Lista 3 - Equações Diferenciais C 2021-1

GE — Lista 03 ae EDC Séries de Fourier Exercicios Exercicio 1 Considerar a funcao f : [0,7] — R definida por f(x) = xsen(x). 1. Determinar a série de cossenos de Fourier S[f](x) da fungao f(x). 2. Esbocar os graficos de f(x) e da série de cossenos de Fourier S[f](x). 3. Calcular a soma da série yon 1 1,1 1, 1 1, 4 (2n)?-1 °° 2?-1 «42-1 6-1 «82-1 102-1 122-1 1 1 1 1 1 1 = +—— — —— + —— - —— + —— + —— + - -—", 1:3 3:5 5-7 7-9 9-11 11-18 Equaco6es diferenciais parciais Exercicios Exercicio 2 Resolver o problema de valor inicial e de fronteira para a equacdo da onda u(x,t) 90% u(x,t) EDP oe * aye 0<x«<L, 0<t; CF u(0,t) = 0, O0<t; CF u(L,t) =0, O0<t; 3m CI ue,0)= f(x) =sen (a), O<x<L; 3 3 Cl us(,0) = g(x) = - 5 sen| x}, O<x<L. Exercicio 3 Resolver o problema de valor de fronteira para a equacéo de Laplace em um quadrado, a a EDP u(x, y) | OUCH) _ 9 O0<x<420, O0<y<+7; Ox? dy? CF u(0, vy) =0, O<sy<+z, CF u(z, y) = 0, O<sy<+7; 1 1 CF u(x, 0) = sen2(x) = 373 cos(2x), O<x<40; CF u(x,7) = 0, O<x<47. 1 2 Exercicio 4 Resolver o problema de valor inicial e de fronteira para a equacao da difusao du(x,t) 107u(x,t Epp #1) _ Lo ulx,t) _ 9 O<x<1, 0<t; ot 4 Ax? CF u(0,t) = 0, Oxi; CF u,(1,t) =0, Ox<t; CI u(x, 0) = f(x) = 100x(1 - x), O0<x<l. Exercicio 5 Resolver o problema de valor inicial e de fronteira para a equacaéo da difusao-conveccéo du(x,t) d7u(x,t) du(x,t ppp 24) Fu) OW) 9 geek, 0<t; Ot Ox? Ox CF u(0,t) = 0, Ox<t; CF u(L,t) =0, Ox<t; CI u(x,0) = f(x) = exp(5), O<x<L. Sugestao: Procure solucéo na forma —t/2 u(x,t) =exp (=) w(x, t). Essa transformacéo essencialmente fatora a parte da solucéo que é devida ao termo de conveccaéo —wu,,(x, t) da EDP. Note que o fator exponencial consiste de uma exponencial “viajante” que se move para a direita com velocidade 1/2. Depois de derivar de acordo com a necessidade e substituir na EDP da difusao- convecaéo, determine o problema para a funcéo w(x, t), que 6 um problema mais simples e possivelmente ja resolvido. Respostas e solucées Solucao 1 1. Como 0 objetivo é6 obter uma série de cossenos de Fourier S[f](x) para f(x), devemos estender essa funcéo da forma apropriada. A funcdo f : [0,+2] — R definida por f(x) = xsen(x) deve ser estendida ao intervalo f : [-1,+2] — R como funcaéo par e, posteriormente, deve ser estendida a toda a reta real f : RR como funcdo 27-periddica. Dessa forma, a série de Fourier S[f](x) da funcao f(x) assim estendida 6 uma série de Fourier de cossenos. Os coeficientes de Euler-Fourier podem ser calculados pelas formulas alternativas. Para 0 coeficiente ag temos 2 +1 ao= -{ xsen(x)dx I JO 9 ue = —(x(—cos(x)) — 1(- sen(x))) | a 0 2 = —[-zcos(z)] 1 =2. 3 Para os demais coeficientes a, temos 2 +70 an= =| xsen(x)cos(nx)dx JO 1 +70 = “| x[2 cos(nx) sen(x)] dx JO 1 +70 = 7 I x[sen((n + 1)x)—sen((n — 1)x)]dx 0 _1 |: (- cos((n + 1)x) ; cos((n — 22) _ (- sen((n+1)x) sen((n— 2) " ae n+l n-1 (n+1)2 (n —1)2 O! A andlise deve ser dividida em dois casos. No caso em que n # 1 temos 1 | meos((n+1)z) mcos((n — | Ay = — | -—_—_—_—_ + — 1 n+1 n-1 (-1)"t1 (-1)"71 = —-—__ + ——_. n+1 n-1 1 1 soar sy (D n-1 n+l _ Q(-1)?-1 ~ (n-1(n+1) _ Q(-1)?