Aula 17 - Soluções em Séries de Potências Eq de Legendre Hermite e Chebyshev

MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Aula 17: Solu¸c˜oes em s´eries de potˆencias: Equa¸c˜oes de Legendre, de Hermite e de Chebyshev Ronaldo Assun¸c˜ao, UFMG/ICEx/DMat — BH, 02/05/2023. MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C 1 | 57 Sum´ario Teorema de existˆencia e unicidade Exemplos Exerc´ıcios MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Teorema de existˆencia e unicidade 2 | 57 Teorema de existˆencia e unicidade Equacoes Diferenciais C Teorema de existéncia e unicidade Teorema Teorema Consideremos o problema de valores iniciais ae + p(x)y'(x) + a(x)y(x) =0 n y(x0) = yo; y'(x0) = Yo, em que p(x), q(x) sdo fungées analiticas no ponto xo com raio de convergéncia r € Ry. 3 | 57 MAT040 — Equacoes Diferenciais C Equacoes Diferenciais C Teorema de existéncia e unicidade Teorema (cont.) Teorema Entdo existe e é unica a solucdo do problema de valor inicial (1) com desenvolvimento em série de poténcias +00 y(x) = S 0 en(x = x0)”, (2) n=0 convergente para |x — xo| < r, isto é, a solucdo é analitica em xX = xXQ. 4 | 57 MAT040 — Equacoes Diferenciais C Equacoes Diferenciais C Teorema de existéncia e unicidade Propriedades das funcées analiticas | Uma propriedade extremamente importante das funcoes analiticas é ter derivadas de todas as ordens em |x — xo| < r que podem ser calculadas derivando-se a série termo a termo. Por exemplo, se y(x) for analitica em |x — xo| < r com série de poténcias +00 y(x) = Do cnx — x0)’ (3) n=0 5 | 57 MAT040 — Equacoes Diferenciais C Equacoes Diferenciais C Teorema de existéncia e unicidade Propriedades das fung6es analiticas Il e sua derivada também € analitica em |x — xo| < r com série de poténcias +00 / ak y'(x) = S5 nen(x — x0)’ (4) n=1 e sua derivada segunda também é analitica em |x — xo| < r com série de poténcias +00 " —2 y"(x) = D7 n(n — 1en(x — x0)’ (5) n=2 e assim sucessivamente. 6 | 57 MAT040 — Equacoes Diferenciais C MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exemplos 7 | 57 Exemplos MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exemplos 8 | 57 Exemplo I Exemplo Determinar a solu¸c˜ao em s´erie de potˆencias, em torno de x0 = 0, da equa¸c˜ao diferencial y′′(x) + 3x2y′(x) − xy(x) = 0. Equacoes Diferenciais C Exemplos Exemplo II Solucgdo. Escrevemos a soluc¢ao formal da EDO como uma série de poténcias com centro em xo = 0, +00 y(x) = S> anx”. n=0 O calculo formal das derivadas dessa fun¢do pode ser feito diretamente por derivacao termo a termo, +00 y'(x) = S> na,x" + n=1 +00 " aa y"(x) = Do n(n Lanx?®. 