Lista 4 - 2023-1

1. Encontre os valores extremos locais das funções abaixo e classi que-os: a. z = x2 − y2 b. z = V x+ V y+ xy, V > 0. c. z = x2(y − 1) + y(2x − y) d. z = x sin y + y 2. Utilize a regra da cadeia para calcular ∂z ∂u e∂z a. z = tan(x2 − 3y2), x = u cos v, y = u sin v ∂u. b. z = x ln y, x = sin u + cos v, y = sin y − cos v 3. Considere f(x, y, z) uma função diferenciável e P0 = (0, 0) tal que fx(P0) = 2 e fy(P0) = 3 e fz(P0) = −1. De na g(u, v) = f(u2 − v2, u2 − 1, 3v − 3). Encontre gu(1, 1) e gv(1, 1). 4. Encontre o máximo e mínimo da função x + y + z sobre a esfera x2 + y2 + z2 = 1; 5. Mostre que a distância de um ponto (x0.y0) a uma reta ax + by + c = 0 é | ax0 + by0 + c | √a2 + b2 6. Mostre que de todos os paralelepípedos retângulos de mesmo volume V, o de menor área é o cubo. Faça o inverso, mostre que de todos os paralelepípedos retângulos de mesma área A, o de maior volume é o cubo. 7. Veri car o Teorema da função implícita para F(x, y) = x3y2 − ln xy + x − 2y no ponto P0 = (1, 1). Nesse caso existe y = y(x) ou x = x(y)? Caso existe algum deles encontre as derivadas primeira e segunda ordem no ponto dado. 8. Veri que a veracidade do Teorema da Função Implícita para a função f(x, y) = y sin xy + ln(x2 + y2) no ponto P0 = (0, 1) e calcule as derivadas primeira e segunda no ponto dado. 2 9. Use o Teorema da função inversa para mostrar que a função de nida por: f(x, y) = x √1 + x2 + y2 ,y √x2 + y2 + 1 tem inversa em qualquer ponto (x0, y0) ∈ R2. 10. 2. Mostre que as coordenadas u, v obtidas pela transformação u = x2 − y2, v = 2xy são ortogonais e identi que as curvas u = const. e v = const.. 11. Mostre que a equação da onda ∂2u ∂x2 − 1c2∂u ∂y2= 0 se transforma em ∂2u ∂ξ∂η = 0 quando fazemos a mudança de coordenadas ξ = x + ct, η = x − ct. 12. Seja f uma função tal que f′(u) é contínua e sempre positiva ou sempre negativa. Mostre que a tranformação x = f(u), y = −v + uf(u) é inversível e calcule a sua inversa g = f−1. São Luís - 202X