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Controladoria e Finanças ·
Equações Diferenciais
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111 Portal Minhas Turmas Assinale a alternativa que contém uma solução da equação x y y' + \frac{y^2}{2} = \sen x. a. y = \sqrt{\frac{A - 2 \cos x}{x}} b. y = -\sqrt{\frac{5 - 2 \cos x}{x}} c. y = \sqrt{\frac{A - 3 \cos x}{x}} d. y = \sqrt{\frac{6 - 2\sen x}{x}} e. y = \sqrt{\frac{3 + 2 \cos x}{x}} 11. y'' - y' - 6y = 0; y(0) = 1, y' (0) = -1 12. y'' + 3y' + 2y = 0; y(0) = 1, y' (0) = 0 13. y'' - 2y' + 2y = 0; y(0) = 0, y' (0) = 1 14. y'' - 2y' + 4y = 0; y(0) = 1, y' (0) = 1 15. y'' - 2y' + 4y = 0; y(0) = 2, y' (0) = 0 16. y'' - 2y' + 5y = 0; y(0) = 2, y' (0) = 1 17. y(4) - 4y'' + 6y = 0; 4y'' + y = 0; y(0) = 0, y' (0) = 1, 18. y(4) = y = 0; y(0) = 1, y' (0) = 0, y'' (0) = 1, y''' 19. y(4) - 4y = 0; y(0) =1, y' (0) = 0, y'' (0) = -2, y'' 20. y'' + ω² y = cos 2t; ω² ≠ 4; y(0) = 1, y' (0) = 0 2) Determine a Série de Fourier da Função do Item 1) 3) i) Esboce três períodos fundamentais do gráfico da função f(x) definida por f(x) = x se 0 ≤ x < 2 f(x) = 1 se −1 ≤ x < 0 e tal que f(x) = f(x + 3) para todo x. ii) Sem realizar nenhum cálculo, esboce o gráfico da função para a qual a série de Fourier da função do item 1 converge. Justifique. 4) Seja f(x) = x + 1, definida apenas para x no intervalo [0, 2] i) Esboce o gráfico de f. ii) Esboce a sua extensão ímpar de período 4. iii) Esboce a sua extensão par de período 4. 3) Considere uma corda elástica de comprimento 20 cm, cujas extremidades são mantidas fixas. A corda é colocada em movimento a partir da posi... f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 0 \leq x \leq 5, 1, & 5 < x < 15, (20 - x)/5, & 15 \leq x \leq 20. \end{cases} \nu velocidade inicial nula. Considere ainda que a tensão na corda T e a massa por unidade de comprimento p são tais que T = p. a) Escreva a equação que descreve esse problema e suas condições iniciais de contorno. b) Usando o método de separação de variáveis, encontre as duas equações diferenciais ordinárias que permitirão encontrar soluções para o problema. c) Resolva cada uma dessas condições das condições de contorno, explicitando todos os passos, inclusive e analise completo do sinal de velocidade inicial, que corresponde a um problema de valor inicial. d) Encontre as soluções fundamentais desse problema. e) Comente sobre a solução geral do problema. f) Calcule os coeficientes da série obtida no item anterior e escreva a solução particular desse problema.
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111 Portal Minhas Turmas Assinale a alternativa que contém uma solução da equação x y y' + \frac{y^2}{2} = \sen x. a. y = \sqrt{\frac{A - 2 \cos x}{x}} b. y = -\sqrt{\frac{5 - 2 \cos x}{x}} c. y = \sqrt{\frac{A - 3 \cos x}{x}} d. y = \sqrt{\frac{6 - 2\sen x}{x}} e. y = \sqrt{\frac{3 + 2 \cos x}{x}} 11. y'' - y' - 6y = 0; y(0) = 1, y' (0) = -1 12. y'' + 3y' + 2y = 0; y(0) = 1, y' (0) = 0 13. y'' - 2y' + 2y = 0; y(0) = 0, y' (0) = 1 14. y'' - 2y' + 4y = 0; y(0) = 1, y' (0) = 1 15. y'' - 2y' + 4y = 0; y(0) = 2, y' (0) = 0 16. y'' - 2y' + 5y = 0; y(0) = 2, y' (0) = 1 17. y(4) - 4y'' + 6y = 0; 4y'' + y = 0; y(0) = 0, y' (0) = 1, 18. y(4) = y = 0; y(0) = 1, y' (0) = 0, y'' (0) = 1, y''' 19. y(4) - 4y = 0; y(0) =1, y' (0) = 0, y'' (0) = -2, y'' 20. y'' + ω² y = cos 2t; ω² ≠ 4; y(0) = 1, y' (0) = 0 2) Determine a Série de Fourier da Função do Item 1) 3) i) Esboce três períodos fundamentais do gráfico da função f(x) definida por f(x) = x se 0 ≤ x < 2 f(x) = 1 se −1 ≤ x < 0 e tal que f(x) = f(x + 3) para todo x. ii) Sem realizar nenhum cálculo, esboce o gráfico da função para a qual a série de Fourier da função do item 1 converge. Justifique. 4) Seja f(x) = x + 1, definida apenas para x no intervalo [0, 2] i) Esboce o gráfico de f. ii) Esboce a sua extensão ímpar de período 4. iii) Esboce a sua extensão par de período 4. 3) Considere uma corda elástica de comprimento 20 cm, cujas extremidades são mantidas fixas. A corda é colocada em movimento a partir da posi... f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 0 \leq x \leq 5, 1, & 5 < x < 15, (20 - x)/5, & 15 \leq x \leq 20. \end{cases} \nu velocidade inicial nula. Considere ainda que a tensão na corda T e a massa por unidade de comprimento p são tais que T = p. a) Escreva a equação que descreve esse problema e suas condições iniciais de contorno. b) Usando o método de separação de variáveis, encontre as duas equações diferenciais ordinárias que permitirão encontrar soluções para o problema. c) Resolva cada uma dessas condições das condições de contorno, explicitando todos os passos, inclusive e analise completo do sinal de velocidade inicial, que corresponde a um problema de valor inicial. d) Encontre as soluções fundamentais desse problema. e) Comente sobre a solução geral do problema. f) Calcule os coeficientes da série obtida no item anterior e escreva a solução particular desse problema.