Lista Soma de Infinitas Parcelas 2022 2

É possível somar infinitas parcelas? Martha Salerno Monteiro Universidade de São Paulo Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Até o século XIX, os matemáticos tinham pouca compreensão sobre somas de uma quanti- dade infinita de números como, por exemplo, 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + . . . ou então 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + . . . Frequentemente eles tentavam operar com essas somas do mesmo modo como operavam com somas finitas, isto é, usando as mesmas propriedades. Não estando cientes de que algumas pro- priedades válidas para somas finitas não valiam para somas infinitas, eles chegavam a resultados contraditórios. Filósofos da Grécia antiga debateram calorosamente questões como • Uma grandeza pode ser subdividida indefinidamente em partes cada vez menores ou é formada por um número muito grande de partes atômicas indivisíveis? • O movimento é contínuo ou é uma sucessão de instantâneos que, como quadros em filmes antigos, estão parados no tempo? O filósofo grego Zenão de Eleia (século V a.C.) chamou atenção para dificuldades lógicas de cada uma das possíveis respostas por meio da elaboração de paradoxos. Em vez de negar diretamente as teses que combatia, Zenão mostrava os absurdos (contradições) daquelas teses e, portanto, sua falsidade. Acredita-se que Zenão tenha criado cerca de quarenta destes paradoxos, todos contra a multiplicidade, a divisibilidade e o movimento que, segundo a escola eleática, nada mais são que ilusões. Um desses paradoxos é conhecido como dicotomia: Para um corredor ir de um ponto A até um ponto B, ele terá primeiramente que cobrir metade da distância de A até B. Depois, metade do que falta, e assim por diante. Como isso envolve um número infinito de etapas, Zenão argumentou que o corredor nunca irá alcançar seu destino. Se nomearmos d(A, B) = 1, esse paradoxo concluía que é impossível efetuar a soma 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · que é a soma de uma progressão geométrica (PG) de razão 1 2. Com o conhecimento que se tem hoje, sabe-se que essa soma é finita e igual a 1. Fonte: https://www.ime.usp.br/~martha/somas-infinitas.pdf Repare que somando-se as duas primeiras parcelas, obtém-se ; + ; = 3 (falta ; para chegar em 1), somando-se as trés primeiras parcelas, obtém-se 5 + ; + ; = Z (falta ; para chegar em 1), e assim por diante. Vocé pode perceber que existe uma tendéncia: conforme somamos mais termos, as somas finitas aumentam, aproximando-se de 1, e é possivel chegar a um valor tao préximo de 1 quanto se queira, simplesmente acrescentando mais termos a soma. Essa ideia de chegar a um valor tao proximo de X quanto se queira é 0 que hoje chamamos de limite. Mas os gregos antigos nao conseguiram aceitar a ideia de que é possivel somar uma quanti- dade infinita de nimeros e obter um resultado finito. Os gregos antigos sabiam somar muitos e muitos termos de uma progressao e atingir uma boa aproximacao, mas 0 pensamento de es- tender esse processo para o infinito era inaceitavel para eles (com excecgao de Arquimedes, que calculou a area de um setor parabdlico fazendo somas infinitas). As somas de progressoes geométricas — finitas ou infinitas — aparecem em praticamente todos os ramos da matematica. A primeira vez que as encontramos (disfargadamente) é na forma de dizimas periddicas. Por exemplo, o nimero 0, 232323... 