Teste 2 de Eletromagnetismo-2020-3

DEE – CEEI – UFCG – Curso de Graduação em Engenharia Elétrica Disciplina: ELETROMAGNETISMO – Turma 03 – Período 2020.3 Professor: Mário de Sousa Araújo Filho ALUNO(A): _________________________________MAT:______________ 2º TESTE DE ELETROMAGNETISMO 11/11/2020 Resolva 4 (quatro) dos 5 (cinco) problemas abaixo, assinalando-os. Expresse os resultados dos problemas em números. Ilustre cada problema com um desenho. 1) Encontre a capacitância de um capacitor coaxial com a = 0,3 cm, b = 2 cm e L = 10 cm, se o dielétrico for arranjado como segue: a) ϵR = 3 em toda parte; b) ϵR = 3 para 0 < ф < π , ϵR = 1 para π < ф < 2π ; c) ϵR = 3 para 0 < z < 5 , ϵR = 1 para 5 < z < 10 ; d) ϵR = 3 para 0,3 < r < 1,15 , ϵR = 1 para 1,15 < r < 2 . 2) Uma linha de cargas, ρL = 10πϵ0 C/m , se estende, no vácuo, ao longo do eixo “x”, e uma carga Q = 40πϵ0 C se localiza em (2, 4, - 1). Três pontos estão identificados como A(1, -1, 2), B(4, 0, 5) e C(- 2, -5, 3). (a) Calcule VAB ; (b) Ache VC se VB=0 ; (b) Encontre VC se VA=20 V . 3) Duas cargas pontuais de -100π µC estão localizadas em (2, -1,0) e (2, 1, 0). A superfície x = 0 é um plano condutor. a) Determine a densidade superficial de cargas na origem; b) Determine ρs no ponto P(0,h,0). 4) A região 1 (x ≥ 0) é um dielétrico com ϵR1 = 2, e a região 2 (x < 0) possui ϵR1 = 5, sendo E1 = 20âx – 10ây + 50âz V/m . a) Encontre D2 ; b) Determine a densidade de energia em ambas as regiões. 5) Um dipolo p1 = 20âz nC.m localiza-se na origem, no vácuo, e um segundo dipolo p2 = -50âz nC.m localiza-se em (0,0,10). Determine V e E no ponto médio entre os dipolos. ELETROMAGNETISMO 2020.3\\ TESTE 2/TURMA 03\\ RESOLUÇÃO\\ (1)\\ C = ? \quad (capacitor coaxial)\\ a = 0,3 \text{ cm} \quad b = 2 \text{ cm} \quad L = 10 \text{ cm}\\ C = \frac{2 \pi \varepsilon_ER_0 L}{\ln(b/a)} = \frac{2 \pi \varepsilon_ER_0 L}{\ln(b/a)}\\ C = \frac{2 \pi \times 3 \times \varepsilon_0 \times 10 \times 10^{-2}}{\ln(2/0,3)}\\ C = 8,8 \text{ pF}\\ Dado que: C = \frac{2 \pi \times 3 \times \varepsilon_0 L}{\ln(b/a)} \\ (item \'a\')\\ \varepsilon_R = 3 \quad 0 < \phi < \pi\\ \varepsilon_R = 1 \quad \pi < \phi < 2\pi\\ Equivalente a dois capacitores em paralelo.\\ C = \frac{2 \pi \times 3 \varepsilon_0 L}{\ln(b/a)} = C_3\\ C_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{2 \pi \times 3 \varepsilon_0 L}{\ln(b/a)} \right) C = C_1 + C_3 = \frac{\pi \varepsilon_0 L}{\ln(b/a)} + \frac{3 \pi \varepsilon_0 L}{\ln(b/a)}\\ C = \frac{4 \pi \varepsilon_0 L}{\ln(b/a)} = \frac{4 \pi \varepsilon_0 \times 10 \times 10^{-2}}{\ln(2/0,3)}\\ C = 5,86 \text{ pF}\\ O mesmo que no item \'b\' \rightarrow capacitores em paralelo.