9 | 57 n=2 MAT040 — Equacoes Diferenciais C Equacoes Diferenciais C Exemplos Exemplo III Logo, y" (x) + 3x7y'(x) — x¥(x) +00 +00 +00 — S> n(n — 1)anx"-? + 3x? S> nanx” + — x S> anx” n=2 n=1 n=0 +00 +00 +00 = S> n(n — 1)anx"? + S> 3nayxtt — S> anx™tt n=2 n=1 n=0 +00 +00 +00 = So (n + 2)(n+ 1)anyox" + S> 3(n — 1)ap_1x" — S> an—1Xx" n=0 n=2 n=1 10 | 57 MAT040 — Equacoes Diferenciais C Equacoes Diferenciais C Exemplos Exemplo IV Prosseguindo, y""(x) + 3x7y'(x) — xy(x) +00 = (2)(1)aox® + (3)(2)agx? + So(m + 2)(m + Lan 40x" n=2 +00 +00 + S> 3(n — 1)ap_yx” — apx! — S> an_1x" n=2 n=2 = (2)(1)ax° + (3)(2)a3x* — apx? +00 + So [(n + 2)(n + 1)anz2 + 3( = L)an—1 — an—1q4" | 57 n=2 MAT040 — Equacoes Diferenciais C Equacoes Diferenciais C Exemplos Exemplo V Ou ainda y" (x) + 3x?y'(x) — xy(x) = 2ayx° + [(3)(2).a3 a ao]x? +00 + So[(n + 2)( + Vang + (3(9 = 1) = Lan-a)x” n=2 =0. 12 | 57 MAT040 — Equacoes Diferenciais C MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exemplos 13 | 57 Exemplo VI Logo, (2)(1)a2 = 0 (3)(2)a3 − a0 = 0 (n + 2)(n + 1)an+2 + (3(n − 1) − 1)an−1 = 0. Ap´os simplificac¸˜ao, obtemos a rela¸c˜ao de recorrˆencia, an+2 = [3(n − 1) − 1] (n + 2)(n + 1) an−1. (6) MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exemplos 14 | 57 Exemplo VII Para os primeiros coeficientes, deduzimos n = 0 : a2 = 0 n = 1 : a3 = 1 2 · 3 a0 n = 2 : a4 = −2 3 · 4 a1 n = 3 : a5 = 0 n = 4 : a6 = −8 2 · 3 · 5 · 6 a0 n = 5 : a7 = −11 3 · 4 · 6 · 7 a1 MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exemplos 15 | 57 Exemplo VIII Mais ainda, n = 6 : a8 = 0 n = 7 : a9 = −8 · 17 2 · 3 · 5 · 6 · 8 · 9 a0 n = 8 : a10 = −2 · 11 · 20 3 · 4 · 6 · 7 · 9 · 10 a1. MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exemplos 16 | 57 Exemplo IX Em geral, a3n = (−1)n+1 8 · 17 · · · (9n − 1) 2 · 3 · 5 · 6 · 8 · 9 · · · (3n − 1)(3n) a0 (7) a3n+1 = (−1)n 2 · 11 · 20 · · · (9n − 7) 3 · 4 · 6 · 7 · 9 · 10 · · · (3n)(3n + 1) a1 (8) a3n+2 = 0. (9) Equacoes Diferenciais C Exemplos Exemplo X Se selecionamos ap = 1 € a, = 0 obtemos a solucdo 1 8 8-17 —14——,x3_ —__>__ ,64 __—i=*I yolx) = 1+ 573% 573.5.6% +2.3.5.6:8-0% + (10) +00 n+1 (—1)"*18-17---(9n—1) 3 =1 =“ 11 + 2053.5 .6:8-9--(8n = 1)(3n) * (11) 17 | 57 MAT040 — Equacoes Diferenciais C Equacoes Diferenciais C Exemplos Exemplo XI Se selecionamos ag = 0 € a; = 1 obtemos a solucdo _ 2 4 2-11 7 2-11-20 10 NOV=X- SGX +34 6.7% +3.4.6-7-9- 10% * (12) +00 (—1)"2-11-20---(9n—7) 3n41 _ ee ee ee 13 X+ 1 374.6:7-9-10---Bn)(3n+1) * (13) 18 | 57 MAT040 — Equacoes Diferenciais C Equacoes Diferenciais C Exemplos Exemplo XIl A solucdao formal em série de poténcias, candidata para a verdadeira solucdo da EDO y" (x) + 3x*y'(x) — xy(x) = 0, é y(x) = coyo(x) + c1yi(x) +00 n+1 (—1)"t18-17---(9n—1) ») =q(1¢ 57 8 Ont) _ ( 4 2:3-5-6-8-9---(3n—1)(3n) +00 (—1)"(—1)2-11-20---(9n — 7) sr) + cy (. + S> aT aS TE nT EPS