6 uma abreviagao para 23 23 23 100" 1002 * 1008 O livro VIII e parte do livro [IX da obra “Os Elementos” de Euclides tratam de propor¢des continuadas, isto é, nimeros que formam o que hoje chamamos de progressoes geométricas. Esse assunto se tornou importante para os gregos desde a descoberta de Pitagoras de que os intervalos musicais correspondem a proporgdes dos comprimentos das cordas. A proposigao 35 do livro IX expressa em palavras como calcular a soma finita de uma progressao geométrica. Em linguagem atual, Euclides enunciou! que a soma S$ da sequéncia de niimeros a, ar,ar?,...,ar” satisfaz a propriedade ar—a__ ar"—a = Isso é equivalente a S-a(r—1) =a-a(r"—1) e, ser £1, podemos isolar S' e obter a expressaéo ge a(1—r") l-r Note que os gregos antigos permitiam a soma de muitas parcelas, j4 que n pode ser ar- bitrariamente grande. Mas eles nao deram o passo de permitir que n crescesse tendendo a infinito. 'O enunciado de Euclides era: Se tantos ntimeros quanto quisermos estiverem em proporgado continuada e do segundo e do ultimo nimero for subtraido o primeiro, entado o excesso do segundo esté para o primeiro assim como o excesso do tiltimo esté para todos os outros. Traduzindo, ele dizia que se a, ar,ar?,--- ,ar™ é uma PG, entao sua soma satisfaz (ar — a): a= (ar”—a): S$ Fonte: https://www.ime.usp.br/~martha/somas-infinitas. pdf Uma demonstração moderna da soma da PG pode ser a seguinte. Seja S a soma dos n primeiros termos da PG: S = a + ar + ar2 + · · · + arn−1 S · r = ar + ar2 + ar3 + · · · + arn Subtraindo termo a termo, todos os termos se cancelam exceto o primeiro de S e o último de Sr: S − Sr = a − arn S(1 − r) = a(1 − rn) S = a(1 − rn) 1 − r Hoje, com o conceito de limite rigorosamente estabelecido, é possível provar que se r é um número cujo valor absoluto é menor do que 1 (isto é, se −1 < r < 1) então, quando n tende a infinito, o valor de rn tende a 0 e, portanto a soma S se torna S = a 1 − r (1) Assim, a soma 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · que aparece no paradoxo de Zenão é S = 1 2 1 − 1 2 = 1 e a dízima periódica 0, 232323 . . . = 23 100 + 23 1002 + 23 1003 + · · · tem soma S = 23 100 1 − 1 100 = 23 100 · 100 99 = 23 99 Note que a fórmula (1) nos permite provar que toda dízima periódica é igual a uma fração, isto é, que toda dízima periódica é um número racional. Exercício 1. Use a fórmula (1) para escrever o número 1, 00347 na forma de fração. A soma infinita 1 − 1 + 1 − 1 + · · · tem um comportamento muito bizarro e originou muita controvérsia no início do século XVIII. Leibniz (1646–1716), co-inventor com Newton (1642– 1727) do Cálculo, argumentou que “como a soma pode ser igual a 0 ou a 1, com a mesma Fonte: https://www.ime.usp.br/~martha/somas-infinitas.pdf probabilidade, seu verdadeiro valor deveria ser a média 1 2”. Tal raciocínio parece inacreditável nos dias de hoje, mas nos tempos de Leibniz alguns conceitos como limite e convergência não estavam bem compreendidos e as somas infinitas eram tratadas de maneira equivocada, como se fossem meras extensões de somas finitas. O que dizemos hoje é que a