\\ C_1 = \frac{2\pi \varepsilon_0 \times 5 \times 10^{-2}}{\ln(2/0,3)}\\ C_3 = \frac{2\pi \times 3 \varepsilon_0 \times 5 \times 10^{-2}}{\ln(2/0,3)}\\ C = C_1 + C_3 \ldots C = 5,86 \text{ pF}\\ Capacitadores em s\'erie\\ \frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_3}\\ C_1 = \frac{2\pi \varepsilon_0 L}{\ln(2/1,15)}\\ C_3 = \frac{2\pi \times 3 \times \varepsilon_0 L}{\ln(1,15/0,3)}\\ C = \frac{C_1 C_3}{C_1 + C_3} \ldots C = 5,55 \text{ pF} (2)\\ \varepsilon = \varepsilon_0\\ \rho_L = 40 \pi \varepsilon_0 \text{ (C)}\\ \rho_L = 10 \pi \varepsilon_0 \text{ (C/m)}\\ V_{AB} = ? \quad V_{AB} = V_{AB}(P_L) + V_{AB}(q)\\ V_{AB}(P_L) = \frac{\rho_L}{2 \pi \varepsilon_0} \ln\left(\frac{P_B}{P_A}\right)\\ P_A = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\\ P_B = 5\\ V_{AB}(P_L) = \frac{5}{2 \pi \varepsilon_0} \ln\sqrt{5} \ldots V_{AB}(P_L) = 4,023 \text{ V}\\ V_{AB}(Q) = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left(\frac{1}{r_A} - \frac{1}{r_B}\right)\\ r_{QA} = \begin{cases} r_A = \sqrt{(2-1)^2 + (4+1)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{35}\\ r_B = \sqrt{(4-2)^2 + (0-4)^2 + (5+1)^2} = \sqrt{56}\end{cases}\\ V_{AB}(Q) = \frac{10}{4 \pi \varepsilon_0} \left(\frac{1}{\sqrt{35}} - \frac{1}{\sqrt{56}}\right) \ldots V_{AB}(Q) = 0,354 \text{ V} R1→ = 2 x^ + (h+1) y^ → |R1→| = [4 + (h+1)^2]^(3/2) R2→ = 2 x^ + (h−1) y^ → |R2→| = [4 + (h−1)^2]^(3/2) R3→ = − 2 x^ + (h+1) y^ → |R3→| = [4 + (h+1)^2]^(3/2) R4→ = − 2 x^ + (h−1) y^ → |R4→| = [4 + (h−1)^2]^(3/2) D→(P) = D→(0, h, 0) = [100 π R1→ over 4π|R1→|^3 + 100 π R2→ over 4π|R2→|^3 + 100 π R3→ over 4π|R3→|^3 − 100 π R4→ over 4π|R4→|^3] × 10^-6 D→(P) = 100 π × 10^-6 over 4π|R1→|^3 (R1→ − R3→) + + 100 π × 10^-6 over 4π|R2→|^3 (R2→ − R4→) D→(0, h, 0) = 10^-4[1 over {4+(h+1)^2]^(3/2) + 1 over {4+(h−1)^2]^(3/2) ] 2 x^ = Dn a) ρs(0, 0, 0) = ρs(0, h, 0) = Dn(0, h, 0) Dn|h=0 = 10^-4 [1 over 5/5.15 + 1 over 5/5.15] = 2×10^-4 over 5.15 = 200×10^-6 over 5.15 ρs(0, h, 0) = 17.89 μC/m^2 (4) x > 0 Meio 1 x < 0 Meio 2 εR1 = 2 εR2 = 5 (E1→ = 20 x^ − 10 y^ + 50 z^ = Et1→ (V/m) a) D2→ = ? D2→ = ε2 E2→ Et1→ = Et2→ ∴ Et2→ = −10 y^ + 50 z^ E1→ = Et1→ + E1n→ = −10 y^ + 50 z^ + E1n→ E1n→ =? Dn1→ = Dn2→ ∴ ε1 E1n1 = ε2 E1n2 E1n→ = E1 over ε2 E1n1 = εR1E0 over εR2E0 E1n1 = 2 over 5 E1n→ ∴ E1n→ = 2 over 5 (20 x^) = 8 x^ E2→ = −10 y^ + 50 z^ + 8 x^ D2→ = εR2 ε0 E2→ = 56 ε0 E2→ D2→ = (354 x^ − 443 y^ + 2210 z^) [C/m^2] dWE1 over dv = 1 over 2 εR1 ε0 E1^2 WE1 = 1 over 2 εR1 ε0 E1^2 WE1 = 1 over 2 × 2 × (400 + 100 + 2500) ε0 ∴ WE1 = 26.6 nJ/m^3 WE2 = 1 over 2 × 5 × (64 + 100 + 2500) ε0 ∴ WE2 = 58.96 nJ/m^3 (5) @ V(P) = ? V(P) = V(p1) + V(p2) Sabemos que: V(P) = 1/4πε₀ [p . R / R³] => V(P) = 1/4πε₀ [p . (Ῡ - Ṝ) / |Ῡ - Ṝ|³] Asumir, p1 = 20 âz { Ṝ' = 5 âz Ṝ = 0 } p2 = -50 âz { Ṝ' = -5 âz Ṝ = 10 âz } V(p1) = 1/4πε₀ 20 âz . 5 âz / 5³ x 10⁻⁹ V(p2) = 1/4πε₀ -50 âz . -5 âz / 5³ x 10⁻⁹ V(P) = 1/4πε₀ [100/125 + 250/125] x 10⁻⁹ V(P) = 25.2 V (b) Ē = dd / 4πε₀r³ (2 cos θ âṛ + sin θ âθ) => Ē = |p| / 4πε₀r³ (2 cos θ âṛ + sin θ âθ) Ē(P) = Ē(p1) + Ē(p2) p1 = 20 âz |p1| = 20 = dd { θ = 0° r = 5 } p2 = -50 âz |p2| = 50 = dd { θ = π r = 5 } Ē1 = 20/4πε₀ x 5³ (2 âṛ) = 9(20)(2)/125 âṛ = 2.88 âṛ Ē2 = 50/4πε₀ x 5³ (-2 âṛ) = -9(50)(2)/125 âṛ = -7.2 âṛ Ē(P) = -4.32 âṛ (V/m)