Avaliação 3 - 2023-2

2) y'' + λy = 0 Podemos escrever y'' = r^2, y = r^0 = 1 y'' + λy = 0 -> r^2 + λ = 0 r^2 = -λ r = ±√λ i Raízes r1 = √λ i, r2 = -√λ i A solução é do tipo y(x) = a1 e^(r1 x) + a2 e^(r2 x) = a1 e^(√λ i x) + a2 e^(-√λ i x) Como temos uma soma de exponenciais, podemos reescrever essa solução como uma soma de seno e cosseno: y(x) = C1 cos(√λ x) + C2 sin(√λ x) Derivando uma vez em relação à x, temos y'(x) = C1 d/dx (cos(√λ x)) + C2 d/dx (sin(√λ x)) = -sin(√λ x) d/dx (√λ x) = cos(√λ x) d/dx (√λ x) = √λ y'(x) = - C1 √λ sin(√λ x) + C2 √λ cos(√λ x) 1ª condição inicial: y'(0) = 0 - C1 √λ sin(0) + C2 √λ cos(0) = 0 -> C2 √λ = 0 0 + 1 -> C2 = 0 Assim, y(x) = C1 cos(√λ x) y'(x) = - C1 √λ sin(√λ x) 2ª condição inicial: y'(1) = 0 - C1 √λ sin(√λ) = 0 0 -> sin(√λ) = 0 √λ = nπ, n ∈ Z A autofunção é y_n(x) = C_n cos(nπ x), n ∈ Z Normalização da autofunção ∫₀¹ |y_n(x)|² dx = 1 ∫₀¹ C_n² cos²(nπ x) dx = 1 C_n²∫₀¹ cos²(nπ x) dx = 1 ∫₀¹ cos²(nπ x) dx = ∫₀¹ (1 + cos(2nπ x)) / 2 dx = 1/2 [ ∫₀¹ dx + ∫₀¹ cos(2nπ x) dx ] = 1/2 [x]₀¹ + 1/2 [1/2nπ sin(2nπ x)]₀¹ = 1/2 (1) Assim C_n² [1/2 (1) + 1/2 (0)] = 1 -> C_n²/2 = 1 -> C_n² = 2 C_n = √2 Autofunção normalizada y_n(x) = √2 cos(nπ x), n ∈ Z Restrição dos autovalores λ: √λ = nπ -> λ = (nπ)² UFLA – DMM GMM117 – Avaliação 3 Prof. Tiago Vieira Discente: _____________________________________________ Lavras – MG, 01/11/2023. Instruções • Resolva apenas uma das questões. • A resposta deve apresentar um raciocínio lógico-matemático inteligível, preferencialmente análogo ao que é mostrado no documento de preparação. • Escreva a resposta manuscrita com caneta ou lápis em papel, a qual deve ser guardada para posterior entrega ao professor, seja pessoalmente em aula ou na sua sala no DMM, seja deixando-a no seu escaninho ou sendo entregue à secretaria no DMM. Essa entrega deve acontecer no máximo até o dia 8/11. • Ao mesmo tempo, para garantir que a resolução foi concluída na quarta-feira 1/11, a resposta manuscrita deve ser fotografada e a imagem correspondente (jpg ou pdf) enviada através de formulário próprio no Campus Virtual. • O documento escrito deve coincidir perfeitamente com a imagem enviada pelo Campus Virtual, caso contrário a resposta discrepante será penalizada com pontuação zero. • Esta atividade é individual com resposta associada ao número de matrícula do estudante, por isso cada um deve fazer o envio de sua própria resposta. • ATENÇÃO: se todos os estudantes resolverem a mesma questão, todos ficarão com nota zero. Fórmulas • Considere que y é uma função da variável x, ou seja y(x). Assim, as derivadas são y' = d/dx y(x) e y'' = d²/dx² y(x). • Note que y'(0) = (d/dx y(x)) |_{x=0}, ou seja, derivar-se a função e depois é feita a substituição do valor de x. Do mesmo modo: y'(1) = (d/dx y(x)) |_{x=1}. • Para todas as questões assuma que a normalização da autofunção $y_n(x)$ é dada por \int_{0}^{1} [y_n(x)]^2 dx = 1 Questões 1. Para o problema de valores de contorno {(I) $y'' + \lambda \cdot y = 0; \ (II) y'(0) = 0; \ (III) y'(1) = 0$ encontre as autofunções normalizadas, indicando a restrição que se aplica sobre os autovalores. Escreva a autofunção normalizada referente (identificada pelo índice n igual) ao último algarismo do seu número de matrícula. 2. Para o problema de valores de contorno {(I) $y'' + \lambda \cdot y = 0; \ (II) y'(0) = 0; \ (III) y(1) = 0$ encontre as autofunções normalizadas, indicando a restrição que se aplica sobre os autovalores. Escreva a autofunção normalizada referente (identificada pelo índice n igual) ao último algarismo do seu número de matrícula. 3. Para o problema de valores de contorno {(I) $y'' + \lambda \cdot y = 0; \ (II) y'(0) = 0 \ (III) y(1) = 0$ encontre as autofunções normalizadas, indicando a restrição que se aplica sobre os autovalores. Escreva a autofunção normalizada referente (identificada pelo índice n igual) ao último algarismo do seu número de matrícula. pág. 1 de 1