soma 1 − 1 + 1 − 1 + · · · não tem sentido. Se “forçarmos a barra” e tentarmos atribuir um valor a ela, podemos chegar a qualquer número, o que mostra simplesmente que essa soma não tem significado. Por exemplo, vamos “provar” que 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = 0, 4. Para isso, vamos escrever 1 = 0, 4 + 0, 6 e substituir: 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = (0, 4 + 0, 6) − (0, 4 + 0, 6) + (0, 4 + 0, 6) − (0, 4 + 0, 6) + · · · = Vamos chamar de S a soma desses números. Mudando os parêntesis de lugar, poderemos obter: S = 0, 4 + (0, 6 − 0, 4) − (0, 6 − 0, 4) + (0, 6 − 0, 4) − (0, 6 − 0, 4) + · · · = 0, 4 + 0, 2 − 0, 2 + 0, 2 − 0, 2 + · · · Vamos agora colocar parêntesis: S = 0, 4 + (0, 2 − 0, 2) + (0, 2 − 0, 2) + · · · = 0, 4 Se tivéssemos colocado os parêntesis de outra maneira, teríamos encontrado outro resultado: S = (0, 4 + 0, 2) − (0, 2 − 0, 2) + (0, 2 − 0, 2) − · · · = 0, 6 Assim, a soma pode ter valor 0,4 ou 0,6 !!! Exercício 2. É possível “provar” que essa soma é igual a π? Mostre! Qual a conclusão? Vimos que algumas somas infinitas são possíveis de serem calculadas e outras não, o que nos mostra que não podemos tratar somas infinitas da mesma forma como tratamos as somas finitas. Por exemplo, para as somas finitas valem as propriedades associativa e comutativa da adição. Com somas infinitas precisamos tomar mais cuidado. Apenas no século XIX é que os matemáticos começaram a dar um tratamento mais rigoroso para as somas infinitas e só então foi possível estabelecer métodos para se lidar com elas. Seja a1, a2, a3, . . . , an, . . . uma sequência de números reais, isto é, uma lista infinita de números arranjados em ordem, sendo a1 o primeiro da lista, a2 o segundo e assim por diante. Fonte: https://www.ime.usp.br/~martha/somas-infinitas.pdf A soma infinita desses ntimeros nessa ordem é 0 que chamamos de série e indicamos por co ) An = A, +42 +03 4+°-°: (2) n=1 Sendo assim, a ideia que surgiu foi a de somar os termos um a um, na ordem em que eles aparecem, e analisar 0 comportamento da sequéncia formada por essas somas finitas. Mais precisamente, definimos as somas parciats: Ss, = a So = a+ 42 S3 = a,+ag+a3 Syn = Q+d9++::+a4, Observe que, como as somas S,, sao finitas, podemos usar as propriedades da adigao livre- mente. Se a sequéncia das somas parciais tiver um limite finito S' (escrevemos lim S,, = S) diremos noo que a série (2) converge para S e escrevemos a, + ag + a3 +--+: +a, +-:::=S. O nimero S é chamado soma da série. Por exemplo, vimos anteriormente que é possivel somar todos os termos de uma Progressao Geométrica infinita com razao r que satisfaz —1 < r < 1. Uma tal série é conhecida como série geométrica. No caso particular da série geométrica de razao r = 5, a saber, : + t + : free . + 2 4 8 2n observamos que as somas parciais da série sao: _1 Sy — 9) —iy1l_~3_j j,_1 Sy=5tqgaqal 4? —liyzljzlt_v7_yjyz_l S3=5+qgtgagal-s —laly.. fs ne h®l_j_t Sn = at gto tg = Gr =1l— on Repare que quando n cresce, tendendo a infinito, o nimero 2” cresce muito e a fragao a fica cada vez menor, tendendo a 0. Logo, a sequéncia das somas parciais tende a 1. Assim, estamos autorizados a escrever : + t + : free . + 1 2 4 8 2n Fonte: https://www.ime.usp.br/~martha/somas-infinitas. pdf Exercicio 3. Vocé concorda que 0,999...