Exercícios - Equações Diferenciais C 2022 2

1. N(t) é número de pessoas infectadas em uma epidemia, com dinâmica dada pela equação \( \frac{dN}{dt} = \alpha \sqrt{N} \), onde \( \alpha > 0 \) é constante. (a) (4 pts) Forneça a solução geral da equação. (b) (4 pts) Sabendo que no instante inicial há 100 indivíduos infectados e após 10 dias já são 400, encontre os valores das constantes e parâmetros e assim determine quando teremos 10 mil infectados. 2. (7 pts) Resolva o problema \( y' + 3y = 3t^2 e^{-3t} \), \( y(0) = 2 \). 3. (a) (6 pts) Resolva o problema \( y'' + 6y' + 5y = 0 \), \( y(0) = 1 \), \( y'(0) = 3 \). (b) (2 pts) Construa o gráfico de \( y(t) \) para \( t \geq 0 \). 4. (7 pts) Forneça a solução geral da equação \( y'' + y' + \frac{5}{2} y = 0 \). ① \( \frac{dN}{dt} = \alpha \sqrt{N} \) \( (\alpha > 0) \) (a) \( \int N^{-\frac{1}{2}} dN = \int \alpha dt \rightarrow 2N^{\frac{1}{2}} = \alpha t + C \) solução geral \( N(t) = \left( \frac{\alpha t + C}{2} \right)^2 \) \( C \) constante arbitrária. (b) \( N(0) = \left( \frac{C}{2} \right)^2 = 100 \rightarrow C = 20 \) \( N(10) = \left( \frac{10\alpha + 20}{2} \right)^2 = 400 \rightarrow \frac{10\alpha + 20}{2} = 20 \) (pois \( \alpha > 0 \)) \( 10\alpha + 20 = 40 \) \rightarrow \( \alpha = 2 \) Portanto \( N(t) = (t+10)^2 \) Queremos obter \( t \) tal que \( N(t) = (t+10)^2 = 10000 \) \( \Rightarrow t + 10 = 100 \Rightarrow t = 90 \text{ dias} \) ② \( y' + 3y = 3t^2 e^{-3t} \), \( y(0) = 2 \) equação linear com fator integrante \( \mu(t) = e^{\int 3 dt} = e^{3t} \) \( e^{3t} y' + (3 e^{3t}) y = 3t^2 \) \( \rightarrow \frac{d}{dt}(e^{3t} y) = 3t^2 \) \( \rightarrow e^{3t} y = t^3 + C \rightarrow y(t) = (t^3 + C) e^{-3t} \) \( y(0) = C = 2 \rightarrow y(t) = (t^3 + 2) e^{-3t} \) ③ (a) \( y'' + 6y' + 5y = 0 \), \( y(0) = 1 \), \( y'(0) = 3 \) \( y(t) = e^{rt} \rightarrow \text{eq. característica} \quad r^2 + 6r + 5 = 0 \) \( \Delta = 36 - 20 = 16 \rightarrow r = \frac{-6 \pm 4}{2} \rightarrow -1, -5 \) Solução geral \( y(t) = c_1 e^{-t} + c_2 e^{-5t} \) Condições iniciais \( y(0) = c_1 + c_2 = 1 \) \( y'(0) = -c_1 - 5c_2 = 3 \) \( -4c_2 = 4 \rightarrow c_2 = -1, \ c_1 = 2 \) \text{Solução}: \( y(t) = 2e^{-t} - e^{-5t} \) (b) \( y'(t) = -2e^{-t} + 5e^{-5t} = 0 \) \( 5e^{-5t} = 2e^{-t} \) \( \frac{5}{2} = e^{4t} \) \( t = \frac{1}{4} \ln \left( \frac{5}{2} \right) > 0 \) \text{gráfico:} \( y(t) \) \( \lim_{t \to \infty} y(t) = 0 \) ④ \( y'' + y' + \frac{5}{2} y = 0 \) \( y(t) = e^{rt} \rightarrow \text{eq. característica} \quad r^2 + r + \frac{5}{2} = 0 \) \( \Delta = 1 - 10 = -9 \rightarrow r = \frac{-1 \pm 3i}{2} \) Solução geral: \( y(t) = e^{-\frac{1}{2}t} [c_1 \cos(\frac{3}{2} t) + c_2 \sin(\frac{3}{2} t)] \) \text{ou} \( y(t) = c_1 e^{(-\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i)t} + c_2 e^{(-\frac{1}{2} - \frac{3}{2}i)t} \) 1. (10 pts) Escreva a solução geral para \( y'' + 6y' + 9 y = 13 \cos(2t) \). 2. (10 pts) Resolva a equação \( (1 + x^2) y'' - 4xy' + y = 0 \) usando uma série de potências em torno de \( x_0 = 0 \), escreva a relação de recorrência para os coeficientes e a solução geral até pelo menos a potência \( x^5 \). Escreva a solução para condições iniciais \( y(0) = 2 \), \( y'(0) = -4 \). 3. (10 pts) Obtenha a solução do problema de valor inicial \( y'' - 4y = \begin{cases} 1 & \text{para } 0 \leq t < \pi \\ 0 & \text{para } t \geq \pi \end{cases} \), \( y(0) = 1 \), \( y'(0) = 0 \). \( \begin{array}{|c|c|} \hline f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} & F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} \\ \hline 1 & \frac{1}{s} \\ e^{at} & \frac{1}{s-a} \\ t^n, \text{n inteiro positivo} & \frac{n!}{s^{n+1}} \\ t^n e^{at}, \text{n inteiro positivo} & \frac{n!}{(s-a)^{n+1}} \\ \sin(bt) & \frac{b}{s^2 + b^2} \\ \cos(bt) & \frac{s}{s^2+b^2} \\ e^{at}\sin(bt) & \frac{b}{(s-a)^2 + b^2} \\ e^{at}\cos(bt) & \frac{s-a}{(s-a)^2+b^2} \\ \sinh(bt) & \frac{b}{s^2-b^2} \\ \cosh(bt) & \frac{s}{s^2-b^2} \\ u_c(t) & \frac{e^{-cs}}{s} \\ u_c(t)(f(t-c) & e^{-cs} F(s) \\ (f*g)(t)= \int_0^t f(t-\tau)g(\tau) d\tau & F(s)G(s) \\ \delta(t-c) & e^{-cs} \\ f'(t) & sF(s) - f(0) \\ f''(t) & s^2 F(s) - sf(0) - f'(0) \\ \hline \end{array} \) 2) ferro \alpha^2: 0,12 cm^2/s , L = 10 cm , u(x,0) = 200 (0<x<10) u(0,t) = u(10,t) = 0 (\forall t>0) b_n = \frac{2}{10} \int_0^{10} 200 \sin(\frac{n \pi x}{10}) dx = 40 \Big[-\frac{10}{n \pi} \cos(\frac{n \pi x}{10})\Big]_0^{10} = -\frac{400}{n \pi} [\cos(n \pi) - 1] = \begin{cases} 0 & \text{n par} \\ \frac{800}{n \pi} & \text{n impar = n = 2k+1} \end{cases} u(x,t) = \frac{800}{\pi} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2k+1} e^{-(2k+1)^2 \frac{\pi^2 0,12 \, t}{100}} \sin((2k+1) \frac{\pi x}{10}) u(5,10) = \frac{800}{\pi} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2k+1} e^{-(2k+1)^2 0,012 \pi^2} \sin((2k+1) \frac{\pi}{2}) = \frac{800}{\pi} e^{-0,012 \pi^2} - \frac{800}{3\pi} e^{-9,0,012 \pi^2} + ... \approx 226, 206, ... - 29,234, ... \boxed{198,97^\circ C} \left\{ \begin{array}{ll} \text{Fourier} & \left.\begin{array}{ll} f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left[a_n \cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\right] \\ a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x)\, dx \\ a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\, dx \qquad (n = 1,2, ...) \\ b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\, dx \qquad (n = 1,2, ...) \end{array}\right.\\ \text{Integrais} & \left.\begin{array}{ll} \int x \cos(kx)\, dx = \frac{x}{k} \sin(kx) + \frac{1}{k^2} \cos(kx) + C \\ \int x \sin(kx)\, dx = -\frac{x}{k} \cos(kx) + \frac{1}{k^2} \sin(kx) + C \\ \int x^2 \cos(kx)\, dx = \frac{2x}{k^2}\cos(kx) + \left(\frac{x^2}{k} + \frac{2}{k^3}\right) \sin(kx) + C \\ \int x^2 \sin(kx)\, dx = \frac{2x}{k^2}\sin(kx) + \left(\frac{x^2}{k} + \frac{2}{k^3}\right) \cos(kx) + C \end{array}\right. \end{array}\right. 3) \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{x^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - u = 0 \qquad (0<x<1, t>0) \\ \begin{array}{l} u(0,t) = 0, \frac{\partial u}{\partial t}(t) = 0 \qquad (t>0)\end{array} \end{array} \right\} \begin{array}{ll} a) & \text{solu\c{c}\~ao estacion\'aria} \: V(x) \\ \begin{array}{ll} \frac{1}{x^2} V'' + V = 0 & \Rightarrow V'' - V = 0 \Rightarrow \; r^2-1=0 \Rightarrow r=\pm 1\nonumber \\ V(0) = 0, \; V'(1) = 0 & V(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-x} \\ V'(x) = c_1 e^x - c_2 e^{-x} & \begin{array}{ll} V(0): & c_1 + c_2 = 0 \quad \Rightarrow c_2 = -c_1 \\ V'(1): & c_1 e - c_2 e^{-1} = 0 \quad \Rightarrow c_2 = -c_2 e^{-1} \end{array}\end{array} \begin{array}{ll} \text{solu\c{c}\~ao estacion\'aria:} & \boxed{V(x) \equiv 0} \\ b) & U(x,t)=X(x)T(t) \\& \Rightarrow \frac{1}{x^2} T'' T + X'' T - XT = 0 \quad \Rightarrow \frac{T''}{T}=\frac{X''}{x^2 X}-\lambda \\& \begin{array}{ll} T'': & \frac{T''}{T} = 0 \quad \Rightarrow T'' - \lambda T = 0 \\ X'': & \frac{X''}{x} - \frac{\lambda}{x^2}X = 0 \quad \Rightarrow X'' + \left(\frac{\lambda}{\alpha^2}-1\right)X=0 \end{array} \end{array} \text{condi\c{c}\~oes de contorno} \quad \begin{array}{ll} u(0,t) = X(0)T(t) = 0 & \forall t \quad \Rightarrow X(0)=0 \\ \dot{u}_x(1,t) = \dot{X}(1)T(t) = 0 & \forall t \quad \Rightarrow \boxed{\dot{X}(1)=0} \end{array}\end{array}\end{array}