EEN CS ; “1 3-4-6-7-9-10---(3n)(3n + 1) 19 |47 MAT040 — Equacoes Diferenciais C MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exemplos 20 | 57 Exemplo XIII Para confirmar que essa s´erie de potˆencias ´e de fato a soluc¸˜ao da EDO devemos calcular os raios de convergˆencia de cada uma das s´eries componentes, que pode ser obtido atrav´es do teste da raz˜ao. Nesse teste, escrevemos um quociente (a raz˜ao) com o valor absoluto do termo gen´erico da s´erie no denominador e o valor absoluto do termo gen´erico subsequente no numerador; em seguida, avaliamos o limite desse quociente quando o termo gen´erico tende a infinito. Equacoes Diferenciais C Exemplos Exemplo XIV Para a primeira série, (—1)("+1)+1g .17---(9(n +1) — 1) 93(7+1) 2-3-5-6-8-9---(3(n+ 1) —1)(3(n4+ 1)) (—1)"*18-17---(9n—1) ¥3n 2-3-5-6-8-9---(3n— 1)(3n) = --- {exercicio} (9n + 8)|x|> n—-+00 = =~ — 0 (V R). (8n + 2)(3n +3) (Vx € R) Logo, o raio de convergéncia da primeira série é infinito, ou seja, essa série converge para todo nimero real x € R. 21 | 57 MAT040 — Equacoes Diferenciais C Equacoes Diferenciais C Exemplos Exemplo XV Analogamente, para a segunda série, (—1)"t1(—1)2-11- 20---(9(n + 1) —7) x3(n+1)+1 3-4-6-7-9-10---(3(n+ 1))(3(n + 1) +1) | (—1)"(—1)2-11-20---(9n—7) xan 3-4-6-7-9-10---(3n)(3n+4 1) = --- {exercicio} (9n + 2)|x|3 n—-+oo = 4 __ 0 (Vx ER). (3n + 3)(3n + 4) (Vx € R) Logo, o raio de convergéncia da segunda série é infinito, ou seja, essa série converge para todo nimero real x € R. 22 |57 MAT040 — Equacoes Diferenciais C MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exemplos 23 | 57 Exemplo XVI Portanto, cada uma das s´eries de potˆencias converge absolutamente para todo n´umero real x ∈ R e isso justifica todos os c´alculos realizados para a obtenc¸˜ao da s´erie formal acima. Isso significa que a s´erie obtida ´e, de fato, soluc¸˜ao da EDO. Equacoes Diferenciais C Exemplos Exemplo XVII Em resumo, a solucdo em série de poténcias para a EDO y"(x) + 3x°y'(x) — xy(x) = 0 (14) é y(x) = coyo(x) + ciyi(x) +00 n+1 (—1)"+18-17---(9n—1) ») =a (1+ 57 BT On) _ ( 4 2:3-5-6-8-9---(3n—1)(3n) +00 (—1)"(-1)2-11-20---(9n-7) 3,44 ta (x aes ’ ; 24 | 57 valida para x € R. MAT040 — Equacoes Diferenciais C MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exemplos 25 | 57 Exemplo I Exemplo Determinar a solu¸c˜ao em s´erie de potˆencias, em torno de x0 = 0, da equa¸c˜ao diferencial y′′(x) + xy′(x) + 3y(x) = 0 MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exemplos 26 | 57 Exemplo II Solu¸c˜ao. Escrevemos as express˜oes por extenso, y(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 + · · · · · · + anxn + an+1xn+1 + an+2xn+2 + · · · y′(x) = a1 + 2a2x1 + 3a3x2 + 4a4x3 + 5a5x4 + · · · · · · + nanxn−1 + (n + 