Anotações - Vetor Binominal - 2023-1

Cálculo I Funções do R^n (n = 2, 3) Uma função f: R^n -> R é uma função de n variáveis de valores reais. Exemplos: a) f(x,y) = x^2 + y^2 b) z = 1 - x^2 - y^2 c) w = x^2 + y^2 + z^2 d) f(x,y,z) = x \/ y - z Exemplo: a) f(x,y,z) = 1 / x * y * z Esboço de Domínios Domínio: {(x,y,z) \lw: f(x,y,z)} Domínio = R^2 (ou R^3) Exemplos (Soluções): a) D = R^2 b) 1 - x^2 - y^2 >= 0 <=> x^2 + y^2 <= 1 c) 16 - x^2 - y^2 - z^2 > 0 <=> x^2 + y^2 + z^2 < 16 b) lim (x,y) -> (0,0) arctg (x/y) x -> 0, y -> 0 => 1/x -> 1/0 z -> 0 Exemplo 1: I lim (x,y) -> (0,0) S x^2 + y^2 x -> 0, y -> 2/3 = lim sin (x^2 + y^2) / x^2 + y^2 x -> 0, y -> 0; x^2 + y^2 = 0 * Lembrando propriedades: - lim sen(x) / x = 1 x -> x0 - lim sen f(x) = f'(x0) x -> f(x) - lim f(x) = 0 x -> x0 - Se em direções diferentes os limites forem diferentes, então o limite não existe. Exemplo: IV lim x, y -> 0,0 sen sqrt(x^2 + y^2) Método: x = t cos a y = t sin a Se x -> 0, y -> 0, então t -> 0 - Usando o eixo x e a reta y = x: - Pela reta y = 0. lim x -> 0 x^2 / x+0+z Pela reta y = x. - Como x = 0 e. Lim x, y -> 0. x^2 / x^2 = 1 / 2 Logo, o limite não existe. VI lim x, y -> 0. y^2 / x^2 + y^2 + z^2 - Para y = 0 - lim x, y, z -> (0,0,0) 0 - Para z = y = z - lim x, y, z -> (0,0,0) x * y * z / x^2 * y^2 * z = 1 / 2 O limite não existe. \text{Teorema: Se } z=f(x,y) \text{ está definida em} \text{ um conjunto } D \subseteq \mathbb{R}^2. \text{ Se } f_x \text{ e } f_y \text{ forem} \text{ contínuas em algum conjunto aberto de} D, \text{ então } f(x,y) \text{ é diferenciável.} z=\sqrt{|xy|} \quad f_x(0,0)=0 z_x=\frac{1}{2}\frac{|y|}{\sqrt{|xy|}}, \lim_{x \to 0, y \to 0} z_x(x,y) \nexists z_x(0,0) # \text{ Vetor Gradiente e Plano Tangente} \text{Seja } z=f(x,y). \text{ O vetor gradiente} \text{é definido por:} \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial t}{\partial y} \right) \text{Caso } f=f(x,y,z) \text{ então:} \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial t}{\partial y}, \frac{\partial t}{\partial z} \right) \text{Exemplo: } a) f(x,y) = x^2\cos xy \nabla f = \left( 2x\cos xy - yx^2\sin xy, -y^2 \cancel{\sin xy}, x^3 \sin xy \right) \text{Plano} \text{tangente: } \text{obtido } \text{por } \text{produto interno} D f(x,y,z) = \frac{-1}{x^2+y^2+z^2}\cdot(x^2y^2) \nabla F = \left( \frac{-2x}{(x^2+y^2+z^2)^2}, \frac{-2y}{(x^2+y^2+z^2)^2}, \frac{-2z}{(x^2+y^2+z^2)^2} \right) \text{- Propriedade do vetor gradiente:} \text{O gradiente é normal a qualquer} \text{vetor que pertence ao plano tangente.} \text{product} \text{Exemplo: Encontra a equação} \text{da reta tangente e normal a superfície:} \nabla F = \{2(x, y, z) \}\text{ + } \{(x,y,z)=(1,1,1) \} \nabla F(x,y,z)=(2x, -2y+2z, -3z) \text{Fazendo o produto interno} (2(x-1) -2(y-1) +2(z-1) = 0 (x-y+2)\text{ = } 0\quad\Rightarrow \text{ plano tangente } \pi_F: \nabla (a\cdot f(p_0), (x-x_0,y-y_0,z-z_0))>0 \text{Se } p_0=(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) \text{ e } p=(x,y,z) \nabla f(p_0) \cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)>0 \text{a product of a interior} \text{eles são ortogonais:} P_0 = P_0 f \text{normal result} \R\_\\n_f: P = p_0 + t\nabla f(p_0) (x,y,z) = (c_1, c_2, c_3) + (a_1,a_2,a_3) \text{Então as equações paramétricas são:} \begin{cases} x = 1 + 2t \ y = 1 - 4t \ z = 1 + 2t \ \end{cases}