em números. 1) Sabendo-se que a superfície esférica r = 7 é um condutor, determine Er e Ez se E = 10ax + Eyay + Ezaz no ponto (2,-3,-6). Meio: espaço livre. 2) Uma carga total de 12nC é uniformemente distribuída sobre um anel circular de 2m de raio. Determine o potencial em um ponto pertencente ao eixo do anel, distante 5m do plano do anel. Compare com o resultado que seria obtido se toda a carga estivesse concentrada na origem, como uma carga pontual. 3) Resolva o problema 2 com a carga uniformemente distribuída sobre um disco circular de 2m de raio. 4) Uma distribuição linear de cargas com densidade ρL = 1 nC/m ocupa o perímetro do quadrado -3 ≤ x ≤ +3, -3 ≤ y ≤ +3, sobre o plano z = 0. Determine o potencial em (0,0,5) m. 5) Um dipolo elétrico de momento p = 3ax-5ay + 10az nC.m está localizado em Q(1,2,-4), no espaço livre. Determine V em P(2,3,4). 6) Uma carga pontual “Q” localiza-se a uma distância “h” de um plano condutor. Determine o lugar geométrico dos pontos do condutor para os quais a densidade superficial de cargas é 0,1Q/h². BOA PROVA! ELETROMAGNETISMO 2º EX. ESCOLAR 2019.2 1º Em P (2,-3,-6), E = Exx + Eyay + Ezaz P ∈ superfície do condutor. r = √(2²+3²+6²) = √(4+9+36) r = √49 ∴ r = 7 RET ⇒ E⌞r⌟ Mostramos que: E⌞r⌟ / r = Ex / x = Ey / y = Ez / z E⌞r⌟ = Ex (r / x) = 10 × 7 / 2 E⌞r⌟ = 35 CONT. do 1º Logo, Ey = E⌞r⌟ (y / r) ∴ Ey = 35 × -3 / 7 Ey = -15 Ez = E⌞r⌟ (z / r) = 35 × -6 / 7 Ez = -30 2º = ELETRMAG 22 EX. 07 c. 2019.2 (0,0,5) P 5m = z φ = 12μC R = √5²+2² R = √29 ρL = 12 / 2π * (mC/m) = 6/π c/m ρL = 3/π * 10⁻⁹ (C/m) V(0,0,5) = ∫C ρL dL / 4π ε0 R = ρL / 4π ε0 ∫0 to 2m dz/R V(0,0,5) ≈ 27/√29 = 20,055 V(0,0,5) ≈ 20V ---------------- CONT. DO 2º Se q está em (0,0,0) V(0,0,5) = φ / 4π ε0 R = 12 x 10⁻⁶ / 5 = 12 x 10⁻⁶ x 9 x 10⁹ / 5 V(0,0,5) ≈ 21,6V ---------------- 3º = V(0,0,5) = ∬ ρS dS / 4π ε0 R = ρS / 4π ε0 ∫∫0 to 2π 0 to a ρ dρ dφ / √ρ²+25 R = √ρ² + 25 ρS = 12 x 10⁻⁹ / π/(a²) = 3/π x 10⁻⁹ (C/m²) CONT. DO 3o = \int \frac{x \, dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \sqrt{x^2+a^2} \int \frac{p \, dp}{\sqrt{p^2+4s^2}} = \sqrt{p^2+4s^2} V(0,0,5) = 54 \left[\sqrt{p^2+4s^2} \right]_0^2 = 54 \left[\sqrt{4+25} - \sqrt{25} \right] = 54 \left[\sqrt{25} - 5 \right] = 54 \left[5,385 - 5 \right] = 54 \times 0,385 V(0,0,5) = 20,79 \ (V) 4o \int \frac{p_l \, dl}{4 \pi \varepsilon_0 \, R} = \int_C \frac{p_l}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{dl}{R} dl = dx \vec{R} = [0,0,5] - [x,3,0] \vec{R} = -x \hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k} R = \sqrt{x^2+9+25} = \sqrt{x^2+34} R = (x^2+34)^{1/2} V(0,0,5) = \frac{p_l}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{-3}^{+3} \frac{dx}{(x^2+34)^{1/2}} CONT. DO 4o = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \ln \left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right| V(0,0,5) = \frac{k_l}{4 \pi \varepsilon_0} \ln \left[ \frac{3+\sqrt{9+34}}{-3+\sqrt{9+34}} \right] = (9 \times 10^9) \left(6 \div 9 \right) \ln \left[ \frac{9,56}{3,56} \right] = 9 \ln \left( 0,938 \right) = 8,89 V V(0,0,5)_{nom} = 4 \times 8,9 \ V(0,0,5)_{nom} = 35,6 \ V ∞ = 0 [2,3,4] ^cm(1,2,-4) (μC..w) p = 3x - 5y + 10z 1/R V = p ⋅ r / 4πζ0r^3 r = [2,3,4] - [1,2,-4] r = x + y + 8z r = 3x - 5y + 10z V = (3-5+8) x 10^-9 / 4π√66 = (x10^) x 78x10^-9 / 536,186 = 1,309. V(2,3,4) = 1,31V