Lista 1 - Equações Diferenciais Separáveis 2023-1

MAT040 — Lista 01 de EDC Equacoes diferenciais separaveis Exercicio 1 Resolver as equacoées diferenciais separaveis abaixo indicadas. 1. xsen(y) + (x? +1) cos(y)y' = 0. 9 dy = _vi-y? dx Vv1-— x2 Equacoes lineares de primeira ordem Exercicio 2 Resolver as equacoées diferenciais abaixo indicadas. 1. y'—cot(x)y = 2xsen(x). 2. yl +y+xu+x7=0. Exercicio 3 Resolver os problemas de valores iniciais abaixo indicados. , 1, 0<x<1 1. y’+2y= ; ¥(0) =0. 0, x>1 , 2, O<x<l 2. y+ p(x)y =0, y(0) = 1; p(x) = . 1, x>1 Equaco6es exatas Exercicio 4 Resolver os seguintes problemas de valores iniciais: l (3x2 + 8xy”) + (x? +8x7y + 12y7) y’ =0, ~ | y(2)=1. 9 (yexp(xy) + 4y?) + (xexp(xy) + 12xy? - 2y) y' =0, * | y(0) = 2. Fatores integrantes Exercicio 5 Resolver as equacoées diferenciais abaixo indicadas com os correspondentes tipos de fatores integrantes. 1. (x—y?) +2xyy! =0; w= p(x). 2. (4xy +3y*) + (2x? +5xy?) y! =0; w= p(x y”). 1 2 Exercicio 6 Verificar que (x? + y2)~! é um fator integrante de uma equacao diferencial da forma (ytacf (x? +y?))+ (yf (x? +y?)-x)y' =0. Em seguida, resolver a equacéo diferencial (» +x (x? +y")’} + (» (x? +y?) - x} y' =0. Equacoées homogéneas de primeira ordem Exercicio 7 Resolver as equacoées diferenciais homogéneas de primeira ordem abaixo indicadas. 1. (x? — y?)dx+xydy =0. 2. Wx+2y)dx+(y—x)dy =0. Equagaéo de Bernoulli Exercicio 8 Resolver as equacées de Bernoulli abaixo indicadas. 1. y'+xy=xy?. 2. 6y'-2y=xy*. 3. y/+ . ~ /y=0. Equaco6es lineares homogéneas de segunda ordem Exercicio 9 Determinar a solucao geral das equacoes diferenciais abaixo indicadas. 1. y"+7y'+10y =0. 2. y"-8y'+16y=0. 3. y’+2y'+3y=0. Método dos coeficientes a determinar Exercicio 10 Determinar a solucdo geral das equacées diferenciais abaixo indicadas. 1. y"+4y! = sen(2x). 2. y"+4y'+3y = exp(-8x). 3. y"+5y'+4y = exp(—4x). A. 4y'"(x) + y(x) = exp(—2x)sen (5) + 6x cos (5). 3 Método de reducao de ordem Exercicio 11 Dada a solucdo y;(x), determinar uma segunda solucéo na forma yo(x) = v(x)y;(x) para cada uma das equacoes diferenciais homogéneas abaixo indicadas. 1. (x? -x) y"+(3x- Dy! +y =0 (x 40;x 41); (x) =(e- I}. 2. xy"! -y! _ Ax y = 0, (x £0); yi(x) = exp (x?). Método de variacaéo dos parametros Exercicio 12 Usar o método de variacéo dos parametros para resolver a equacaéo diferencial " ’ exp(—x) y (x) + 2y' (x) + 2y(x) = —{—. cos?(x) Exercicio 13 Verificar que y1(x) =x e yo(x) = 1/x séo solucées da equacao diferencial xy" 4x7 y! —xy =0. Usar essas duas solucées e 0 método de variacéo dos paraémetros para determinar a solucéo geral da equacao diferencial nio homogénea 3... 207 x + —xy=—. vere yoy x+1 Exercicios diversos Exercicio 14 Resolver as equacoées diferenciais através das correspondentes transformacées indicadas. 1. 3x°— y(y?