= 1? Por qué? Se as somas parciais nao tendem a um limite finito, diremos que a série (2) é divergente. Alguns exemplos importantes de séries divergentes: (a) 1+1+1+--- Trata-se da série em que a, = 1 para todo n. Tem-se: S$; = 1, So = 2,..., S, =n. E claro que quando n cresce, tendendo a infinito, as somas parciais crescem igualmente. Por isso, a série 1+1+1-+.--- é divergente. (b) 1-—1+1-1+4--- Este caso, em que a, = (—1)"*! para todo n, ilustra um outro tipo de divergéncia. Vemos facilmente que as somas parciais sao S; = 1, Sp = 0, S3 = 1, Sy = 0, e assim por diante. As somas parciais oscilam entre os nimeros 0 e 1, e nao tendem a um ntimero S. Por isso, a série é divergente. (c) lta+e+—-4 $o4 Cc _— —_— _ eee —_— eee 2 3 4 n Esta série é chamada série harménica. Ela é uma série divergente, mas esse fato nao é nem um pouco obvio, principalmente porque nao conseguimos calcular de modo simples as somas parciais S,. Vejamos como é possivel ver que a série harménica nao converge: Ss; = 1 1 So = 1+ 9 1 1 1 1 1 1 2 so = thee) orede (Ge) a1) 4 +t 3°94 tat iv] +5 Ss = 1+54(54+7)+(eto+e+5) . 2° \3 0 4 5'6'7' 8 > 1+54+(F42)4+(Gt+etets)=145 2 \4 4 8 8 8 8/ 2 e assim por diante: S16 > I+ 3.0 , Sgn > 1+ 4 Dessa forma, podemos perceber que se n cresce indefinidamente, as somas parciais tendem a infinito. Logo, a série harménica diverge. Vimos que a série harménica 1 + 5 + 7 + ; terest + +--+ édivergente, enquanto que a série geométrica 1 + ; + ; + , treet = +--+ € convergente. Intuitivamente, poderiamos dizer que na série harménica, os termos nao decrescem sufi- cientemente rapido como na série geométrica. As somas parciais da série harménica consistem Fonte: https://www.ime.usp.br/~martha/somas-infinitas. pdf em termos pequenos que, somados, resultam em um total grande, enquanto que os termos da série geométrica decrescem tao rapidamente que as somas parciais, mesmo com muitas e muitas parcelas, nunca chegam a 2. Exemplo. Vamos estudar a série s> 1 -t,tivi, H~n-(n+1) 1-20 2-30 3-4 Note que esta nao é uma série geométrica. Logo, a tnica ferramenta que temos é a definigao de convergéncia por meio da andlise de suas somas parciais S; = = 52 = s + sai etc. O problema é que o calculo direto dessas somas nao nos ajuda a determinar o valor das somas 5, para todo n. Vamos entao procurar outra forma de abordar a questao. E facil verificar que aneD = i ——* para todo n. Com essa decomposigao do produto em diferenga de fragoes é possivel calcular mais facil- mente as somas parciais S, para todo n e determinar o valor da soma S. Repare: Sn = : + : + , free , "162° 2-3 3-4 n-(n+1) _ é =) +(5 ~)+(5 -) + +(- 1 ) ~ \L 2 2 3 3. 4 n n+l 1 — [———_ n+1 Logo, a série é convergente e sua soma é S = lim S,, = 1. a 1_1 2. 12 ~=3. 123 4 Exercicio 4. Repare que 73 =7—3; 35 =3Z-—33 7 = ETF (a) Escreva a como diferenga de duas fragoes. (b) Tente encontrar uma formula geral para GacbGneD . A 1 _ 41 1). 1 _1/1_1). 1 _1/f1_1 (c) Verifique que também é verdade que 73 = $(1 — 5) 535 = AG — 7) SEZ = 5(z — a) (d) Deduza que Graney =i(,4- amt) para todo ntimero natural n. . a 1 1 1 (e) Considere a série (convergente) 73 + gs + ge +°°: Joao fez o seguinte calculo: 1 1 1 S = — ~+>—24+>—54+°°: 1-3 3-5 5-7 = (1-3) +G-5)*G-3)+ — 3 3.5 5 7 _ 4 (; -) (: =) € -) + 1 7 3. 