1)an+1xn + (n + 2)an+2xn+1 + · · · y′′(x) = 2a2 + 6a3x1 + 12a4x2 + 20a5x3 + · · · · · · + (n)(n − 1)anxn−2 + (n + 1)(n)an+1xn−1 + (n + 2)(n + 1)an+2xn + · · · MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exemplos 27 | 57 Exemplo III Substitu´ımos na equac¸˜ao diferencial y′′(x) + xy′(x) + 3y(x) = 0, y′′(x) = 2a2 + 6a3x1 + 12a4x2 + 20a5x3 + · · · · · · + (n)(n − 1)anxn−2 + (n + 1)(n)an+1xn−1 + (n + 2)(n + 1)an+2xn + · · · xy′(x) = a1x + 2a2x2 + 3a3x3 + 4a4x4 + 5a5x4 + · · · · · · + nanxn + (n + 1)an+1xn+1 + (n + 2)an+2xn+2 + · · · 3y(x) = 3a0 + 3a1x1 + 3a2x2 + 3a3x3 + 3a4x4 + 3a5x5 + · · · · · · + 3anxn + 3an+1xn+1 + 3an+2xn+2 + · · · MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exemplos 28 | 57 Exemplo IV Somamos termo a termo, obtemos y′′(x) + xy′(x) + 3y(x) = (3a0 + 2a2) + (4a1 + 6a3)x + (5a2 + 12a4)x2 + (6a3 + 20a5)x3 + (7a4 + 30a6)x4 + (8a5 + 42a7)x5 + · · · · · · + [(n + 3)an + (n + 2)(n + 1)an+2]xn + · · · = 0. Como a s´erie acima representa a func¸˜ao nula, todos os coeficientes s˜ao iguais a zero. MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exemplos 29 | 57 Exemplo V Obtemos as relac¸˜oes 3a0 + 2a2 = 0 4a1 + 6a3 = 0 5a2 + 12a4 = 0 6a3 + 20a5 = 0 7a4 + 30a6 = 0 8a5 + 42a7 = 0 e, em geral, (n + 3)an + (n + 2)(n + 1)an+2 = 0. MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exemplos 30 | 57 Exemplo VI Dessa forma, a2 = −3 2a0 a3 = −2 3a1 a4 = +5 8a0 a5 = +1 5a1 a6 = − 7 48a0 a7 = − 4 105a1 ... ... a2n = (−1)n (5) (2n + 1) a0 (1) (2) (4) . . . (2n − 1) · 2n a2n+1 = (−1)n (6) (n + 1) a1 (2) (3) (5) . . . n (2n + 1) Equacoes Diferenciais C Exemplos Exemplo VII Em geral, n= EP On+) 4 _0)"(6) (0 +) ""~ (1) (2) (4)...(2n—1)- 2n mt (2) (3) (5)... n(2n +1) A solucao formal é 3x2 5x4 (—1)" (5) (2n + 1) On ; y(x) = a9 (2-4 (1) (2) (4)...(2n—1)-2n~ 2x? x? (—1)"(6)(9+1) ong ta(x- rE pe +... 31 | 57 MAT040 — Equacoes Diferenciais C MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exemplos 32 | 57 Exemplo: Equa¸c˜ao diferencial de Legendre I Exemplo Determinar a solu¸c˜ao em s´erie de potˆencias, em torno de x0 = 0, da equa¸c˜ao diferencial de Legendre (1 − x2)y′′(x) − 2xy′(x) + a(a + 1)y(x) = 0. Equacoes Diferenciais C Exemplos Exemplo: Equagao diferencial de Legendre II Solucdo. Dividindo-se a equacao por 1 — x? obtemos 2x a(a+1) " / — y (x) — Tx (x) + Toe YO) = 0. As funcdes 2x a(a+1) p(x) =— To a(x) = Tox (15) sao analiticas em |x| < 1. De fato, sabemos que se |z| < 1, a série geométrica implica ees Top =" 33 (59) —_— Zz _ n=0 MAT040 — Equacoes Diferenciais C Equacoes Diferenciais C Exemplos Exemplo: Equacao diferencial de Legendre III Se substituimos z = x* obtemos 1 s , —_ = xen (17) 2 9 1-x = valida para |x| < 1. Consequentemente, 1 +00 +00 p(x) = —2x