-x?) y' =0; w=x3, v= y?. 2. (Qxn+y)+(x+5y)y' =0;u=x-y,v=x42y. Exercicio 15 Mostrar que a transformacao y(x) = xv(x) converte a equacaéo diferencial y” f(x) + g(y/x)(y— xy’) =0 em uma equacao separavel. Exercicio 16 Mostrar que as familias de pardbolas y? = 2cx +c? e x? = 4a(y + a) sdo ortogonais entre si. 4 Exercicio 17 Seja y(x) a solucdo do problema de valor inicial y’ + p(x)y = q(x), y(xo) = yo no intervalo [xo, +00) e seja z(x) uma funcdo continuamente diferencidvel definida em [xp, +00) tal que z’ + p(x)z < q(x), 2(xo) = 20 < yo. Mostar que 2(x) < y(x) para todo x € [xo, +00). Em particular, para o problema y’' + y = cos(x), y(0) = 1, verificar que 2exp(—x)-— 1 < y(x) < 1 para todo x €[0, +00). Exercicio 18 Sejam y1(x) e ye(x) duas solucées linearmente independentes da equacao diferencial polx)y" + pi(x)y' + polx)y =0, em que po(x) > 0, p1(x) e p2(x) sao funcées continuas em um intervalo J CR. Mostre que y(x) = yo(x)/y1(x) é uma solucéo nao constante da equacao diferencial " ' pilx) ! yilx)y + | 293 (x) + —— y1 (x) y = 0. Polx) Respostas e solucées Solucao 1 1. (x? +1)sen?(y) =e. d JV1-y? 2. A equacaéo diferencial oy VAT é separavel e pode ser reescrita na forma dx Vv1-— x2 1 1 ——- dy = -——dx V1-y? V1-x? A integracado de ambos os lados implica | Fee) St Ss dy= | - ae, 1-y? 1-x? ou seja, arcsen(y) = —arcsen(x) +c. Prosseguimos com o calculo do seno de ambos os lados dessa igualdade, sen(arcsen(y)) = sen(c — arcsen(x)) y =sen(c)cos(arcsen(x)) — cos(c) sen(arcsen(x)) { cos(arcsen(x)) = +V1- xt y =sen(c) (+ V1 — x?) —cos(c)x y+xcos(c)=+V 1-—x?sen(c) 2 (y +xcos(c))? = (+ V1-x2 sen(c)] y” + 2xycos(c) +x” cos*(c) = (1— x?) sen?(c) y? + 2Qxycos(c) +x” cos*(c) +x? sen*(c)=sen*(c) (A =cos(c); 1— A? = sen”(c)) x +2Axy+y? =1-A?, Resposta: x7 + y?+Axy=1-A?. 5 Solucao 2 1. A equacao é linear de primeira ordem pois tem a forma geral y'(x) + p(x) y(x) = g(x) e a formula da solugao é 1 c y(x) = —o | mxdaedx + — M(x) M(x) em que o fator integrante é L(x) = exp [[ eax). Como p(x) = —cot(x), cos(x) L(x) = exp [rma = exp [scot ax = exp [= dx sen(x) {substituicéo: u = sen(x); du = cos(x) dx} 1 = exp [{ - au] = exp(—In|u|) = exp (In|u|~*) = |u| = |sen(x)|?. A partir desse ponto, sem perda de generalidade consideramos simplesmente u(x) = 1/sen(x). Logo, 1 c 1 1 c = — dx +—— = _—__ | —__2 dx + ——— 1 Y= Te) | MOG) de OD = Tsen(x) | sen(a) Sen) de + Teena) (D) = sen(x) [2x dx + csen(x) = x” sen(x) + csen(x). (2) Resposta: y(x) = csen(x) + x? sen(x). 2. y(x) = cexp(—x)—x? +x-1. Solucao 3 (1/2)(1 -— exp(—2x)), O0<x<1 1. y(x)= (1/2)(exp(2) — l)exp(—2x), x>1. exp(—2x), O<x<l 2. y(x)= P exp(—(x+1)), x>1. Solucao 4 1. xy + Ax? y? + Ay? = 28. 2. exp(xy) +Axy? —y? +3=0. Solucao 5 1. w=x7?; y?+xIn(x) = ex. 2. w=x7y; x7 y2 +23 y> =e. Solucdo 6 = 4tan™1(x/y) + (x? +2)? =¢. Solucao 7 6 1. y? = 2x? In |c/x|. Yay 7(Y 9)? _& 2. (—+1 —+2) =-. Loy" oo, v- P Alculo da int 1 d ica fracé iais —————_ = ——_ - —_. ara o cdlculo da integral em v use decomposicéo em fracées parciais 32a3042 0F2 FI Solucao 8 1 1. y=4+-——.. \/1+cexp (x?) -3 1 2. y°= ~ a +1)+cexp(—<x). 3. VF 1 + c . ==-x+—. Yagtte Solucao 9 1. y(x) = cy exp(—2x) + co exp(—5x). 2. y(x) = c 1 exp(4x) + cox exp(4x). 3. y(x) = c1 exp(—x)cos (V2x) + co exp(—x) sin (V2x). Solucaéo 10 1. y(x) = c1 cos(2x) + cg sen(2x) — (1/4)x cos(2x). 2. y(x) = cy, exp(—x) + cg exp(—3x) — (1/2)x exp(—3x). 3. y(x) = c, exp(—x) + cg exp(—4x) — (1/3)x exp(—4x). 4, Qualquer que seja 0 método a ser utilizado para a resolucado da equacao diferencial " _ _ x x Ay’ (x) + y(x) = exp( 2x)sen (=) +6xcos (5) ; na primeira etapa da resolucéo devemos considerar a equacao homogénea associada, 4y"(x) + y(x) = 0. O polinémio caracteristico 6 p(A) = 442 +1 e suas raizes so numeros complexos conjugados, Ai2=0+ i/2. Logo, as duas solucgées linearmente independentes da equacéo homogénea associada sao y1(x) = exp(0x) cos(x/2) = cos(x/2) e yo(x) = exp(0x)sen(x/2) = sen(x/2) e a solucdo geral da equacéo homogénea associada é n(x) = c1y1(x) + C2yo(x) =C1 cos (=) +¢9 sen (=). 2 2 Além disso, o wronskiano dessas duas solucées 6 x x _|yix) yalx)| | 0S (5) sen (5) wly1, yolKx) = y! (x) yh (x) ~ 1 x 1 x 1 2 -5sen(5] +5 c0s(5) xy) {1 x x 1 x = (c0s(5)) (5 e05(5)) -(sen(5)) (-5sen(5)] 1 2 x 1 2 x = 9 8 (5) + 9 en (5) -1 #0 = 5 #0. 7 Isso confirma que as duas solucées obtidas séo linearmente independentes e constituem um conjunto fundamental de solucées da equacao homogénea associada, também denominada equacao incompleta. Para a préxima etapa devemos determinar uma solucao particular da equacao completa " _ _ x x Ay’ (x) + y(x) = exp( 2x)sen (=) +6x cos (5) e podemos usar 0 método dos coeficientes a determinar ou 0 método de variacaéo dos parametros. Método dos coeficientes a determinar. Por esse método, procuramos uma solucdo particular da equacéo completa com uma forma especifica. Ja que 0 termo nfo homogéneo (termo forcado) é x x f(x)= exp(-22)sen (5) +6xcos (5) , inicialmente procuramos solucao particular na forma Yp (x) = exp(—2x) (A cos(x/2) + B sen(t/2)) + (Cx + D)cos(t/2) + (Ex + F)sen(x/2), isto 6, na forma de produto de uma exponencial por senos e cossenos juntamente com produtos de polin6- mios por senos e cossenos. Entretanto, duas das parcelas ja sAo solugées da equacéo homogénea associada e nao contribuem para a obtencao da solucaéo particular da equacéo completa. Portanto, modificamos a primeira forma da solucéo particular através da multiplicacao pela primeira poténcia da varidvel inde- pendente x. Em outros termos, procuramos a solucao particular na forma Yp (x) = exp(—2x) (A cos (5) +Bsen(5)) +x(Cx+D)cos (5) +x(Ex +F)sen(5) - * _ x _ 2 * 2 * = Acos(> ]exp( 2x) + Bsen (=) exp( 2x) + (Cx +Dx)eos(5] +(Ex +Fx)sen(5). E dessa forma, nenhuma das parcelas dessa possivel solucaéo particular é solucao da equacéo