Lista de Exercícios - S43 Resolvida-2022 1

Lista de Exercícios - S43 Data de entrega: 16/05 1. Encontre a solução geral de y'' + 5y' = 0 e grafique algumas soluções. 2. Encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução. Determine o valor máximo da solução. Descreva o comportamento quando t -> +∞. y'' + 8y' - 9y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1 3. Encontre o wronskiano de sin²θ, 1 + cos(2θ) 4. Determine o maior intervalo onde o problema de valor inicial tem solução única. \{ (x - 2)y'' + y' + sec(x)y = 0 y(3) = 1, y'(3) = 2 \} 5. Encontre o wronskiano de duas soluções sem resolver a equação: (1 - x²)y'' - 2xy' + α(α + 1)y = 0 (equação de Legendre). 6. Escreva e^{1-i} na forma a + bi. 7. Resolva o problema de valor inicial a seguir e descreva o comportamento para t grande. y'' + 2y' + 2y = 0, y(π/4) = 2, y'(π/4) = -2 8. Use o método de redução de ordem para encontrar uma seunda solução: (x² + 1)y'' + xy' - 4y = 0, y₁(x) = (2x² + 1) (deixe na forma integral.) 9. Certo sistema vibrando satisfaz a equação u'' + γu' + u = 0 Encontre o valor do coeficiente de amortecimento γ para o qual o quase-período do movimento amortecido é 50% maior do que o período do movimento correspondente sem amortecimento. 1) y''+5y'=0 Faça u=y', u'=y''. Temos: u'+5u=0 => ∫ du/u = -∫ 5 dx => ln u = -5x + C => u(x) = C e^{-5x} => y(x) = ∫ u(x) dx = C ∫ e^{-5x} dx = C₁ e^{-5x} + C₂ se C₁ = 0, a sol é cte: [graph] se C₂ = 0, a solução é uma exponencial negativa: 2) y'' + 8y' - 9y = 0 Suponho y = e^{mx}, y' = m e^{mx}, y'' = m² e^{mx} => m² e^{mx} + 8m e^{mx} - 9e^{mx} = 0 => m² + 8m - 9 = 0 Pela Baskhara: -8 ± √(64 + 36)/2 = 1 ou -9 => y(x) = C₁ e^{x} + C₂ e^{-9x}, y'(x) = C₁ e^{x} - 9 C₂ e^{-9x} y(0) = 0 => \{ C₁ + C₂ = 0 C₁ - 9 C₂ = 1 \} => 10 C₂ = -1 => C₂ = -1/10 C₁ = -C₂ = 1/10 y''y(x) = \frac{1}{10} \left[e^x - e^{-9x}\right] 3. \quad y_1(\theta) = \sin^2\theta, \quad y_1'(\theta) = 2 \sin\theta \cos\theta = \sin(2\theta) \\ \quad y_2(\theta) = 1+ \cos(2\theta), \quad y_2'(\theta) = -2 \sin(2\theta) \\ W = \det \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \det \begin{vmatrix} \sin^2 \theta & 1+ \cos(2\theta) \\ \sin(2\theta) & -2 \sin(2\theta) \end{vmatrix} = \\ = \sin^2 \theta \left(-2 \sin(2\theta) \right) - \underbrace{(1+\cos(2\theta))}_{1-\cos(2\theta)} \sin(2\theta) = \\ = \left( \cos(2\theta) - 1 \right) \sin(2\theta) - (1+\cos(2\theta)) \sin(2\theta) = \\ = -2 \sin(2\theta) 4. \quad y'' + \frac{y'}{x-2} + \frac{x\sec(x)}{x-2} y = 0 \\ y(3) = 1, \quad y'(3) = 2. \\\frac{1}{x-2}, \quad e^{-} \text{ contínuo em } x \in (-\infty, 2) \cup (2, \infty) \sec(x), \quad e^{-} \text{ contínuo em} \\ \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq 2, \quad x \pm \frac{\ln(n+1)\pi}{2}, \quad n \in \mathbb{N} \right\}\\ \Rightarrow \text{solução único existe em } (2, \frac{3\pi}{2}) 5. \quad y'' - \frac{2x}{1-x^2} y' + \frac{\alpha(\alpha+1)}{1-x^2} y = 0 \\ W(t) = c \ e^{-\int \frac{-2x}{1-x^2} dx} = c \ e^{-\ln |1-x^2|} = \frac{c}{1-x^2} 6. \quad y_1(x) = x^{\alpha x + 1} \\ y_2(x) = u(x) \ y_1(x) \\ y'' + \frac{x}{1+x^2} y' - \frac{4y}{1+x^2} = 0 \\ u(x) = \int \frac{e^{-\frac{x}{1+x^2}}}{[y_1(x)]^2} dx = \int \frac{e^{-\frac{x}{1+x^2}}}{(1+ x^2)^2} dx 9. \quad \text{Movimento não amortecido:} \\ u''+ u =0 \\ \Rightarrow \omega = l_1, \quad T= l^b. \\\text{Movimento amortecido:}\\ u'' + \gamma u' + u =0 \\ \omega = \sqrt{\gamma^2 -4 \div4}, \quad T = \frac{2 l^b}{\omega} = \frac{4 l^b}{\sqrt{\gamma^2 -4}} \\ \text{Queremos } \widetilde{T} = 2T \Rightarrow \frac{4 \widetilde{l^b}}{\sqrt{\gamma^2 -4}} = 4 \widetilde{l^b} \\ \Rightarrow \gamma^2 - 4 = 1 \Rightarrow \gamma = \sqrt{5}