Anotações - Regra da Cadeia - 2023-1

Ex 3: Considere xf(x,y,z) = x^3 + y^3 + z^3 onde x = u.v + w = x(u,v,w) y = u.w + v = y(u,v,w) z = v.w + u = z(u,v,w) encontre: ∂f/∂u = ?, ∂f/∂v = ?, ∂f/∂w = ? → exercício p/casa ∇f = (3x^2, 3y^2, 3z^2) → derivada da função xu = v yu = w zu = 1 xv = u yv = ? zv = ? xw = ? yw = 1 zw = ? → derivado de x por u x = u.v + w xu = v ∂f = ⟨∇f, (xu, yu, zu)⟩ ∂u = ⟨(3x^2, 3y^2, 3z^2), (v, w, 1)⟩ = 3x^2.v + 3y^2.w + 3z^2.1 = 3v(uv + w)^2 + 3w(uw + v)^2 + 3(vw + u)^2 REVISÃO P3 - REGRA DA CADEIA z = x.tgy y = u.g^2 re = sen u + cos v y = u.g^2 → faz a regra da cadeia ∂z/∂u = ∂z/∂x ∂x/∂u + ∂z/∂y ∂y/∂u = tgy.cos u + (x.sec^2 y).v^2 → substitui o "xe" e "y" = tg(u.v^2).cos u + (sen u + cos v)sec^2 (u.v^2).v^2 REGRAS DA CADEIA gradienta - derivada de f ∂t/∂t = ∂f/∂x ∂x/∂t + ∂f/∂y ∂y/∂t = ⟨∇g, (x', y')⟩ → f(x,y,t) = y(x(t), y(t)) = F(t) Ex 1: Defina f(x,y) assim: f(x,y) = x^2 y e V(t) assim: V(t) = ⟨cos(t), sen(t)⟩ calcule ∂/∂t f(V(t)) 1) Descreva as funções componentes de V(t) x(t) = cos(t) y(t) = sen(t) De acordo com a regra da cadeia: d/dt f(V(t)) = ∂f/∂x dx/dt + ∂f/∂y dy/dt 2) Calculando as derivadas parciais de f(x,y) = x^2 y e as derivadas ordinárias de x(t) = cos(t), y(t) = sen(t), temos: ∂/∂x (x^2 y) d/dt (cos(t)) + ∂/∂y (x^2 y) d/dt (sen(t)) = 2xy(-sen(t)) + x^2(cos(t)) 3) Queremos que tudo esteja em termos de t, então substituímos x = cos(t) e y = sen(t) (2xy)(-sen(t)) + (x^2)(cos(t)) (cos(t) sen(t)) (-sen(t)) + cos(t)^2 • cos(t) = -2cos(t)sen^2(t) + cos^3(t) no caso ocorra xf = x(u,v) y = y(u,v) ∂f/∂u = ∂f/∂xe ∂x/∂u + ∂f/∂y ∂y/∂u ∂f/∂v = ∂f/∂xe ∂x/∂v + ∂f/∂y ∂y/∂v ex sendo x = u cos(u + π) → x(u,v) y = v^2 - u^2 y(u,v) sabendo que ∂f/∂x (-2,-4) = 3 e ∂f/∂y (-2,-4) = 2 encontre: ∂f/∂u(0,2), ∂f/∂v (0,2) 1) substitui o ponto (0,2) na fórmula F F(0,2) = f(x(0,2), y(0,2)) = f(-2,-4) ∂f/∂u(0,2) = ∂f/∂x (-2,-4) ∂x/∂u (0,2) + ∂f/∂y (-2,-4) ∂y/∂u(0,2) = 3[-v sen(uu+π)] + 2[2u] = 0 ∂f/∂v(0,2) = ∂f/∂x (-2,-4) ∂x/∂v(0,2) + ∂f/∂y(-2,-4) ∂y/∂v(0,2) = 3[cos(uu+π)] + 2[-2uv] = -3 - 8 = -11 cosπ = -1 π/2π0 -1π -1 3π/2 Data: . . .2023 2) Considere: G(x,y,z)=F(sqrt{x2+y2}, sqrt{x2+z2}, \frac{w}{u}) Calcule Gu, Gv e Guu em: G(0,1,2)=F(1,0,2) - separar "x", "y" e "z" x=\sqrt{x2+y2}, y=\sqrt{x2+z2}, z=\frac{w}{u} - achar derivada parcial de "G" em