-1 ne. No caso em que n = 1 temos 2 +70 a,= -{ xsen(x)cos(x)dx JO 1 +70 = -[ xsen(2x) dx JO 1 | ( cont?) ( send) | " =— 1X | -———_]-|-— 1 2 92 0 _ 1 || 7 2 _i =-5: Consequentemente, a série de cossenos de Fourier da funcao f(x) = xsen(x) é SUFI) <1 — Leos dey + Fe costnsy x)= 3 008 x Lappy nx =1- 1 oos(1 )=2( 5 cost )- 1 os )+ 1 cos )- oss )+ ] Tg COSLISE AL gay COMMIT gx COMORIS ga ONT 52 OSLON Outra apresentacaéo possivel para a série é 1 +00 9(_] n-1 SIfl(«) =1- 5 cos(1x) + X an cos(nx) =1- 1 cos(1 )-2/ 1 cos(2x) — 1 cos(3x) + 1 cos(4x) — 1 cos(5x) + ] Se nee TT eee a ee 5 Oe Be 2. Graficos de f(x) e de S[f](x). 4 3. Basta usar 0 teorema sobre a convergéncia das séries de Fourier com o valor x = 7/2 (ponto de continui- dade da fungaéo) para obter 1 1 1 1 1 1 —=1-2)-—~— + — - =~ + —— - —— + =: 2 1:3 3:5 5-7 7-9 9-11 1 2 2 2 2 2 Yo 2=l4+4——-—+>S - Se t+ 2 1:3 3-5 5-7 7-9 9-11 1 2 2 2 2 2 Yo 2-l=+——-——+-——-—— + - 2 1:3 3-5 5-7 7-9 9-11 m-2 1 1 1 1 1 — = + — - —— + —— - —— + —:--. 4 1:3 3-5 5-7 7-9 9-11 Portanto, yon 1 1,1 1,1 1. 4 (2n)2-1 °° 22-1 «42-1 62-1 82-1 102-1 122-1 1 1 1 1 1 1 = +—— —- —— + —— - + + — + 1:3 3-5 5-7 7-9 9-11 11-18 _a-2 = Solucao 2 A solucdo formal do problema é ~~ nt nna nna u(x,t)= sen (a (+an cos(“—t} +b, sen(——e}). A escolha dos coeficientes a,,b;, € N é descrita a seguir. nit nna n an sen(—-«] (a1 cos(“#)} n=0 ag= O 0 n=1 ajy= O 0 n=2 ag= 0 0 3 +1 +1 (= J[s1 (= 4}] = = n — ——— n a3 se L* cos L n2=4 an= 0 0 nit nna n bn sen(——«] (>. sen(——#)] n=1 b,;= 0 0 n=2 bo= 0 0 sna L 3m 31a = =4+———=41 +1sen|—x]|+1sen|—— n=3 b3=+ L 30a + + sen( Za} 4 sen ZL ‘| n2=4 bn= 0 0 Consequentemente, a solucéo do problema de valor inicial e de fronteira para a equacdo da onda é (x.t)=41 (= [Fee +1 (= ] [= 4| u(x,t) = +1sen| —x] cos | — sen | —x]sen|—t]. L L L L Solucao 3_ A solucdéo formal desse problema é (x,y) = too nn h nT ( ) u(x, y = Yan sen (—"a}sen (— y m)| +00 = } ansen(nx)senh(n(y - 7). n=1 5 Essa funcéo é solucado da equacao do potencial e também das trés condicées de fronteira homogéneas. A unica condicao de fronteira nao homogénea é f (x) = u(x, 0) +00 = } a, sen(nx)senh(n(0-z)) n=1 +00 = }) -an sen(nx)senh(n7). n=1 Isso significa que os coeficientes a, € R para n € N multiplicados por —senh(nz) sao exatamente os coeficientes da série de Fourier de senos da funcao f : [(0,+2] — R. Sendo assim, estendemos a fungao f : [—2,+2] — R como funcaéo impar e, em seguida, estendemos essa nova funcdo a4 reta real como funcao periddica de periodo 2a. Portanto, a série de Fourier da fungéo f assim estendida possui apenas os termos em senos pois 6 uma funcéo impar e periddica e os coeficientes dos senos sao dados pelas formulas 2 +7 —a, senh(nz) = =| f(x)sen(nx)dx (neéeN). JO Os coeficientes da série de senos de Fourier da funcao f(x) = sen(x) = (1/2) — (1/2) cos(2x) estendida conforme a descricéo acima s&o 2t7(1 1 bn = -[ (5 -= cos(2)] sen(nx)dx nt Jo 2 2 — 8 ~ an(n2 —4)" Finalmente, a solucdo do problema 6 too 8 sen(nx) senh(n(z — y)) u(x, ¥) = » oO —=mmm ms het an(n*—4) senh(n7z) Solucao 4_ A solucdo formal é +00 22 —nn u(x,t) = v0 > an cos(nmx)exp (4 . 2° 4 O coeficiente ag é dado por 9 +1 ag= if 100x(1 -x)dx 1Jo _ 100 = 37 Os demais coeficientes a, para n € N sao dados por 2 +1 an= al 100x(1 — x) cos(nax) dx 0 200[1 + (-1)” _2001+EDT Gy ey mn Logo, a solucdéo é 50% 200[1+(-1)"] n? u(x,t) = 37 2X — a2 cos(n7x)exp (- 1 | . Observamos que a solucao estacionaria, isto é, o valor limite da solucao quando ¢ tende ao infinito, é — 50 + 200[1+(-1)"] n?n2 \ 50 di, uest)= fim > — Fe Sag codnmden(—" Te] = Solucao 5 A solucdo do problema é 4 (x- = to 61 ,t) = — exp|-——— ] 1) ——— sen((2n - 1)ax). u(x,t) = exp| 5 X Gn-D sen((2n — 1)x)