iow —2x S> x?n — S> —2x2nt1 (18) x n=0 n=0 34 | 57 MAT040 — Equacoes Diferenciais C Equacoes Diferenciais C Exemplos Exemplo: Equagao diferencial de Legendre IV e também 1 +00 +00 q(x) = a(a +1) 73 = alat 1) ax = » a(a + 1)x?” n=0 n=0 (19) sao fung¢ées analiticas em |x| < 1. Pelo Teorema 3 podemos escrever a soluc¢do formal da EDO como uma série de poténcias com centro em xo = 0, +00 y(x) = S> CnX". n=0 35 | 57 MAT040 — Equacoes Diferenciais C Equacoes Diferenciais C Exemplos Exemplo: Equagao diferencial de Legendre V O calculo formal das derivadas dessa fun¢do pode ser feito diretamente por derivacao termo a termo, +00 y'(x) = S> ncnx" 1 n=1 +00 y"(x) = S> n(n — 1)cpx"?. n=2 36 | 57 MAT040 — Equacoes Diferenciais C Equacoes Diferenciais C Exemplos Exemplo: Equagao diferencial de Legendre VI Logo, (1 — x?)y"(x) — 2xy/(x) + a(a + 1y(x) +00 = (1— x?) S> n(n — 1)c,x"~? n=2 +00 +00 — 2x S> nenx” | + a(a+1) S> CnX" n=1 n=0 +00 +00 = S> n(n — 1)c_x"~* — x? S> n(n — 1)ce,x"~? n=2 n=2 +00 +00 — 2x S> ncnx"” | + a(a+1) S> cnx" 37 | 57 n=1 n=0 Equacoes Diferenciais C Exemplos Exemplo: Equagao diferencial de Legendre VII Prosseguindo, (1 — x?)y"(x) — 2xy!(x) + a(a + 1)y(x) +00 +00 = S> n(n — 1)cpx"? — S> n(n — 1)cp)x” n=2 n=2 +00 +00 — S> 2NCp»x” + S> a(a+1)cpx" n=1 n=0 +00 +00 = So (n + 2)(n + 1)cppox" — S> n(n — 1)cp)x” n=0 n=2 +00 +00 = S> 2NCpx” + S> a(a+1)cpx" 38 | 57 n=1 n=0 MAT040 — Equacoes Diferenciais C Equacoes Diferenciais C Exemplos Exemplo: Equagao diferencial de Legendre VIII Dessa forma, (1 — x?)y"(x) — 2xy/(x) + a(a + 1y(x) +00 = (2)(1)cax° + (3)(2)egx* + So (n+ 2)(0 + 1) cny2x" n=2 +00 — S> n(n — 1)cpx” n=2 +00 — (2)(1)qx? — S> 2NCp»x” n=2 +00 + a(a+1)cox® + a(at+ 1)qx? + S> a(a+1)cn89 | 57 n=2 MAT040 — Equacoes Diferenciais C Equacoes Diferenciais C Exemplos Exemplo: Equacao diferencial de Legendre IX Finalmente, (1 — x*)y""(x) — 2xy’(x) + a(a + Ly (x) = [(2)(1)c2 + a(a + 1)co]x® + [(3)(2)e3 — (2)(1)ar + a(a + L)ci]x? +00 + So[(n + 2)(n+ 1)cenp2 — n(n — 1)cp — 2ncy + a(a + 1) cq] x” n=2 = [(2)(1)c2 + a(a t+ 1)co]x° + [(3)(2)c3 — (2)(1)ar + a(a + 1)qi]x? +00 + So [(n + 2)(n+ 1)cn42 + (at+ n+ 1)(a— n)cq|x” n=2 = 0. 40 | 57 MAT040 — Equacoes Diferenciais C MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exemplos 41 | 57 Exemplo: Equa¸c˜ao diferencial de Legendre X Logo, (2)(1)c2 + a(a + 1)c0 = 0 (3)(2)c3 + [−(2)(1) + a(a + 1)]c1 = 0 (n + 2)(n + 1)cn+2 + (a + n + 1)(a − n)cn = 0. Ap´os simplificac¸˜ao, obtemos a rela¸c˜ao de recorrˆencia, cn+2 = − (a + n + 1)(a − n) (n + 2)(n + 1) cn. (20) MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exemplos 42 | 57 Exemplo: Equa¸c˜ao diferencial de Legendre XI Para os primeiros coeficientes, deduzimos n = 0 : c2 = − a(a + 1) 2 c0 n = 