Lista - Análise de Tensões e Transformações - 2023-1

10. εx=200x10^-6 εy=-300x10^-6 γxy=400x10^-6 θ=30° Σmed=εx+εy/2=200x10^-6+(-300x10^-6)/2 Σmed=-50x10^-6 Σmed=-50x10^-6 -> centro do círculo R=√[(200-(-300)/2)^2+(400/2)^2]=320,16(10^-6) ε(10^-6) φ=tan^-1(-200/-250)=+38,66° α=2θ-φ=2.30º-(+38,66º)=21,34º εx'=[-50+320,16.cos(21,34º)].10^-6=248x10^-6 εy'=[-50-320,16.cos(21,34º)].10^-6=-348,2x10^-6 γx'y'=2.[320,16.sen(21,34º)].10^-6=-233x10^-6 11. εx=150x10^-6; εy=200x10^-6; γxy=-700x10^-6 θ=60º Σmed=εx+εy/2=(150+200/2).10^-6=175x10^-6 R=√[(150-200/2)^2+(-700/2)^2]=350,89x10^-6 φ=tan^-1(350/25)=85,9º α=2θ-φ=120º-85,9º=34,1º εx'=[175-350,89.cos 34,1º].10^-6=-115,56x10^-6 εy'=[175+(350.cos 34,1º)].10^-6=465x10^-6 γx'y'=2.350,89.sen 34,1º=393x10^-6 12. εx=150x10^-6, εy=200x10^-6 e γxy=-700x10^-6 θ=30º Σmed=(150+200/2).10^-6=175x10^-6 R=√[(150-200/2)^2+(-700/2)^2]=350,89x10^-6 φ=tan^-1(350/25)=85,9º α=2θ-φ=2.(30)-85,9º=-145,9º εx'=[175-350,89.cos(-145,9º)].10^-6=465,56x10^-6 εy'=[175+350,89.cos(-145,9º)].10^-6=-115,56x10^-6 γx'y'=2.[350,89.sen(-145,9º)].10^-6=-393,4x10^-6 GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 3 As cargas internas em uma seção da viga são mostradas. Determine as tensões principais no plano no ponto A. Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no plano neste ponto. Resposta: s1 = 0 MPa s2 = -36.6 MPa tmáx,plano = 18.3 MPa GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 4 As cargas internas em uma seção da viga são mostradas. Determine as tensões principais no plano no ponto B. Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no plano neste ponto. Resposta: s1 = 16.6 MPa s2 = 0 MPa tmáx,plano = 8.3 MPa GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 5 As cargas internas em uma seção da viga são mostradas. Determine as tensões principais no plano no ponto C. Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no plano neste ponto. Resposta: s1 = 14.2 MPa s2 = -8.02 MPa tmáx,plano = 11.1 MPa GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 6 A viga tem seção transversal retangular e está sujeita às cargas mostradas. Determine as tensões principais no ponto A e no ponto B, que estão localizados logo à esquerda da carga de 20 kN. Mostre os resultados nos elementos localizados nesses pontos. Resposta: ponto A s1 = 0 MPa; s2 = -30.5 MPa; ponto B s1 = 0.541 MPa; s2 = -1.04 MPa; qp1 = -54.2º; qp2 = 35.8º GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 7 A viga de seção tubular está sujeita à força de 26 kN aplicada no centro de sua largura, 75 mm de cada lado. Determine as tensões principais no ponto A e mostre os resultados em um elemento localizado nesse ponto. Resposta: s1 = 111 MPa; s2 = 0 MPa; GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 8 A viga de seção tubular está sujeita à força de 26 kN aplicada no centro de sua largura, 75 mm de cada lado. Determine as tensões principais no ponto B e mostre os resultados em um elemento localizado nesse ponto. Resposta: s1 = 2.4 MPa; s2 = -6.68 MPa; qp1 = -59.1º; qp2 = 30.9º GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 9 O eixo tem diâmetro d e está sujeito às cargas mostradas. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no plano no ponto A. Os mancais suportam apenas reações verticais. Resposta: 1 2 2 max, 2 4 2 ; 0 2 2 ; plano PL F d d PL F d d                  s s  t  GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 10 O estado de deformação no ponto do braço tem componentes de ex = 200x10-6, ey = -300x10-6 e gxy = 400x10-6. Use o círculo de Mohr para determinar as deformações equivalentes no plano em um elemento orientado em um ângulo de 30º no sentido anti-horário a partir da posição original. Esboce o elemento deformado devido a essas deformações dentro do plano x–y. Resposta: ex’ = 248x10-6 ey’ = -348x10-6 gx’y’ = -233x10-6 GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 11 O estado de deformação em um ponto do suporte tem componentes de ex = 150x10-6, ey = 200x10-6 e gxy = -700x10-6. Use o círculo de Mohr para o EPD e determine as deformações equivalentes no plano em um elemento orientado em um ângulo de q = 60° no sentido anti-horário a partir da posição original. Esboce o elemento deformado dentro do plano x–y devido a essas deformações. Resposta: ex’ = -116x10-6 ey’ = 466x10-6 gx’y’ = 393x10-6 GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 12 O estado de deformação em um ponto do suporte tem componentes de ex = 150x10-6, ey = 200x10-6 e gxy = -700x10-6. Use o círculo de Mohr para o EPD e determine as deformações equivalentes no plano em um elemento orientado em um ângulo de q = 30° no sentido horário a partir da posição original. Esboce o elemento deformado dentro do plano x–y devido a essas deformações. Resposta: ex’ = 466x10-6 ey’ = -116x10-6 gx’y’ = -393x10-6 GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 13 O estado de deformação no ponto da barra tem componentes de ex = 180x10-6, ey = -120x10-6 e gxy = -100x10-6. Use o círculo de Mohr para determinar (a) as deformações principais no plano e (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações deformam o elemento dentro do plano x–y. Resposta: (a) e1 = 188x10-6, e2 = -128x10-6, qp1 = -9.22º (b) gmáx no plano = 316x10-6, emed = 30x10-6, qc = 35.8º GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 14 O estado de deformação na lança do guindaste tem componentes de ex = 250x10-6, ey = 300x10-6 e gxy = -180x10-6. Use o círculo de Mohr para determinar (a) as deformações principais no plano e (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações deformam o elemento dentro do plano x–y. Resposta: (a) e1 = 368x10-6, e2 = 182x10-6, qp1 = -52.8º (b) gmáx no plano = 187x10-6, emed = 275x10-6, qc = -7.76º GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 15 Resposta: (a) e1 = 380x10-6, e2 = -330x10-6 A roseta de deformação é montada na superfície de um vaso de pressão. As seguintes leituras são obtidas para cada extensômetro: ea = -200x10-6, eb = 300x10-6 e ec = 250x10-6. Determine as deformações principais no plano. GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 16 Resposta: (a) e1 = 517x10-6, e2 = -402x10-6 A roseta de deformação é montada na superfície de um vaso de pressão. As seguintes leituras são obtidas para cada extensômetro: ea = 475x10-6, eb = 250x10-6 e ec = -360x10-6. Determine as deformações principais no plano. GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 17 A roseta de deformação é montada na superfície do suporte. As seguintes leituras são obtidas para cada extensômetro: ea = -780x10-6, eb = 400x10-6 e ec = 500x10-6. Determine (a) as deformações principais e (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média associada. Em cada caso, mostre o elemento deformado devido a essas deformações. Resposta: (a) e1 = 862x10-6, e2 = -782x10-6, qp1 = 88.0º (horário) (b) gmáx no plano = -1644x10-6, emed = 40x10-6, qc = 43º (horário) 1.\n\nσx = -80MPa\nσy = 60MPa\nτxy = -40MPa\nθ = 50°\n\nσx' = \frac{-80 + 60}{2} + \frac{(-80 - 60)}{2}\cos(100°) + (-40)\sin(100°)\n= -10 + 12,16 - 39,39 = -37,23MPa\n\nτx'y' = -\frac{(-80 - 60)}{2}\sin(100°) + (-40)\cos(100°)\n= 68,94 + 6,95\n\nτx'y' = 75,9 MPa 2.\n\nσx = 125MPa\nσy = -75MPa\nτxy = -50MPa\n\nσmed = \frac{σx + σy}{2} = \frac{125 + (-75)}{2} = 25MPa\n\nR = \sqrt{\left(\frac{σx - σy}{2}\right)^2 + τxy^2} = \sqrt{\left(\frac{125 + 75}{2}\right)^2 + (-50)^2} = 111,8MPa\n\na)\nσ1 = σmed + R = 25 + 111,8 = 136,8MPa\nσ2 = σmed - R = 25 - 111,8 = -86,8MPa\n\nσmed = 25MPa\n\nb)\nτmax = R\nτmax = 111,8MPa \cong 112MPa\nσmed = 25MPa\n\nc)\n\tan{2θp} = \frac{2τxy}{σx - σy} = \frac{2(-50)}{125 - (-75)} = -0,5 \to 2θp = -26,6°\nθp1 = -13,3°\nθp2 = -13,3° + 90° = 76,7°\nθc = θp2 - 45° = 76,7° - 45° = 31,7° 3.\n\nMz = -10kN.m\nMy = -500N.m\nF = -80kN\n\nIzz = 2 \left(\frac{100.20^3}{12} + 200.410^2\right) + \frac{20.200^3}{12} = 6,1867 \times 10^{-5} m^4\n\nIyy = 2. \frac{20.100^3}{12} + \frac{200.20^3}{12} = 3,4667 \times 10^{-6} m^4\n\nA = \left[(2.100.20) + 20.200\right] = 8 \times 10^{-3} m^2\n\nσA = \frac{(-10 \times 10^3).0,120}{6,1867 \times 10^{-5}} + \frac{(-500).0,050}{3,4667 \times 10^{-6}} = -26,6MPa\n\nσN = \frac{F}{A} = \frac{-80 \times 10^3}{8 \times 10^{-3}} = -10MPa\n\n∴ \n\nσx = -26,6 - 10 = -36,6MPa\nσy = 0\nτxy = 0\n\nσmed = \frac{σx + σmed}{2} = \frac{-36,6 + 0}{2} = -18,3MPa\n\nR = \sqrt{\left(\frac{σx - σy}{2}\right)^2 + τxy^2} = \sqrt{\left(\frac{-36,6 - 0}{2}\right)^2 + 0^2} = 18,3MPa\n\nσ1 = σmed + R = -18,3 + 18,3\n\nσ1 = 0,0\n\nσ2 = σmed - R = -18,3 - 18,3\n\nσ2 = -36,6MPa\n\nτmax = R = 18,3MPa 4. NOTA: Mesma seção do exercício anterior! Iz = 6,1867 x 10^-5 m^4 Iy = 3,4667 x 10^-6 m^4 A = 8 x 10^-3 m^2 σB = \frac{(10 x 10^3) . 0,12}{6,1867 x 10^-5} + \frac{(500) . 0,1050}{3,4667 x 10^-6} = 26,6 MPa σN = -\frac{F}{A} = -\frac{80 x 10^3}{8 x 10^-3} = -10 MPa σx = 26,6 - 10 = 16,6 MPa σy = 0 τxy = 0 σmed = \frac{σx + σy}{2} = \frac{16,6 + 0}{2} = 8,3 MPa R = \sqrt{(\frac{16,6}{2})^2 + 0^2} = 8,3 MPa σ1 = σmed + R = 8,3 + 8,3 σ1 = 16,6 MPa σ2 = σmed - R = 8,3 - 8,3 σ2 = 0 τmáx = R = 8,3 MPa 5. Mz = -10 kN.m My = -500 kN.m F = -80 kN V = 60 kN * Mesma seção Transversal do exercício (4). Iz = 6,1867 x 10^-5 m^4 Iy = 3,4667 x 10^-6 m^4 A = 8 x 10^-3 m^2 Q = \bar{y} . A = 0,11 . (0,1 . 0,02) = 0,00022 m^3 σC = \frac{10 x 10^3 . 0,1}{6,1867 x 10^-5} = 16,16 MPa σN = -\frac{80 x 10^3}{8 x 10^-3} = -10 MPa τC = \frac{VQ}{It} = \frac{60 x 10 . 0,00022}{6,1867 x 10^-5 . 0,02} = 19,67 MPa σx = 16,16 - 10 = 6,16 MPa τxy = 9,7 MPa σy = 0 σmed = \frac{σx + σy}{2} = \frac{6,16 + 0}{2} = 3,08 MPa R = \sqrt{(\frac{6,16}{2})^2 + 10,67^2} = 11,1 MPa σ1 = σmed + R = 3,08 + 11,1 = 14,18 MPa σ2 = σmed - R = 3,08 - 11,1 = -8,02 MPa τmáx = R = 11,1 MPa 6. ΣMD = 0 -4Vc + 20.2 = 0 -> Vc = 10 kN Vc = 10 kN M = 10.2 = 20 kN.m V = 10 kN Iz = 0,1 . 0,2^3/12 = 66,667 x 10^-6 m^4 A = 0,1 . 0,2 = 0,02 m^2 \theta\max = 0,05 . 0,1 . 0,1 = 0,0005 m^3 σN = -\frac{10 x 10^3}{0,02} = -0,5 MPa σA = \frac{My}{I} = \frac{20 x 10 . 0,1}{66,667 x 10^-6} = 30 MPa τt = \frac{V\theta}{It} = \frac{10 x 10^3 . 0,0005}{66,667 x 10^-6 . 0,1} = 0,75 MPa •Ponto A σx = -0,5 + 30 = 29,5 MPa R=\sqrt{(\frac{29,5}{2})^2 + 0} = 14,75 MPa σmed = \frac{29,5+0}{2} = 14,75 MPa σ1 = 14,75 + 14,75 = 29,5 MPa σ2 = 0 •Ponto B σx = -0,5 MPa τxy = 0,75 MPa σmed = -\frac{0,5}{2} = -0,25 MPa R = \sqrt{(\frac{-0,5}{2})^2 + 0,75^2} = 0,791 MPa σA = σmed + R = -0,25 + 0,791 = 0,541 MPa σB = σmed - R = -0,25 - 0,791 = -1,041 MPa 7. A B 3m θ = tg⁻¹(5/12) = 22,62° A 26 kN 13 12 5 M = 26.sen 22,62°.(3) - 26.cos 22,62°.