Lista - Avaliação 3 - 2023-2

UFLA — DMM GMM117 — Prep. av. 3 Prof. Tiago Vieira Instrugoes De fato, apds identificar cada fungao y,(x) com um . a parametro A,,, 0 que se tem é um par de autofungao e ° Repita os passos executados nesta atividade de pre- autovalor, respectivamente. Para a E.D.O. (I), a auto- paracao antes de iniciar a resolugao da avaliacao. fungao pode ser normalizada pelo calculo da integral Exemplos 1 —_—_ 2 In dx = 1 1. Seja o problema de valores de contorno | [om (a)] da I "41 \.y=0; Substituindo a fungao y, (x) encontrada: y y ; (II) y(0) = 0; 1 (Il) y(1) +y/(1) =0 1= [ lun(a)P ae 0 A solugaéo da E.D.O. (I) é 1 2 = | [Cn -sen (Vn -c)| dx y(w) = C1 +008 (VA) + C2 sen (VA- 2) ° ) = | (Cy)? - [sen (Vn -c)| dx pois, derivando duas vezes chega-se a 0 1 2 _ 2 y" (x) = —Cy-d-cos (vx) —C2-d-sen (VX) =-\-y =(Cn)" [ [sen (Vn -c)| dar 1 /y~ que é a propria E.D.O. reescrita de outro modo. A = (C,)? | 1 — cos (2. Xn ) dx condicao de contorno (II) implica em 0 2 Cr 2 1 1 0 = y(0) | ae — [cos (2 VXn-a) ae 0 0 = Cy cos (VA-0) + C2 -sen (VA-0) 1 (Cy)? 1 sen (2- Ap - 2) =C, +0 =" J) (She 2 0 2-VAn 0 ou seja, C1 =0 - GF, ee) a] 2 2-VAn Com isso, a solugao fica: y(x) = C2- sen (vr 7) donde se tem Por sua vez, a condigéo de contorno (III) implica em C 2 _ ! n= sen(2-VXn ) 0=y(1)+y'(1) 1-7 = Cz - sen (v2: 1) + C2: V2- cos (va: 1) Conclui-se, portanto, que a autofuncdo normalizada é =C2- (sen (vx) + VX-+cos (vx) 2 — E, para que a solugao nao seja trivial (isto é, para que Yn (2) = f 1- sen(2-V/Xn ) "sen ( An ") y(x) £0), é preciso que C2 4 0, portanto 2-Vrn sen (V2) + VA- cos (va) 0 com VX, = — tan (An). 6 2. Seja o problema de valores de contorno u VX = —tan (v2) (I) y+A-y=0; II = 0; Esse resultado mostra uma restrigao que delimita os ai ny “* valores permitidos para o parametro , porém signi- y fica também que ha uma infinidade de valores possiveis A solucao da E.D.O. (I) é para A devido ao carater periddico da fungao tangente. Cada um desse possiveis valores pode ser distinguido y(x) = Cy - cos (vr : x) + Cy -sen (vr : w) através de um indice n, fazendo com que a solucao desse problema de valores de contorno seja pois, derivando duas vezes chega-se a Yn(x) = Cp - sen (Vn -«) , com VA, = —tan (vx) y (x) = —C1-X-cos (vx) —Cpy-X-sen (vx) =—)\-y pag. 1 de 2 que é a propria E.D.O. reescrita de outro modo. A autovalor, respectivamente. Para a E.D.O. (I), a auto- condicao de contorno (II) implica em fungao pode ser normalizada pelo calculo da integral 0 = y(0 1 10) J uP ae = = Cy cos (VA-0) + C2 -sen (VA-0) 0 =C,+0 Substituindo a funcao y,(x) encontrada: : 1 ou seja, C1 =0 1= | tun(eyP ae 0 Com isso, a solucao fica: 1 2. 1)-n: 2 $ -| [Cn sen (CMDs meh) a *) dx y(a) = C2-sen (vr : r) . (2-n+1) 2 _ | (C,)?- sen (C=) de Por sua vez, a condicao de contorno (III) implica em 0 2 , 9 I (2-n+1)-m-a ? 0=y'(1) =(C,)°- sen | 3 dx 0 = Cz-VX-c08 (VA-1) (Cx)? [eee = n . ee Xv = Cz-VX- cos (VA) 9 2 (C, ? 1 1 | ax — | cos (2-n-+ 1): 2) de| E, para que a solucao nao seja trivial (isto é, para que 2 0 0 y(x) £0), é preciso que C2 4 0 e V\ £0, portanto (Cc, , (= (2-n-41)-m- ®) 1 = _ .. x — a cos (VX) =0 2 0 (2:n+1)-7 0 (2-n+1)-7 (Cn)? sen ((2-n +1) -7) _ = -lL— svi 5 ,comne Z 5 (@-ntl)-n ou seja, VX deve ser um miltiplo inteiro de 7 somado a 7/2. Esse resultado mostra uma restricao que delimita wpe * poe donde se tem os valores permitidos para o parametro A, porém signi- fica também que ha uma infinidade de valores possiveis 2 para A, um para cada inteiro n. Usando esse inteiro Cn = \/ | _ se@nti-7) para distinguir cada \ através de um indice, a solucao (ntl) desse problema de valores de contorno fica reescrita . . . , deste modo: Conclui-se, portanto, que a autofuncgao normalizada é 2-n+1)-m-a2 n(x) =Cyosen (2 "FI" *) com n ez _ 2 (2-n+1):m-@ 2 Yn (x) - 1 sen((2-n+1)-7) sen ) (2-n+1)-7 De fato, apds identificar cada fungao y,(x) com um parametro A,,, 0 que se tem é um par de autofungao e com n € Z. pag. 2 de 2