3 5 5 7 7 7 Fonte: https://www.ime.usp.br/~martha/somas-infinitas. pdf Ja Maria fez de outro jeito: 1 1 1 S = — >~+>—24+>54+°°: 1-3 3-5 5-7 _ “(1 =) +5(3 =) +5(- =) + 2 3/ 2\3° 5/ 2\5 0 7 11 4 1 1 4 1 1 eee 1 — 2 6 6 10 10 14 2 Algum dos alunos calculou a soma corretamente? Quem? Por que? Um teorema muito ttil para podermos concluir que uma série nao é convergente é 0 seguinte: CO Teorema. Se a série S- dy € convergente entéo lim a, = 0.” n=l Noo Uma outra forma de enunciar esse teorema é: Se os termos a, de uma série >> an nao tendem a 0, entao essa série é divergente. Na pratica, ¢ assim que o teorema é utilizado. Por exemplo, considere a série s> n 12,30 n+1 2 3 4 n=1 Essa série é divergente pois a, = >; se aproxima de 1 (e nao de 0) quando n cresce indefinida- mente. Exercicio 5. Determine quais séries sao convergentes e quais sao divergentes. Se for convergente, determine a soma. 8 16 32 3. 9 27 a)4+s+——2+—5+°::: b)1-=+--—+4:-: (a) ATE +5 + 135 MI 9+ a8 (c) 1—0,4+4 0, 16 — 0,064 + 0, 0256 — 0,01024+.--- S3r1 = n d — e —— (1) Op (©) on 4s n=1 n=1 2A demonstracao pressupde 0 conhecimento de uma propriedade de limite, que diz que se duas sequéncias (2n) € (Yn) tém limites x e y respectivamente (1, y € R), entao lim(r,n + Yn) e lim(%n — Yn) existem e sAo iguais, respectivamente axr+yexr—y. Com essa propriedade, podemos entao, dizer que, como a série S> Gn, convergente, suas somas parciais S,, n=1 convergem para um namero real $. Como a, = S;, — S,_-1, temos lim a, = lim (S, — S,_-1) = lim S, — lim S,_,; =S—S=0 noo noo noo noo Fonte: https://www.ime.usp.br/~martha/somas-infinitas. pdf E importante observar que tanto a série harménica Srieisty ty tity — n 2 3 4 =«5 quanto a série geométrica s ae “~ on 2° 4° 8 24 tém termos positivos que decrescem para 0, mas a primeira é divergente, enquanto que a segunda é convergente. Isso mostra a sutileza deste assunto! Também é importante observar que a reciproca do teorema acima nao é verdadeira, como deixa claro o comportamento da série harménica. Em geral é muito dificil calcularmos o valor exato S da soma de uma série convergente. Mas apenas o fato de sabermos que ela é convergente ja nos ajuda a resolver varios tipos de problemas. Por exemplo, sabe-se que a série 1. 2-1 1 1 1 at ltatptptat n=1 é convergente e sua soma é 0 numero ze Vamos ver uma maneira de verificar que a série é convergente. De fato, tem-se: S, = l+——+—-—-+—-—-+-=+ . ue 2-20 3-3 4-4 5-5 non < 1+ : + : + : + : + s 1-2 2-3 3-4 4-5 (n—1)-n 1 1 1 1 1 1 1 = 14-3) +(G-D4GR-Dar tas + 1 2 + 2 3 + n-l on n Dessa forma, percebemos que os nimeros S,, estao todos entre 1 e 2, e formam uma sequéncia crescente, isto é, 1 = S, < Sy < S3 <--- Portanto, eles devem convergir para algum valor S (entre 1 e 2). Referéncias Bibliograficas EVES, Howard. Introdugao 4a historia da matemAatica. Traducao: Hygino H. Domingues. Campinas: Editora da UNICAMP, 1997. MAOR, Eli. Trigonometrics Delights. Princeton: Princeton University Press, 2002. SIMMONS, George. Calculo com Geometria Analitica. Volume 2. Traducao: Seiji Hariki. Sao Paulo: McGraw-Hill, 1987. Fonte: https://www.ime.usp.br/~martha/somas-infinitas. pdf Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner