Exercícios de Vetores e Geometria Analítica

Lista 5 Vetores e Geometria Analítica 1 Seja 𝛽 o plano definido pelas equações paramétricas abaixo 𝑥 1 𝑡 2𝑠 𝑦 3 2𝑡 5𝑠 𝑧 𝑡 𝑠 𝑡 𝑠 ℝ Determine a posição relativa e a interseção entre a 𝛽 e o eixo 𝑦 b 𝛽 e o eixo 𝑧 c 𝛽 e a reta 𝑟 definida pela equação 𝑥 𝑦 𝑧 10 0 2 𝜆1 7 0 𝜆 ℝ 2 Sejam 𝑚 e 𝑘 as retas definidas respectivamente pelas equações paramétricas abaixo 𝑥 𝑡 𝑦 1 𝑡 𝑧 1 2 2𝑡 𝑡 ℝ 𝑥 5 𝑠 𝑦 8 5𝑠 𝑧 49 6 𝑠 3 𝑠 ℝ Existe um plano α que contenha as retas 𝑚 e 𝑘 Justifique a resposta e se a resposta for sim determine uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano α 3 Considere T o tetraedro de vértices 𝐴 1 0 1 𝐵 0 1 0 𝐶 0 2 2 e 𝐷 1 1 5 a Determine um sistema de equações paramétricas para o plano que contém a face ABD do tetraedro T b Determine uma equação geral do plano que contém a face ABC do tetraedro T 4 Determine o ângulo formado entre a a reta 𝑟 definida pela equação 𝑥 𝑦 𝑧 0 3 6 𝜆1 0 1 𝜆 ℝ e o plano α de equação geral 2𝑧 5 b os planos de equação geral 𝑥 𝑦 12 e 2𝑥 𝑦 3𝑧 0 5 Determine a posição relativa e a interseção entre os planos em cada caso a 𝛼 𝑥 4𝑦 𝑧 1 e 𝛽 𝑥 𝑦 3𝑧 0 b 𝛾 𝑥 𝑡 3𝑠 𝑦 5 2𝑠 𝑧 1 𝑡 𝑡 𝑠 ℝ e 𝜑 4𝑥 6𝑦 4𝑧 34 c 𝜎 𝑥 12 𝑡 2𝑠 𝑦 2 2𝑡 𝑠 𝑧 𝑡 𝑠 𝑡 𝑠 ℝ e 𝜉 𝑥 2 3𝑎 𝑏 𝑦 3 𝑎 3𝑏 𝑧 4 2𝑎 𝑎 𝑏 ℝ Respostas 1 a O plano 𝛽 e o eixo 𝑦 são transversais e a interseção entre 𝛽 e o eixo 𝑦 é o ponto 0 4 0 b O plano 𝛽 e o eixo 𝑧 são transversais e a interseção entre 𝛽 e o eixo 𝑧 é o ponto 0 0 49 c O plano 𝛽 e a reta 𝑟 são paralelos e 𝛽 𝑟 2 Sim porque as retas 𝑚 e 𝑘 são concorrentes o ponto de encontro entre elas é 4 3 172 A equação 31𝑥 7𝑦 12𝑧 1 é uma equação geral do plano α e abaixo está um possível sistema de equações paramétricas para o plano α 𝑥 𝑡 𝑠 𝑦 1 𝑡 5𝑠 𝑧 1 2 2𝑡 𝑠 3 𝑡 𝑠 ℝ 3 a 𝑥 1 2𝑝 𝑞 𝑦 𝑝 𝑞 𝑧 1 4𝑝 𝑞 𝑝 𝑞 ℝ b 3𝑥 2𝑦 𝑧 2 4 a π4 rad b arccos34 rad 5 a Os planos são transversais Além disso 𝛼 𝛽 é a reta de equação vetorial 𝑥 𝑦 𝑧 4 1 1 𝜆11 2 3 𝜆 ℝ b Os planos são coincidentes Logo 𝛾 𝜑 𝛾 𝜑 c Os planos são paralelos Logo a interseção entre eles é vazia