Exercícios de Distância entre Pontos, Retas e Planos

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 285 Determinar as distâncias dos seguintes pares de pontos A O O O e 2 2 1 R 3 B 1 l 1 e 35 2 R 7 C O 2 3e 1 2 4 R J2 286 Verifique se o triângulo de vértices nos pontos dados é isósceles nos seguintes casos A 1 3 4 2 14 311 5 R é isósceles B 21 2 1 2 O 4 01 R é isósceles e equilátero 287 Determinar a distância entre o ponto P e a reta r nos seguintes casos A P 1 21 x1 y z2 J9 r R B P2 13 rXll1213e91 2 1 3 14 R J3 C P 1 1 O r 2x y z O 3x y 2z 1 O R fi D P O O 2 5 29 r x z 1 y 2z 2 R V6 288 Determinar a distância do ponto P ao plano n nos seguintes casos A P 1 1 1 n 2x y z 1 O R J6 6 B p 2 1 3 n X 1 2 1 a 3 2 1 b 1 O O a b E 91 R JS C P o O O 1 n x21 2 yA1 A2 zl22 11t2 e91 R r D P3l1 v21 X y n z 1 R 2 3 7 289 Determinar a distância da origem ao plano a que intercepta os eixos coordenados nos 30 pontos A 3 O O B O 2 O e C O O 5 R õ 19 290 Detem1ine a distância entre as retas reversas r x 1 y z 3 i E 91 X 8Jlí e sy z R 2 11 291 Estude a posição relativa entre as retas r1 X 3 O 2 t O 1 4 t E 91 e r2 X 4 1 1 t 2 1 O t E 91 e determine a distância das mesmas R As retas são d 3J2l reversas e a sua 1stancia e u 7 292 Determine se existir a distância entre as retas 1 z2 r1 2 y 3 e 293 Dados o ponto A 1 3 4 e a reta r X 1 5 6 t O 1 2 t E 91 pedese determinar A A equação geral do plano a determinado pelo ponto e pela reta R x 1 B a distância entre o ponto 3 3 4 e o plano a R 2 294 Calcule a distância entre o ponto de coordenadas 2 O 1 e a reta intersecção dos planos de equações gerais 5x 2yz 1 O e 4x 3y z 2 O R 290 51 295 Calculeadistânciaentreosplanos a x 12a b y2 ab z2b abeffi e J14 p x 2y 3z 8 O R 14 296 Calcule a distância entre a reta intersecção dos planos x y 2z 3 O e 3x y z 1 O e a reta X 1 1 1 t1 5 2 tem R o z 3 z 297 Dadasasretasr x1 y1 e s x2 y1determineASeelassão 2 4 coplanares ou reversas R reversas B No caso de serem reversas calcule a sua distância R ô nfij 21 298 Calcule o perímetro do triângulo cujos vértices são os pontos médios dos lados do triângulo ABC onde A 2 1 3 B 4 1 1 e C O 1 1 R J6 J5 JLJ 299 Calcule os comprimentos das alturas do triângulo ABC do exercício anterior r Ir 230 R 2v 2v6 r vl 1 300 Calcule o comprimento de cada altura do tetraedro de vértices nos pontos A 1 1 4 4JS B210 C3lO e D122R hA hc h 8 2Ms h 0 l 5 21 301 Calcule o valor de m para que a distância entre as retas reversas r x 4 31 y 41 z 5 21 Â Em e s X m 6 Â 1 y 7 4 Â 1 z 5 Â 1 Â 1 Em seja igual a 13 R 163 m3 ou m 2 302 Calcule a distância entre o ponto P r1 n r2 e o plano a 2x y z 1 O onde s6 í1 X 1 1 1t11 1t Em e r2 X 1 4 ot2 1 1 te m R 6 303Determine a distância entre o ponto A 1 2 O e o plano de equação vetorial 5 X 2 1 O al 1 1 b2 1 1 a b E 9l R Õ A ex vl4 304Calcule a distância entre o ponto P 2 010 e o plano que contém ôs pontos J3 A 11 lL B 1 3 5 e e 25 2 R 3 305 Determine a distância entre o ponto A 1 2 1 e a reta de equação vetorial 306 Determine a distância entre os planos de equações gerais x y z 1 O e 2 xyz 10R 3 307Em relação a um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais são dados os pontos A 1 1 O B 4 3 5 e C 3 O 2 Usando o teorema de Pitágoras verifique se o triângulo ABC é retângulo R sim 308Ache os pontos da reta r x y z x y 2 que distam 3 unidades do ponto A021R P1 2 O 2 e P2 0 2 2 309Ache a distância do ponto P 013 ao plano a 2x y z 2 O R O 310Ache a distância do ponto P l11 à reta rXOOlÃ0 l2ÂEffi 