P3 em Grupo - Equações Diferenciais C 2022 2

EDC - 3a prova em grupo (5 pts) 1. (1,5 pontos) Calcule a série de Fourier gerada por f(x) e desenhe o gráfico da função para a qual a série converge no intervalo [−3π, 3π]: f(x) = x para x ∈ (−π, π), f(x + 2π) = f(x). 2. (1,5 pontos) Uma barra de ferro (α2 = 0, 12 cm2/s) com 10 cm é aquecida uniformemente até 200 oC. Após isso, suas extremidades são submetidas a 0 oC constante. Estime a temperatura no centro da barra após 10 segundos usando apenas os dois primeiros termos não-nulos da solução u(x, t) = ∞ ∑ n=1 bn e−(nπα/L)2t sen (nπx L ) . 3. Considere o problema de valores de contorno abaixo.      1 x2 ∂2u ∂t2 + ∂2u ∂x2 − u = 0 (0 < x < 1, t > 0), u(0, t) = 0, ∂u ∂x(1, t) = 4 (t > 0) (a) (1 ponto) Obtenha a solução estacionária v(x) do problema. (b) (1 ponto) Separe as variáveis com u(x, t) = X(x)T(t). Escreva as equações diferenciais e condições de contorno para X(x) e T(t), sem resolvê-las. Fourier                          f(x) = a0 2 + ∞ ∑ n=1 [ an cos (nπx L ) + bn sen (nπx L )] a0 = 1 L ∫ L −L f(x) dx an = 1 L ∫ L −L f(x) cos (nπx L ) dx (n = 1, 2, . . .) bn = 1 L ∫ L −L f(x) sen (nπx L ) dx (n = 1, 2, . . .) Integrais                      ∫ x cos(kx) dx = x k sen(kx) + 1 k2 cos(kx) + C ∫ x sen(kx) dx = −x k cos(kx) + 1 k2 sen(kx) + C ∫ x2 cos(kx) dx = 2x k2 cos(kx) + (x2 k − 2 k3 ) sen(kx) + C ∫ x2 sen(kx) dx = 2x k2 sen(kx) + ( −x2 k + 2 k3 ) cos(kx) + C EDC - 3ª PROVA EM GRUPO 1) f(x) = x , x ∈ (-π,π) , f(x+2π) = f(x) período 2π ⇒ L = π f(x) ímpar ⇒ a0 = 0 , an = 0 bn = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x sen(nx) dx = \frac{2}{π} \bigg[ -\frac{x}{n} cos(nx) + \frac{1}{n²} sen(nx) \bigg]_{0}^{π} = \frac{2}{π} \bigg[\frac{π}{n} cos(nπ) - \frac{1}{n²}sen(4π) + 0 \bigg] = -\frac{2}{n} cos(nπ) = \frac{2}{n} (-1)^{n+1} série de Fourier: f(x) = \sum_{n=1}^{∞} \frac{2(-1)^{n+1}}{n} sen(nx) = 2 senx - sen(2x) + \frac{2}{3} sen(3x) - ... [gráfico: f(x), π, 2π, 3π, -π, -2π] Nos pontos de descontinuidade a série converge para a média dos limites laterais 2) ferro α² = 0,12 cm²/s , L = 10 cm , u(x,0) = 200 (0<x<10) u(0,t) = u(10,t) = 0 (∀t>0) bn = \frac{2}{10} \int_{0}^{10} 200 sen \bigg( \frac{nπx}{10} \bigg) dx = 40 \bigg[-\frac{10}{nπ} cos \bigg( \frac{4πx}{10} \bigg) \bigg]_{0}^{10} = -\frac{400}{nπ} [ cos(nπ) - 1 ] = \frac{800}{nπ} n par n ímpar → n = 2K+1 U(x,t) = \frac{800}{π} \sum_{k=0}^{∞} \frac{1}{2K+1} e^{-\frac{(2k+1)²π²0,12 t}{100}} sen \bigg[ (2K+1) \frac{πx}{10} \bigg] U(5,10) = \frac{800}{π} \sum_{k=0}^{∞} \frac{1}{2K+1} e^{-2(2k+1)² ⋅ 0,012π²} sen \bigg[ (2K+1) \frac{π}{2} \bigg] = \frac{800}{π} e^{-0,012π²} + \frac{800}{3π} e^{-9(0,012π²)} + ... ≈ 226, 206, ... 29, 234,... = 196,97 °C 3) \frac{1}{x²} \frac{∂²u}{∂t²} + \frac{∂²u}{∂x²} = 0 \qquad (0<x<1, t>0) U(0,t) = 0 , \frac{∂u}{∂x}(1,t) = 4 \qquad (t>0) a) solução estacionária v(x) \frac{1}{x²} 0 + v'' - v = 0 → v'' - v = 0 → v² - 1 = 0 → v = ±1 sol. geral v = C₁e^x + C₂e^{-x} v''(x) = Ge^x - C₂e^{-x} v(1) = C₁e - \frac{C₂}{e} = 4 → C₁(e + \frac{1}{e}) = 4 → C₁ = \frac{4e}{e²+1} solução estacionária: v(x) = \frac{4e}{e²+1}(e^x - e^{-x}) b) u(x,t) = X(x)T(t) \rightarrow \frac{1}{x²} XT'' + X''T - XT = 0 → \frac{1}{x²} XT \rightarrow T'' - λT = 0 1 - \frac{X''}{X} = \frac{λ}{x²} → \frac{X''}{X} = 1 - \frac{1}{x²} X'' + \bigg(\frac{λ}{x²} -1\bigg)X = 0 condições de contorno: U(0,t) = X(0)T(t) = 0 \qquad ∀t → X(0) = 0 Ux(1,t) = X'(1)T(t) = 4 \qquad ∀t → esta condição de contorno não é separável