relação a "u" \frac{\partial G}{\partial u} (0,1,2)? \frac{\partial}{\partial u} derivada "\lambda", "\mu" e "z" \frac{\partial G}{\partial u}=\frac{\partial G}{\partial x} (0,1,2) \cdot \frac{\partial x}{\partial u} (1,0,2) + \frac{\partial G}{\partial y} (0,1,2) \cdot \frac{\partial y}{\partial u} (1,0,2) + \frac{\partial G}{\partial z} (0,1,2) \cdot \frac{\partial z}{\partial u} (1,0,2) \frac{\partial x}{\partial u}=\lambda \rightarrow \frac{\partial x}{\partial u} (1,0,2) = pag os "x2", "y" e "z" lá de cima e deriva \frac{\partial y}{\partial u}=\mu \rightarrow \frac{\partial y}{\partial u} (1,0,2) = aplica nos pontos dados da função \frac{\partial z}{\partial u}= \frac{-\nu^2}{u^2} \rightarrow \frac{\partial z}{\partial u} (1,0,2)= \frac{-2}{1} (-2) logo, \frac{\partial G}{\partial u} (0,1,2) =-1.2 + 3.2 + 2 - 2 =-2 + 6 - 4 =0, Data: 09.07.2023 VALORES EXTREMOS COM RESTRIÇÃO (multiplicadores de Lagrange) Ex 1) Minimize a função f(x,y,z)=x2 + y2 + z2 dado que x + y + z = 9 RESTRIÇÃO \(g(x,y,z) = x + y + z - 9\) II) faz o gradiente (derivadas parciais) \(\nabla f(x,y,z) = \)<2x, 2y, 2z> \(\nabla g(x,y,z) = \)<1,1,1> f(3,3,3)=32 + 32 + 32 = 27, mínimo da função III) monta o sistema l\((x,y,z) = \lambda\nabla g(x,y,z)\) x + y + z = 9 IV) substitui <2x, 2y, 2z> = \lambda<1,1,1> x + y + z = 9 V) substitui o \lambda no vetor <2x, 2y, 2z> = \lambda<x,y,z> x + y + z = 9 VI) iguala os \lambda, acha o valor e substitui na restrição 2x = \lambda \rightarrow x = y = z = \frac{\lambda}{2} 2y = \lambda 2z = \lambda x + y + z = 9 \frac{3\lambda}{2} = 9 \rightarrow \lambda = 6 6, "x", "y" e "z" valem 3. Ex 2) Determine os valores extremos da função f(x,y,z)=2x + 2y + z sujeita à restrição g(x,y,z)=x2+y2+z2=9 I) calcular os gradientes de "f" e "g" (formado pelas derivadas parciais com relação a "x", "y" e "z") \(\nabla f(x,y,z) = \)<2, 2, 1> \(\nabla g(x,y,z) = \)<2x, 2y, 2z> II) colocar os gradientes no sistema como \lambda e a restrição. \(\nabla f(x,y,z) = \lambda\nabla g(x,y,z)\) x2 + y2 + z2 = 9 III) substitui os gradientes <2, 2, 1> = \lambda <2x, 2y, 2z> x2 + y2 + z2 = 9 IV) formar outras equações separadas 1 = 2x \rightarrow \lambda 1 = 2y 1 = 2z x2 + y2 + z2 = 9 substitui x \neq 0, y \neq 0, z \neq 0 \lambda \neq 0 Data: 08.07.2023 VI) achar os valores de "x", "y" e "z" \(x = \frac{z}{2} \rightarrow \lambda , y = \frac{z}{2} \rightarrow \lambda z = \frac{\lambda}{2} L= x^2 + y^2 + z^2 = 9 (\frac{\lambda}{2})^2 + (\frac{\lambda}{2})^2 + (\frac{\lambda}{2})^2 = 9 \frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{4\lambda^2} = 9 =\frac{3}{4\lambda^2} = \frac{3}{4\lambda^2} \rightarrow \frac{1}{4\lambda^2} \neq 9 =\frac{1}{16}\nabla f(x,y,z) x^2 + y^2 + z^2 = 9 \nabla x,y,z= ângulo 9, e -9 max e min EX:f(x,y)=xy(x+y-1) P1=(0,0), P2i=(1,0), P3=(0,1) e P4=(\frac{1}{3},\frac{3}{2}) \nabla f= (0,0) FY=2xy+y^2-y FX= x^2+2xy-x FY=2x+2y-1 H=[[fu2x .fu2y -fu2x] H(fu2[0,0]) =>-fxy+fyx2 H=(-1)^2=1>0 PSÉ Gra\dient f=f1(x,y,z) Vo\tex a raiz=0,0,0 = PS12 equação1=(0,0\rightarrow )"ponto de sela"=0,0,1 =>1 2+1=\frac{1}{2} Data: . . 9b+5\nExemplo 2: Seja a>0 tal que\nx+y+z=a, x,y,z>=0.\nEncontre o produto maximo atingido pela funcao f(x,y,z)=x.y.z.\nConclui que:\n3./x.y.z\n3 <= x + y + z\nFuncoes implicitas\nQueremos encontrar a equacao da reta tangente e normal \xe0 curva\nF(x,y)=0 (1)\nem um ponto especifico P0=(x0,y0).\nExemplos:\na) y^3-xy + x^2=3, P0=(2,1)\n1^3-2.1 + 2^2 \n3 = 1+4+3\n- F(x,y)=y^3-xy+2 = 3=0\n- Fx=-y +2x , Fy=3y^2 - x\nlogo:\ny'(x)= -Fx =-2x-y\nFy 3y^2-x\nTeorema: Seja F(x,y) uma funcao diferenciavel com Fy /=0. Entao se\nP=(x0, y0) e tal que\nF(x0,y0)=0\nEntao existe um retangulo\n...0 F(x,y) X0-X<e, X0+e, Y0-5<...\ne uma unica funcao:\nF( ... (x, ... )) Fx y==0 ... 0 ...\nlogo: como... -Fx\nFy1 quando substi-\n...uimos em (3).\n.../2 ...3,F-...F/...\n Exemplo ... ... -u^2v^2...\nLogo, teorema nao vale para y... x(e, x0)\nPorém com ... !=0 ..., podemos supor x=x(y).\n. F(x(y), y)=0\nPelo teorema da funcao implica-\nta: x'(y) = -F... x'(0) = 0\n3 -0\nMudanca de Coordenadas\nConsidere as equacoes:\n(4) x=x(u, v)\n ... ...\nSobre que ... poderiamos ... forma a ouen-\n(5)inander\n... no coorden-\nDefinicao: jacobiano e o determi-\nno... v, uxuy...\nExemplo: ... a transf...\nxtxt...u. t permio\n...\n.... w\nF-1\n ...... \n2 00 ...vx\n..... pulo ...\nCalculos da inversa:\n...y=2u => ...\nx ..y.\nocorrexa(u, r)\n... u ...\n ... sen... ... term..re.\nj... mterm...latao\n...1... \nMexemplo 1: ... a transformacao; xtrermarem⟨x a\nnotaca... ... ⨯0\n...\n...\nnaaplokara margermi... parte est...'v',1p q... ... ... ... \n👎