Lista - Equações Diferenciais - 2024-1

Questões Questão 1 [1in-1]. Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial \( \frac{1}{2} \frac{dy}{dt} + \frac{3}{2} t y = t e^{-3t} \) ? \(y(t) = \frac{t^2}{2} e^{-3t} + c e^{-3t}\). □ (a) \( y(t) = \frac{t^2}{2} e^{-3t} + c e^{-3t} \). □ (b) \( y(t) = \frac{2}{3t} e^{-3t} + \frac{16}{3 \times 27t^2} \frac{8}{9} e^{-3/2} + c t \). □ (c) \( y(t) = \frac{2}{3} e^{-3t} - \frac{e^{3/2} c}{9t^2} + e^{-3t} \). □ (d) \( y(t) = \frac{t^2}{2} e^{-3t} + c \). □ (e) \( y(t) = \frac{2}{3} e^{-3t} c e^{-3/2} + \frac{e^{-3t}}{t^2} \). □ (f) \( y(t) = \frac{e^{-3t}}{2} \). Questão 2 [1in-2]. Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial \( \frac{1}{2} \frac{dy}{dt} + \frac{3}{2} t y = t e^{-3t} \) ? □ (a) \( y(t) = \frac{t^2}{2} e^{-3t} + c \). □ (b) \( y(t) = \frac{2}{3t} e^{-3t} + \frac{16}{3 \times 27} \frac{8}{9} e^{-3t} + c e^{-3/2} t \). □ (c) \( y(t) = \frac{t^2}{2} e^{-3t} + c e^{-3t} \). □ (d) \( y(t) = \frac{t^2}{2} e^{-3t} + c \). □ (e) \( y(t) = \frac{2}{3} e^{-3t} c e^{-3/2} + \frac{e^{-3t}}{t^2} \). □ (f) \( y(t) = \frac{e^{-3t}}{2} e^{-3t} \). Questão 3 [qua-1]. Considere a solução do problema de valor inicial \( \frac{dy}{dt} = - (y^2 - ay)(y^2 - a^2), \) para \( a > 10^4, \) \( y(t_0) = y_0. \) Podemos afirmar que ◼ Se \( −a < y_0 < a, \) então a solução se aproxima de 0, quando \( t \rightarrow +\infty \). Se \( y_0 < −a, \) então \(|y(t)| \rightarrow +\infty, \) quando t cresce. Se \( y_0 > a, \) então a solução se aproxima de a, quando \( t \rightarrow +\infty \). Catalog Questão 4 [qua-1]. Considere a solução do problema de valor inicial \{ \frac{dy}{dt} = -(y^2 + ay)(y^2 - 2ay + a^2), \) para \( 0 < a < 10^{-4}, \) \( y(t_0) = y_0. \} Podemos afirmar que ◼ Se \( −a < y_0 < a, \) então a solução se aproxima de 0, quando \( t \rightarrow +\infty \). Se \( y_0 < −a, \) então \(|y(t)| \rightarrow +\infty. \) Se \( y_0 > a, \) então a solução se aproxima de a, quando \( t \rightarrow +\infty \). Catalog Questão 5 [sepa-1]. Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial \( \frac{dy}{dt} = \frac{\sqrt{7} (2t − 1)}{\sqrt{\sqrt{\cdot} − 1} (4\sqrt{3} − 1)} = 1 \) ? Observação: \( \sqrt[4]{3} \approx 2.2, \sqrt{2} \approx 1.6, \sqrt{4 / 76} \approx 2.8, \sqrt[10]{3} \approx 1.8 \). □ (a) \( − (1 − \sqrt[4]{3} − 1 − \sqrt{5} \). □ (b) \(c − 1, −1 − \sqrt{2 \pi}. □ (c) \( − (1 − \sqrt[4]{7} − 1 + \sqrt{5} \). Questão 6 [sepa-2]. Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial \( \frac{dy}{dt} = \frac{\sqrt{7} (2t − 1)}{\sqrt{\sqrt{\cdot} − 1} (4\sqrt{3} − 1)} = 1 \) ? Observação: \( \sqrt[4]{3} \approx 2.2, \sqrt{2} \approx 1.6, \sqrt{4 / 76} \approx 2.8, \sqrt[10]{3} \approx 1.8 \). □ (c) − (∞−1, − (∞−1 + \sqrt{5}). Questões Questão 1 [1in-1]. Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir? \(\cos(t) \frac{dy}{dt} + (2\cos(t) − \sin(t))y = t e^{−2t}, \quad y(0) = −1. \) □ (a) \( y(t) = \frac{t^2}{2} e^{-2t} + c\cos(t) \). □ (b) \( y(t) = \frac{x e^{−2t}}{2\cos(td/(x)) + \frac{2x}{6}} \). Questão 2 [1in-2]. Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir? \(\cos(t) \frac{dy}{dt} = (2\cos(t) + \sin(t))y = te^{−2t}, \quad y(0) = −1. \) □ (a) \(y(t) = \frac{2}{t^2} e^{-2t} + c\cos(t)\). □ (b) \(y(t) = \frac{y \cos(t)\sin(2t) + t}{y} = c e^{-2t}\). Questão 3 [qua-1]. Considere a solução do problema de valor inicial \{\frac{dy}{dt} = − (y^2 − ay)(y^3 − \frac{y}{5}), \) para \(0 < a < 10^{−4},\) \( y(t_0) = y_0. \} Podemos afirmar que ◼ Se \(− \frac{y}{5} < y_0 < a, \) então a solução se aproxima de 0, quando \(t \rightarrow +\infty \). Se \(y_0 < − \frac{y}{5}, \) então \(|y(t)| \rightarrow +\infty. \) Se \(y_0 > a, \) então a solução se aproxima de a, quando \(t \rightarrow +\infty \). Catalog Questão 4 [qua-2]. Considere a solução do problema de valor inicial \{\frac{dy}{dt} = − (y^2 − 5y)(y^3 + \frac{y}{5}), \) para \(a > 10^4,\) \( y(t_0) = y_0. \} Catalog Questão 4 [qua-2]. Considere a solução do problema de valor inicial \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{dy}{dt} = -\left(y^{2} - \dfrac{3}{2}\right)(y^{2} + 3y - \dfrac{9}{2} )\ ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ para\ a > 10^{4} , \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y(t_{0}) = y_{0} . \\\ \end{array}\right. Podemos afirmar que \blacksquare \ \ Se\ -a < x_{0} < \frac{3}{2}, \ então\ a\ solução\ se\ aproxima\ de\ 0,\ quando\ t\ \rightarrow +\infty .\ Se\ y_{0} < -a,\ então \ \ |a(y)|\ \rightarrow +\infty ,\ quando\ t\ cresce.\ Se\ y_{0}\gt\frac{3}{2},\ então\ a\ solução\ se\ aproxima\ de\ \frac{3}{2},\ quando\ t\ \rightarrow +\infty . \fbox{b} \ \ Se\ -a < x_{0} < \frac{3}{2},\ então\ a\ solução\ se\ aproxima\ de\ 0,\ quando\ t\ \rightarrow +\infty .\ Se\ y_{0} <-a\ ou\ y_{0} > \frac{3}{2}, \ então\ |a(y)|\ \rightarrow +\infty ,\ quando\ t\ cresce. \square \ \ Se\ y_{0} <-a,\ então\ a\ solução\ se\ aproxima\ de\ -a,\ quando\ t\ \rightarrow +\infty .\ Se\ y_{0} > \frac{3}{2},\ então\ a\ solução \ \ se\ aproxima\ de\ \frac{3}{2},\ quando\ t\ \rightarrow +\infty .\ Se\ -a < x_{0} < \frac{3}{2},\ então\ a\ solução\ se\ aproxima\ de\ 0,\ quando\ t\ \rightarrow +\infty . \fbox{c} \ \ Se\ 0 < x_{0} < \frac{3}{2},\ então\ a\ solução\ se\ aproxima\ de\ 0,\ quando\ t\ \rightarrow +\infty .\ Se\ 0 < y_{0} < \frac{3}{2}, \ então\ a\ solução\ se\ aproxima\ de\ 0,\ quando\ t\ \rightarrow +\infty .\ Então\ y_{0} > \frac{3}{2},\ então\ a\ solução\ se\ aproxima\ de\ \frac{3}{2},\ quando\ t\ \rightarrow +\infty . \fbox{e} \ \ Se\ 0 < x_{0} < \frac{3}{2},\ então\ a\ solução\ se\ aproxima\ de\ 0,\ quando\ t\ \rightarrow +\infty .\ Então\ |a(y)| \ \rightarrow +\infty ,\ quando\ t\ cresce. Questão 5 [aepa-1]. Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{dx}{dt} =\dfrac{-x[x-\sqrt{x}]}{\sqrt[4]{x}\left( \sqrt[3]{x}\right)\left(1 + \dfrac{1}{5}\right)}= -1 ? \end{array}\right. Observação: \sqrt{6}\approx 2.4, 2\sqrt{1} \approx 4.6, \ \sqrt[6]{8} \approx 8.3. \blacksquare (1 - \sqrt[4]{1}+\sqrt[6]{x}). \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1-\ \sqrt[6]{8\ ]+\sqrt[4]{x}]). \fbox{b} \ \ (1-\sqrt[3]{2}\ \ + \ \sqrt{6}]). \fbox{c} \ \ (- \ \sqrt[8]{1} )+\ \sqrt[4]{x}). \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1-\ \sqrt[6]{8},+\ \infty ). \fbox{f} \ \ (1-\ \sqrt[4]{1}+ \ \sqrt[6]{8},). Questão 6 [aepa-2]. Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{-x[x - \sqrt[3]{x}]}{\sqrt[4]{x}\left( \scalebox{0.8}{1}+\dfrac{1}{5}\right)} = -1 ? \end{array}\right. Observação: \sqrt{6}\approx 2.4, 2\sqrt{1}\approx 4.6, \ \sqrt[6]{8}\approx 8.3. \blacksquare (1-\sqrt[4]{1}+\sqrt[6]{8}). \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1 - \ \sqrt[6]{8\ ]+\sqrt[4]{x}). \fbox{b} \ \ (-\sqrt[3]{2}+\sqrt{6}). \fbox{c} \ \ ( - \ \sqrt[8]{1}+ \ \sqrt[4]{x}). \ \ - \ \sqrt[6]{8,}+\ \infty).