homogénea associada. Prosseguimos agora com os calculos das duas derivadas sucessivas da funcdo yp, (x), x x Yp(x) = Acos (5) exp(—2x)+Bsen (5) exp(—2x) 2 x 2 * +(Cx +Dx)eos(5} +(Ex +Fx)sen(5] a derivada primeira, B A ¥p (x) = (-24 + 5] cos (5) exp(—2x) + (-5 - 28) sen (5) exp(—2x) 1 x 1 x + [2cx +Dt+s (Ex” +F)) cos (5) + (-5 (Cx? +Dx)+2Ex +F) sen (5) e a derivada segunda, 15A 15B Jp (x) = (=" - 28] cos (5) exp(—2x) + [24 + =| sen(5)exp(-2x) 1 2 x 1 2 x +[2C +(2Ex+F)— = (Cx? +Dx)} cos (=) + [2H - = (Ex? + Fx—(2Cx+D))) sen(5] 4 2 4 2 A substituicgao de yp(x), y,(x) e y,(x) na equagao completa resulta em Ay h(x) + y1,(x) = (16A - 8B)cos (=) exp(—2x) + (8A + 16B)sen (=) exp(-22) Vp (x) + Yp (x) = cos| > Jexp 2 sen| >) exp 20 + (8Ex +(8C +4F))cos (5) +(-8Cx +(—4D +8E)) sen(5) x x =(0)cos (5) exp(—2x) + (1)sen (5) exp(—2x) x x + (6x)eos (=) + (0)sen (5) . 8 Dessa forma, obtemos o sistema de equacées lineares 16A - 8B =0 A=% 8A +16B =1 B= 8E =6 C=0 > 3 8C +4F=0 D=5 -8C =0 E=3 -4D +8E =0 F=0 Logo, uma solucéo particular da equacaéo diferencial nio homogénea é 1 1 3 3 p(x) = 2 cos (5) exp(—2x) + 20 sen(5) exp(—2x) + (Ox? + 3%) cos (5) 4G" + 0x)sen (5) . Finalmente, a solucao geral da equacaéo diferencial nao homogénea é " "xe) = * _ x _ x * Ay (x)+ y (x)= (0)cos (5) exp( 2x) + (1)sen (5) exp 2x) + (6x)cos (5) +(0)sen(5) escreve-se na forma y(x) = yp (x) + ¥p(x) x x = cxcos(5)] + csen(5} + 4 cos (=) exp(—2x) + 4 sen (=) exp(—2x) + (Ox? + 3 cos (=) + (2x2 + 0x)sen (=) 40 2 20 2 2 2 4 Qh Solugcao 11 1. yo(x) = In(x)(x - 1). 2. yo(x) = exp(—x?). Solucao 12 Qualquer que seja 0 método a ser utilizado para a resolucdo da equacao diferencial yy" (x) + 2y"(x) + 2y(x) = expt») cos?(x) na primeira etapa da resolucéo devemos considerar a equacao homogénea associada, yl! (x) + Qy'"(x) + 2y(x) = 0. O polinémio caracteristico é p(A) = A? +21 +2 e suas raizes so numeros complexas conjugados, Aig=-1+11. Logo, as duas solucées linearmente independentes da equacéo homogénea sao 7¥1(x) = exp(—1x)cos(1x) e yo(x) = exp(—1x)sen(1x) e a solucdo geral da equacao homogénea associada é yn (x) = c1y1(x) + coyo(x) = c1 exp(—x) cos(x) + c2 exp(—x)sen(x). Além disso, o wronskiano dessas duas solucées é _ lye) ya(x) wly1, yale) = pe y5(x) _ exp(—x)cos(x) exp(—x)sen(x) ~ |—exp(—x) cos(x) — exp(—x)sen(x) —exp(—x)sen(x) + exp(—x) cos(x) = [exp(—x)cos(x)][- exp(—x) sen(x) + exp(—x) cos(x)] — [— exp(—x) cos(x)][exp(—x)sen(x)] = —exp(—x)sen(x)cos(x) + exp(—2x) cos?(x) + exp(—x) sen(x) cos(x) + exp(—2x) sen?(x) = -exp(— cos(x) + exp(—2x) cos?(x) + exp(— cos(x) + exp(—2x) sen?(x) = exp(—2x)[cos?(x) +sen?(x)] = exp(—2x) £0. 9 Isso confirma que as duas solucées obtidas séo linearmente independentes e constituem um conjunto funda- mental de solucées da equacao homogénea associada, também denominada equacéo incompleta. Para a proxima etapa determinamos uma solucao particular da equacao completa exp(—- cos?