Avaliação - 2023-1

1. (2,0) Verifique se a função f(x, y) = \frac{x^3}{x^2 + y^2} se (x, y) \neq (0,0), e f(0,0) = 0 é contínua na origem. 2. (2,0) Mostre que a função: f(x, y) = (x^2 + y^2) \sin \left( \frac{1}{x^2 + y^2} \right) se (x, y) \neq (0,0), e f(0,0) = 0 é diferenciável na origem. 3. (2,0) Verifique se: a. A função z = \cos(x^2 + y^2) satisfaz a equação diferencial: z_{xx} + z_{yy} + z_{xx} = -4z(x^2 + xy + y^2). b. A função z = xye^{xy} satisfaz a equação diferencial xz_{xxx} + yz_{yyx} = 0 4. (2,0) Encontrar a equação do plano tangente e da reta normal a superfície x^2 - 2 y^2 - 4z^2 = 10 em P = (4, -1, 1). 5. (2,0) Encontre as expressões da curvatura e torção da hélice circular P(t) = (3 \sin \alpha t, 3 \cos \alpha t, t) em um ponto genérico.