3 R o JS 311Determinar a distância do ponto P ao plano n onde P 001 e n x 211 À 2 312Determine um ponto do eixo das ordenadas eqüidistante de M 1 1 1 e N2 2 3 R oo 313Determine a distância entre as retas e s X O O O t 2 2 6 t E R 466 11 314 Detennine a distância entre os r X 2 2 2 t 1 1 3 t E 91 planos axyzlO e 315 Determine a distância da ongem do sistema de coordenadas cartesianas ao plano 316Calcule a distância entre o ponto P 13 4 e a reta que contém os pontos F4 A 214 e B3ll 5R 2 31 7 Calcule a distância entre o ponto P 1 1 1 e a reta que é a intersecção dos planos a x z 1 O e y z 1 O R 318Determine um ponto P do eIXo das abscissas que equidiste do plano n2x3y6zl O e da reta X430t3 4 OtE9tR 300 319Calcule a distância do ponto D 2 1 3 ao plano a x 2y z l O R 4J6 3 320 Calcule a distância entre o ponto P 4 1 3 e o plano que contém a reta i o12 X 2 lJ t O 3 2 te 91 e o ponto A 1 5 6 R 31 321Ache a distância entre as retas r1 X0l3t1 ll2t1 e91e x1 y 3 z R 7fi r 3 3 6 2 322Detennine a distância entre o ponto P r1 n r2 e o plano a 2x y z 8 O dadas as retas r1 x 1 y 4 z e r2 X 1 1 3 tl 1 2 t e 91 R 26 2 323Calcule a distância entre as retas reversas r1 X 1 5 1 t 115 6 t 1 e 91 e 16 r2 X 2 3 1 t 2 21 O t 2 e 91 R 29 324Calcule a área do triângulo OAB onde O O O O o ponto A é a intersecção da reta r x 12t y 3t z 1 t t e 9 com o plano a x z 3 O e o ponto B é a intersecção da reta r com o plano p x y 6 O R 3fJ 325Determine a equação geral do plano que eqüidista dos planos paralelos 3 a x 2y z 1 O e p x 2y z 2 O R x 2y z O 2 326Detennine a equação geral dos planos bissetores do diedro formado pelos planos a x y z 1 O e p x y 2z 2 O R 3yz1 O e 2x y 3z 3 O 327 Determine uma equação vetorial da reta que eqüidista das retas paralelas r X O 1 3 t 1 1 2 t E ffi e s X 1 2 O t 1 1 2 t E ffi e pertence ao plano determinado pelas mesmas R X t 1 12 t e ffi 2 2 2 328Dadas as retas r X O 1 3 t 3 4 O t E ffi e s X O 1 3 t O 4 3 t E ffi determine equações vetoriais das bissetrizes dos ângulos formados pelas mesmas R b 1 X O 1 3 À 3 8 3 À E ffi e b 1 X O l 3 Ã 3 O 3 À 1 E ffi 329 Verifique se a reta r X 1 11 17 t 1 3 S te ffi contém algum ponto no primeiro octante que eqüidista dos planos coordenados R Não 3 30 Determine o ponto P do primeiro octante que pertence ao plano a x 2 y z 8 O e eqüidista dos planos coordenados R não existe o ponto P ANGULOS ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS Dadas duas retas quaisquer r X A À ü e s X B Ãv com À t e ffi e u e v não nulos seja e o ângulo determinado pelos vetores e O e n Por definição o ângulo ex determinado pelas retas r e s é dado por a are cos 1 cos 0 I ou cosa 1 cos 0 I com cos 0 1 li 1 As figuras seguintes ilustram os casos em que as retas são concorrentes ou reversas EXERCÍCIOS PROPOSTOS 33 l Determine o ângulo formado pelas retas r X O 1 2 t 1 1 2 t E 9t e s X 3 4 4 t 2 2 4 t E 9t R o 332Determine o ângulo formado pelas retas r X O 1 3 t 1 1 2 t E 9t e s X 20t11 O tE 9l R arccos 333 Determine o ângulo formado pelas retas r X 1 3 1 t 1 1 O t E 9t e 1t s X 2 1 4 t 1 O 1 t E 9t R 3 334 Determine o ângulo formado pela reta r X O l 3 t 1 l O t Em e o 1t plano a 2 x y z 1 O R 6 335 Determine o ângulo formado pela reta r X O 1 3 t 2 1 l te 9t e o plano a x 2y 4z 1 O R O 336 Determine u ângulo formado pela reta r X 2 3 1 t 1 2 l t Em e 11 o plano ax2yz3 0 R 2 337Determineoânguloformadopelosplanos axylO e yz20R 7t 3 338 Determine o ângulo formado pelos planos a x y 5 O e 2 x y z 2 O R 6