(x) e devemos usar 0 método de variagdo dos parametros, j4 que o termo forcado f(x) = exp(—x)/cos*(x) nao tem a forma de produto de polinémio por exponecial por seno ou de produto de polinémio por exponencial por cosseno. Método de variacéo dos parametros. Por esse método procuramos uma solucéo particular da equacéo com- pleta com uma forma especifica yp (x) = v1(x)y1(x) + v2(x)yo(x) em que as fungées v1 (x) e v2(x) sA0 os parametros variaveis. Nos calculos dessas duas funcGées, sem perda de generalidade escolhemos as constantes de integracao iguais a zero. Para a funcdo v1(x) temos a formula v4(x) = -/ 20) dx wlyi,yal(x) exp(—x)sen(x) exp(—x) exp(—2x)sen(x) == | ———— —— de = - | —— dx exp(—2x) — cos(x) exp(—2x)cos3(x) —sen| = / —sen(s) dx {u = cos(x); du = —sen(x) dx} cos?(x) 1 3 u? 1 = [ Gau= fu du => =-5 3 _ 1 ~ Qeos?(x)’ E para a funcao ve(x) temos a formula vo(x) = + / 1C@)PC) wly1, yal(x) exp(—x)cos(x) exp(— x) exp(—2x) cos(x) =+ | —— —— dx =- | —— ar exp(—2x) — cos3(x) cos3(x) 1 =/{—-d | cos*(x) sen(x = J sec®xrdu = tan(x) = sen(x) cos(x) Logo, a solucao particular é p(x) = v1 (x) y1 (x) + v2e(x) yo(x) 1 sen(x) = —-——=—~ exp(—x) cos(x) + ——— exp(—x)sen(x) 2cos?(x) PC) costa) cos(x) p(-*) _ _ exp(—x) ‘ exp(—x)sen?(x) ~ 2cos(x) cos(x) Finalmente, a solucéo geral da equacao diferencial exp(—- yy" (x) + 2y"(x) + 2y(x) = expt») cos?(x) escreve-se na forma y(x) = ya (x) + Yp(x) 2 exp(— exp(—x)sen = c1 exp(—x) cos(x) + cg exp(—x)sen(x) — exp(=*) + exp(-x)sen"(*) 2cos(x) cos(x) Solucao 138 c1x 4+ co/x + (1/2)[(x — (1/x)) In(1 + x) — xIn(x) - 1]. Solucao 14 10 1. Consideremos a equacao diferencial 3x° — y (y? —x3) y' =0. As substituicdes u = x° e v = y? com a regra da cadeia implicam dy dy du du 1 du , 2 3u23 du — = = —— — 32 = dx dududx 2 /udu Qui2 du e a nova equacao diferencial, du _ 2u du v-u’ é homogénea. A solucdo é (y? — 2x3) (y? +3)? =e. 2. Consideremos a equacao diferencial (2x + y)+(«+5y)y' =0. As substituicdes u =x-y ev =x+2y implicam x =(2u+v)/3 e y=(v—u)/3. Além disso, 2 1 Ox Ox 2 1 =+suts dx =~ du+=dv=+zsdu+<d ee a BP BEB 1 1 oy Oy 1 1 =-=uts => dy=—du+—dv=--du+—dv. veg 3° ou OB A nova equacao diferencial é udu + udu = 0 com solucao u? +v? = c. Finalmente, 2x? +2xy +5y? =c. Solugao 15 A equacao diferencial 6 convertida em v" x” f(x) = x?g(v)u’. Solugao 16 Para a familia de pardbolas y? = 2cx + c?, a equagao diferencial correspondente é y’ = c/y; logo a equacao diferencial da familia ortogonal é y’ = —y/c. Solucéo 17 —_ Existe uma funcdo continua r(x) = 0 tal que z’ + p(x)z = q(x) —r(x), 2(xo) = 20 < yo. Logo, para a funcdo definida por (x) := y(x) — z(x), valem as desigualdades ¢)' + p(x) = r(x) > 0, (xo) = yo — 20 2 0. Solucao 18 Escrever yo(x) = y1(x)y(x) e usar os fatos de que ¥1(x) e yo(x) sAo solucées da equacao diferencial Polx)y" + pilx)y' + pal(x)y = 0.