1 : c3 = − (a + 2)(a − 1) 2 · 3 c1 n = 2 : c4 = − (a + 3)(a − 2) 3 · 4 c2 = (a + 3)(a + 1)(a)(a − 2) 2 · 3 · 4 c0 n = 3 : c5 = − (a + 4)(a − 3) 4 · 5 c3 = (a + 4)(a + 2)(a − 1)(a − 3) 2 · 3 · 4 · 5 c1 MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exemplos 43 | 57 Exemplo: Equa¸c˜ao diferencial de Legendre XII Mais ainda, n = 4 : c6 = − a + 5)(a − 4) 5 · 6 c4 = − (a + 5)(a + 3)(a + 1)(a)(a − 2)(a − 4) 2 · 3 · 4 · 5 · 6 c0 n = 5 : c7 = − (a + 6)(a − 5) 6 · 7 c5 = − (a + 6)(a + 4)(a + 2)(a − 1)(a − 3)(a − 5) 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 c1 Equacoes Diferenciais C Exemplos Exemplo: Equagao diferencial de Legendre XIII Por inducao, os coeficientes de indices pares sao C2m (ee) ---(a+1)(a)(a— 2)---(a—2m+4 2) = (-1)°? 42S 21 (-1) Omi @ (21) e os coeficientes de indices impares sao C2m+1 (a+2m)(a+ 2m -—2)--- m +++ (a+ 2)(a—1)(a—3)---(a—2m-+1) =) (2m +1)! i” a (24 MAT040 — Equacoes Diferenciais C MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exemplos 45 | 57 Exemplo: Equa¸c˜ao diferencial de Legendre XIV A solu¸c˜ao formal em s´erie de potˆencias, candidata para a verdadeira soluc¸˜ao da EDO de Legendre (1 − x2)y′′(x) − 2xy′(x) + a(a + 1)y(x) = 0, Equacoes Diferenciais C Exemplos Exemplo: Equagao diferencial de Legendre XV é y(x) = coyo(x) + ayi(x) {Ore ROe ab ve ---(a+1)(a)(a—2)---(a-2m+2) = co | 1+ SS =“? | , (2m)! (eee De aie -+-(a+2)(a—1)(a—3)---(a-2m+1)f 4, a ; r » — (Qm+o”™~—SSCit valida para |x| < 1. A escolha dos coeficientes co, c, € R é arbitraria. 46 | 57 MAT040 — Equacoes Diferenciais C MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exemplos 47 | 57 Exemplo: Equa¸c˜ao diferencial de Legendre XVI Se selecionamos c0 = 1 e c1 = 0 obtemos a soluc¸˜ao y0(x) tal que y0(0) = 1 y′ 0(0) = 0. Similarmente, se selecionamos c0 = 0 e c1 = 1 obtemos a soluc¸˜ao y1(x) tal que y1(0) = 0 y′ 1(0) = 1. Essas duas soluc¸˜oes constituem um conjunto de soluc¸˜oes fundamentais pois w[y0, y1](0) = 1 ̸= 0 ⇒ w[y0, y1](x) ̸= 0 (|x| < 1). MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exemplos 48 | 57 Exemplo: Equa¸c˜ao diferencial de Legendre XVII Retornamos agora `a relac¸˜ao de recorrˆencia, cn+2 = − (a + n + 1)(a − n) (n + 2)(n + 1) cn. (23) Observamos que se a = 2l para l ∈ N ∪ {0} a soluc¸˜ao y0(x) ter´a apenas um n´umero finito de termos n˜ao nulos, ou seja, y0(x) ser´a um polinˆomio contendo somente potˆencias pares de x. Por exemplo, a = 0 y0(x) = 1 a = 2 y0(x) = 1 − 3x2 a = 4 y0(x) = 1 − 10x2 + 35 3 x4. MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exemplos 49 | 57 Exemplo: Equa¸c˜ao diferencial de Legendre XVIII Nesses casos, a segunda soluc¸˜ao y1(x) n˜ao ´e um polinˆomio porque nenhum de seus coeficientes na s´erie se anula. Uma situac¸˜ao