Estudo da Posição Relativa entre Retas e Superfícies Esféricas

O plano é externo se l Im 1 f3 2 m 1 J12 ou m 1 JU 342Estude a posição relativa entre a reta r X 1 2 m À 1 1 1 À m E e a superficie esférica S x 2 y 12 z 2 4 Substituindo as equações x l À y 2 À e z m À na equação da superficie esférica temos os seguintes casos A Se Li O 42 m2 43m2 2 0 m 2 2m50 m 1 J6 e a reta é tangente à superficie esférica pois existe apenas uma raiz real um único valor para À B Se Li O m 2 2m 5 O 1J6 m 1 J6 e neste caso existem duas raízes reais e diferentes para À logo a reta é secante à superfície C Se Li O m 2 2m 5 O m 1J6 ou m 1 J6 e não existem raízes reais para À logo a reta é externa à superficie EXERCÍCIOS PROPOSTOS 343Verifique qual é a posição relativa entre a retare a superficie esférica S determinando os pontos de intersecção se existirem nos seguintes casos A rX l 350 14 Ãe9i e S x 2 y 2 z2 6x 4y 160 70 2J86 9 2J86J R secante nos pontos 1 17 17 B rX 3 5 l 2 l Oe e S x 2 y2 z 2 2x 4y 4 O 19 8 J R secante nos pontos P1 1 41 e P2 55 1 3 Estude a posição relativa entre a reta r X 1 3 rn À O 1 l lv E 91 e a superfície esférica S x 2 y 22 z2 3 R Se m 3 ou m l é tangente se 3 m 1 é secante e se m 3 ou rn 1 é externa 35Estude a posição relativa entre o plano o x y z rn O e a superficie esférica 2 S x y 2 z 3 R Se m 5 ou m 1 é tangente se 5 m 1 é secante e se m 5 ou m 1 é externa 346Ache a posição relativa entre o plano e a superfície esférica nos casos a 2x y z 3 O e S x 2 y2 z 2 6x 4z 36 O R secante 2 B J a x y z 4 O e S x y z 2x 4 y 4 O R secante 34 Determine as equações das circunferências intersecções da superflcie esférica 2 S x y z 2x 6y 4z l O O com os planos coordenados 3i8Dados os pontos A 4 2 1 B 2 2 3 C 1 1 7 e D 5 1 3 determine AI a equação da superfície esférica que contém os pontos A B C e D B sendo S a superficie esférica que passa pelos pontos A B C e D determinar a equação do plano tangente e da reta normal à superficie S no ponto A 4 2 1 C determine a equação geral do plano que divide a superficie S em dois hemisférios iguais e que é paralelo ao plano 3xy 2zl O SlPERFÍCIE CÔNICA Uma superfície cônica é o lugar geométrico das retas do espaço geratrizes que concorrem em um mesmo ponto vértice e se apóiam em wna mesma curva diretriz Na figura o vértice da superficie é o ponto V e os pontos P e Q pertencem a urna reta geratriz qualquer g e a diretriz y é conhecida pelas suas equações Fx yz O e GxyzO Seja Pxyz um ponto qualquer da geratriz g e Q x0 y0 z0 o x11 2 ylJ2 zlJ2 À 2J2 2xyz31x2 y2 z2 2x 2 2z3 0 Esta é uma equação do 2 grau na variável da forma aÀ 2 bÀ e O onde a2 b2xyz3 e c x 2 y2 z2 2x 2y2z30 Como a 4geratriz é tangente à superficie esférica a equação do 2 grau tem discriminante nulo 4x y z 32 42x 2 y2 z2 2x 2y 2z 3 O Logo xyz32 2x2 y2 z2 2x2y2z30 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 351Ache uma equação da superficie cônica de vértice no ponto V 1 1 1 e que tangencia a superficie esférica x 1 2 y 1 2 z 2 5 2 2 R 4x 4y 5z 8xT8y IOz l30 352Ache uma equação da superfície cônica de vértice na origem cuja diretriz é a curva Y x 2 2zl0 e yz10 R x 2 y2 z2 0 353Ache uma equação da superficie cônica de vértice V O O 1 e diretriz y x 2 y2 x O e z O R x 2 y 2 x z 1 O 354Ache uma equação da superficie cônica tendo a ongem como vértice e tangente à superficie esférica de centro C o e raio R fi R x 2 7y2 8z2 6xy O 2 2 2 356Determine a equação da superficie cilíndrica de geratrizes paralelas ao vetor ü 1 1 1 e circunscrita à superficie esférica de equação y x y z 2 1 g P Q À ü À E ffi onde Q x0 y 0 z0 e g xyzx 0 y0 z0 À1llÃe9l x x 0 y y 0 e z z 0  X o X  y o y À e Zo z À g x À2 yÃ2 zà 2 l 3à 2 2x yzx 2 2 z2 10 Como a reta geratriz g é tangente à superficie esférica b 4ac O onde a 3 b2xyz e cx2 y2 z2 I Equação da superfície é x y z2 3 x 2 y 2 z 2 1 O EXERCÍCIOS PROPOSTOS p 357Determine a equação da superfície cilíndrica de diretriz y x 2 2z2 2xz1 e y O e geratrizesparalelasa Ü l 1 1R x 2 y2 z2 2yz2xz1 0 358Ache a equação da superficie cilíndrica de geratrizes paralelas ao vetor ü 1 1 1 e circunscrita à superfície esférica x12 y12 z2 5 R xyz22 3x2 y 2 z2 2x2y30 359Ache a equação da superfície cilíndrica de geratrizes paralelas ao vetor v 3 2 1 e que é circunscrita à superficie esférica x 1 2 y 2 2 z 2 2 3 R 3x2yz92 14x 2 z2 2x 4y4z60 2 2 x2y3z3 x 2y3z3 x 2y3z5 2 2 2 X y z 8 4 8 3630btenha uma equação da superfície obtida pela rotação da curva y x 2y l e z O quando ela gira em torno do eixo e X O O O t 1 2 3 t e 9i Sx 2 y2 z2 r 2 1 7t X 2 y 3 Z À 2 x2 y l 3 z o 4 Resolvendo o sistema À l e z O logo a equação da superfície procurada é x 2 y 3 z 1 que é a equação de um plano Justifique EXERCÍCIOS PROPOSTOS 364Ache as equações das superfícies de rotação das curvas dadas em torno do eixo nos casos A Curva y 2x y z 1 e x 2yz 2 Eixo e X t 1 O 1 t E R xz4 2 3x3zl 5x 5z4 2 2 2 2 J r X y z 4 4 4 B Curva y x 2t 1 y t 1 z 3t 2 t e Eixo x y z R 4xyzl2 xyz82 9xyz2 2 36xyz2