Questões - Autovalores e Problema da Corda Vibrante - 2023-1

7.1. Ache os autovalores e autofunções da equação y'' + \lambda y = 0 para cada uma das seguintes condições de contorno: (b) y(0) = 0, y(2\pi) = 0; (d) y(0) = 0, y(L) = 0 \text{ (aqui, } L > 0); (e) y(-L) = 0, y(L) = 0 \text{ (aqui, } L > 0); 7.2. Resolva o problema da corda vibrante do texto quando o formato inicial y(x,0) = f(x) é igual a cada uma das seguintes funções: (a) f(x) = \begin{cases} 2cx/\pi, & 0 \leq x \leq \pi/2, \\ 2c(\pi-x)/\pi, & \pi/2 \leq x \leq \pi; \end{cases} (b) f(x) = \begin{cases} x, & 0 \leq x \leq \pi/4, \\ \pi/4, & \pi/4 \leq x \leq 3\pi/4, \\ \pi-x, & 3\pi/4 \leq x \leq \pi. \end{cases} Em cada caso, esboce o formato inicial da corda. 8.2. Se a barra fina discutida no texto, em vez de ter as temperaturas de suas extremidades mantidas iguais a 0 [condição (I)], tiver suas extremidades isoladas (digamos, em x = 0 e x = \pi) então quais serão as novas condições de contorno? Se a distribuição inicial de temperatura for w(x,0) = f(x), mostre que a solução será w(x,t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n e^{-n^2 a^2 t} \cos nx, \quad \text{onde } a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos nx \, dx \quad (n = 0, 1, 2, \ldots). Quando f(x) é constante, que nos diz o senso comum sobre a solução? Isto é compatível com a fórmula acima? 9.2. Resolva o problema de Dirichlet no círculo unitário quando o valor de fronteira f(θ) é definido por: (b) f(θ) = θ para -π < θ < π; (c) f(θ) = {0, se -π ≤ θ < 0;\nsen θ, se 0 ≤ θ ≤ π; (e) f(θ) = θ^{2n+1} para cada n quando -π < θ ≤ π. 7.{1} Ache os autovalores e autofunções do equa. 7h: b) y(0) = 0; y(2π) = 0. 10h: mente a equação característica para o proble- 11h: Resolvendo tal equação: 12h: Δ = -4λ 13h: Vamos analisar os casos possíveis: 14h: 1º caso: Δ = 0: ter duas raízes são iguais, gerando uma solução da forma 15h: y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{r x} 16h: como r = {±√(0)}/{2a} = 0, 17h: y(x) = C_1 + C_2 x. 18h: Comparando as condições iniciais: 19h: y(0) = 0; C_1 = 0 20h: y(2π) = 0. 21h: C_2 2π = 0 22h: C_2 = 0 : Solução trivial. 7h: 2º caso: Δ > 0: Duas raízes distintas e reais, iguais 8h: seja: 9h: y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} 10h: y(x) = C_1 e^{√7 x} + C_2 e^{-√7 x} 11h: Empregando as condições iniciais: 12h: y(0) = 0: 13h: C_1 + C_2 = 0 14h: C_1 = -C_2 15h: y(2π) = 0: 16h: C_1 e^{-√7 2π} + C_2 e^{√7 2π} = 0. C_1 e^{-√7 2π} = -C_2 e^{√7 2π}. e^{-√7 2π}.e^{-√7 2π} 17h: ≠ -√λ = √λ 18h: λ = 0 : Solução trivial. 19h: 3º caso: Δ < 0: Duas raízes complexas: 20h: r_1 = i√7 ; r_2 = i√7 21h: A solução vai ver da forma 22h: y(x) = C_1 cos(√7 x) + C_2 sen(√7 x) 23h: Aplicando as condições iniciais: 24h: y(0) = 0; C_1 = 0