an´aloga ocorre quando a = 2l + 1 para l ∈ N ∪ {0}; nesse caso a soluc¸˜ao y1(x) ter´a apenas um n´umero finito de termos n˜ao nulos, ou seja, y1(x) ser´a um polinˆomio contendo somente potˆencias ´ımpares de x . Por exemplo, a = 1 y1(x) = x a = 3 y1(x) = x − 5 3 x3 a = 5 y1(x) = x − 14 3 x3 + 21 5 x5. MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exemplos 50 | 57 Exemplo: Equa¸c˜ao diferencial de Legendre XIX Nesses casos, a primeira soluc¸˜ao y0(x) n˜ao ´e um polonˆomio porque nenhum de seus coeficientes na s´erie se anula. MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exerc´ıcios 51 | 57 Exerc´ıcios MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exerc´ıcios 52 | 57 Exerc´ıcio I Exerc´ıcio Determinar a solu¸c˜ao em s´erie de potˆencias, em torno de x0 = 0, da equa¸c˜ao diferencial y′′(x) − y(x) = 0. Equacoes Diferenciais C Exerctcios Exercicio II Resposta: A relacao de recorréncia é (24) an41. = ————— 4 e duas solu¢des linearmente independentes sao +00 1 D yo(x) =+ 4 —— x*" = cosh(x) (25) d (2n)! e +00 1 one _— n+1 _ yi(x) = +2, Gnti™” = senh(x), (26) 53 | 57 validas para x € R. MAT040 — Equacoes Diferenciais C MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exerc´ıcios 54 | 57 Exerc´ıcio I Exerc´ıcio Determinar a solu¸c˜ao em s´erie de potˆencias, em torno de x0 = 0, da equa¸c˜ao diferencial y′′(x) + 2xy′(x) + y(x) = 0. Equacoes Diferenciais C Exerctcios Exercicio II Resposta: A relacao de recorréncia é (2n+ 1) = — 27 ant =~ 2) + 1) (27) e duas solu¢des linearmente independentes sao x2 is 5-9---(4k — 3) = jkr 7 NE dV 2k 28 =) e ( ) + jet k= YD) 2k+1 (29) x)=x —1)*—_—_—_—__Y_—— x ; o rat (2k + 1)! 55 | 57 validas para x € R. MAT040 — Equacoes Diferenciais C MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exerc´ıcios 56 | 57 Exerc´ıcio: Equa¸c˜ao diferencial de Hermite I Exerc´ıcio Determinar a solu¸c˜ao em s´erie de potˆencias, em torno de x0 = 0, da equa¸c˜ao diferencial de Hermite y′′(x) − 2xy′(x) + 2ay(x) = 0 em que a ∈ R ´e uma constante. 1. Determine duas solu¸c˜oes linearmente independentes em x ∈ R. 2. Mostre que, no caso em que a = n ´e um n´umero natural, existe uma solu¸c˜ao polinomial de grau n, denominadas polinˆomios de Hermite. MAT040 — Equac¸˜oes Diferenciais C Equa¸c˜oes Diferenciais C Exerc´ıcios 57 | 57 Exerc´ıcio: Equa¸c˜ao diferencial de Chebyshev I Exerc´ıcio Determinar a solu¸c˜ao em s´erie de potˆencias, em torno de x0 = 0, da equa¸c˜ao diferencial de Chebyshev (1 − x2)y′′(x) − xy′(x) + a2y(x) = 0 em que a ∈ R ´e uma constante. 1. Determine duas solu¸c˜oes linearmente independentes em |x| < 1. 2. Mostre que, no caso em que a = n ´e um n´umero natural, existe uma solu¸c˜ao polinomial de grau n, denominada polinˆomio de Chebyshev.