(0,075) = 28,2 kN.m F = 26.cos 22,62° = 24kN I = (150.150³/12) - (130.130³/12) = 18,3867x10⁻⁶ m⁴ A = 150.150 - 130.130 = 0,0056 m² σN = -24x10³/0,0056 = -4,29MPa σA = 28,2x10³.0,075/18,3867x10⁻⁶ = 115,03MPa σX = -4,29 + 115,03 ≡ 111MPa σmed = (σx + σy)/2 = (111 + 0)/2 = 55,5MPa R = √((111/2)² + 0²) = 55,5MPa σ1 = σmed + R = 55,5 + 55,5 = 111MPa σ2 = σmed - R = 55,5 - 55,5 = 0,0 111MPa 8. NOTA: MESMA ESTRUTURA DO EXERCÍCIO 7 150mm σmáx = y•A σmáx = 2.00325.(0,065.0,04) + (0,07).(0,15.0,010) = 147,25x10⁻⁶ m³ I = 18,3867x10⁻⁶ m⁴ A = 0,0056 m² F = 24 kN ; V = 26.sen 22,62° = 10kN M = 28,2 kN.m τ = VQ/It = 10x10³.147,25x10⁻⁶/18,3867x10⁻⁶.0,020 = 4MPa σN = -24x10³/0,0056 = -4,3MPa σX = -4,3MPa ; τxy = 4MPa σmed = (-4,3 + 0)/2 = -2,15MPa R = √((-4,3/2)² + 4²) = 4,54MPa σ1 = -2,15 + 4,54 = 2,4MPa σ2 = -2,15 - 4,54 = -6,69MPa tg2θ = 2.(4)/-4,3 → 2θ = -61,74° θp2 = -30,87° e θp2 = 59,1° 9. F P D = d V = P/2 ; M = P/2.L/2 = PL/4 I = π.d⁴/64 ; A = π.d²/4 σ = M.y/I = PL/4.d/2 = PLd/8.64/πd⁴ = 8PL/πd³ σN = -F/0,25πd² = -4F/πd² σX = 8PL/πd³ - 4F/πd² = 4/πd²(2PL/d - F) σmed = (σX + σY)/2 = 4/πd²(2PL/d - F)/2 R = √((σX - σY)/2)² + τ²xy = 2/πd²(2PL/d - F) σ1 = 4/πd²(2PL/d - F) σ2 = 0 τmáx = R = 2/πd²(2PL/d - F) 13. Σx = 180x10^-6; Σy = -120x10^-6; γxy=-100x10^-6 Ɛmed = (Σx + Σy) / 2 = (180 - 120) / 2 * 10^-6 = 30x10^-6 R = √((180 + 120) / 2)^2 + (-100 / 2)^2 = 158,11x10^-6 (a) Ɛ1 = 0C + CB = (30 + 158,11)*10^-6 = 188,11x10^-6 Ɛ2 = 0C - CB = (30 - 158,11)*10^-6 = -128,11x10^-6 2Φp = tg^-1(50 / 158,11) = -17,53° ~ Φp1 ≅ -9,0° (b) γmáx = 2 * R = 2 * 158,11x10^-6 γmáx = 316,22x10^-6 θc = θp - 45° = 9 - 45° θc = -36° Ɛmed = 30x10^-6 14. Σx = 250x10^-6; Σy = 300x10^-6; γxy = -180x10^-6 Ɛmed = (250 + 300) / 2 * 10^-6 = 275x10^-6 R = √((250 - 300) / 2)^2 + (-180 / 2)^2 = 93,41x10^-6 (a) Ɛ1 = 0C + OB = 275 + 43,41 = 368,4x10^-6 Ɛ2 = 0C - AC = 275 - 93,41 = 181,6x10^-6 θp1 = -52,8° (b) γmáx = 2 * 93,41x10^-6 = 187x10^-6 Ɛmed = 275x10^-6 θc = -77,6° 15. Ɛa = -200x10^-6 Ɛb = 300x10^-6 Ɛc = 250x10^-6 Ɛa = Σx * cos^2θa + Σy * sen^2θa + γxy * senθa * cosθa -200x10^-6 = Σx * cos(135) + Σy * sen^2(135) + γxy * sen(135)cos(135) -200x10^-6 = 0,5Σx + 0,5Σy - 0,5γxy 0,5Σx + 0,5Σy - 0,5γxy = -200x10^-6 (1) Ɛb = Σx * cos^2θb + Σy * sen^2θb + γxy * senθb * cosθb 300x10^-6 = Σx * cos^2(90) + Σy * sen^2(90) + γxy * sen(90) * cos(90) 300x10^-6 = Σy → Σy = 300x10^-6 (2) Ɛc = Σx * cos^2θc + Σy * sen^2θc + γxy * senθc * cosθc 250x10^-6 = Σx * cos^2(45°) + Σy * sen^2(45°) + γxy * sen45° * cos45° 250x10^-6 = 0,5Σx + 150x10^-6 + 0,5γxy 0,5Σx + 0,5γxy = 100x10^-6 Σx = 200x10^-6 - γxy (3) (2), (3) em (1) 0.5.(200x10^-6 - γxy) + 150x10^-6 - 0.15γxy = -200x10^-6 -γxy = -450x10^-6 → γxy = 450x10^-6 Σx = 200x10^-6 - 450x10^-6 Σx = -250x10^-6 ∴ Σx = -250x10^-6 Σy = 300x10^-6 γxy = 450x10^-6