Atividade 3-2022 2

Seja o escoamento bidimensional definido pelo seguinte perfil de velocidade vecV y3 3xy2hatj 3xy2 x3hatk Mostre que o escoamento é incompressível e irrotacional Em seguida determine as funções de corrente e potencial que geram esse campo de velocidade Água escoa em regime permanente a uma vazão de 10 kgs em uma tubulação com diâmetro de 80 mm Em seguida a tubulação sofre uma redução para um diâmetro de 50 mm conforme ilustrado na Figura 1 Assim determine a queda de pressão ocorrida devido à redução de diâmetros desprezando os efeitos viscosos Figura 1 Redução em tubulação de água Questão 1 Para provar que é incompressível calculamos o divergente 𝑑𝑖𝑣 𝑉 𝑉𝑥 𝑥 𝑉𝑦 𝑦 𝑑𝑖𝑣 𝑉 𝑦3 3𝑥2𝑦 𝑥 3𝑥𝑦2 𝑥3 𝑦 𝑑𝑖𝑣 𝑉 3𝑥2𝑦 𝑥 3𝑥𝑦2 𝑦 𝑑𝑖𝑣 𝑉 3𝑦 𝑥2 𝑥 3𝑥 𝑦2 𝑦 𝑑𝑖𝑣 𝑉 3𝑦2𝑥 3𝑥2𝑦 𝑑𝑖𝑣 𝑉 6𝑥𝑦 6𝑥𝑦 𝒅𝒊𝒗 𝑽 𝟎 Como o divergente é nulo temos que o escoamento é incompressível Para provar que é irrotacional calculamos o rotacional 𝑟𝑜𝑡 𝑉 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 𝑉𝑥 𝑉𝑦 𝑉𝑧 𝑟𝑜𝑡 𝑉 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦3 3𝑥2𝑦 3𝑥𝑦2 𝑥3 0 𝑟𝑜𝑡 𝑉 3𝑥𝑦2 𝑥3𝑧𝑖 𝑦3 3𝑥2𝑦𝑧𝑗 3𝑥𝑦2 𝑥3𝑥 𝑦3 3𝑥2𝑦𝑦𝑘 𝑟𝑜𝑡 𝑉 0𝑖 0𝑗 3𝑦2 3𝑥2 3𝑦2 3𝑥2𝑘 𝑟𝑜𝑡 𝑉 0𝑖 0𝑗 0𝑘 𝒓𝒐𝒕 𝑽 𝟎𝟎 𝟎 Como o rotacional é nulo temos que o escoamento é irrotacional Seja 𝑢 a função potencial Logo devemos ter 𝑢 𝑥 𝑦3 3𝑥2𝑦 Água escoa em uma tubulação horizontal que sofre uma redução em seu diâmetro de 80 mm para 60 mm Um manômetro em U é conectado entre dois pontos 1 e 2 antes e depois respectivamente da contração de diâmetro conforme ilustrado na Figura 2 Assim desprezando os efeitos do atrito e considerando a densidade do mercúrio igual 136 determine a vazão volumétrica do escoamento Figura 2 Manômetro em U conectado em tubulação de água com redução 𝑢 𝑦 3𝑥𝑦2 𝑥3 Integrando estas equações temos 𝑢 𝑥𝑦3 𝑥3𝑦 𝑢 𝑥𝑦3 𝑥3𝑦 Logo a função potencial é 𝒖 𝒙𝒚𝟑 𝒙𝟑𝒚 𝑪 Seja 𝜓 a função de corrente Assim devemos ter 𝜓 𝑦 𝑦3 3𝑥2𝑦 𝜓 𝑥 3𝑥𝑦2 𝑥3 3𝑥𝑦2 𝑥3 Integrando ambas equações obtemos 𝜓 𝑦4 4 3 2 𝑥2𝑦2 𝑓𝑥 𝜓 3 2 𝑥2𝑦2 𝑥4 4 𝑔𝑦 Por comparação das equações temos 𝑓𝑥 𝑥4 4 e 𝑔𝑦 𝑦4 4 Logo a função corrente fica 𝝍 𝒚𝟒 𝟒 𝟑 𝟐 𝒙𝟐𝒚𝟐 𝒙𝟒 𝟒 Questão 2 Calculamos o divergente 𝑑𝑖𝑣 𝑉 𝑉𝑥 𝑥 𝑉𝑦 𝑦 𝑉𝑧 𝑦 𝑑𝑖𝑣 𝑉 𝑥𝑦2𝑧2𝑡 𝑥 𝑥2𝑦𝑧2𝑡 𝑦 𝑥2𝑦2𝑧𝑡 𝑦 𝑑𝑖𝑣 𝑉 𝑦2𝑧2𝑡 𝑥 𝑥 𝑥2𝑧2𝑡 𝑦 𝑦 𝑥2𝑦2𝑡 𝑧 𝑦 𝑑𝑖𝑣 𝑉 𝑦2𝑧2𝑡 𝑥2𝑧2𝑡 𝑥2𝑦2𝑡 𝒅𝒊𝒗 𝑽 𝒚𝟐𝒛𝟐 𝒙𝟐𝒛𝟐 𝒙𝟐𝒚𝟐𝒕 Calculamos o rotacional 𝑟𝑜𝑡 𝑉 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 𝑉𝑥 𝑉𝑦 𝑉𝑧 𝑟𝑜𝑡 𝑉 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑦2𝑧2𝑡 𝑥2𝑦𝑧2𝑡 𝑥2𝑦2𝑧𝑡 𝑟𝑜𝑡 𝑉 𝑥2𝑦2𝑧𝑡𝑦 𝑥2𝑦𝑧2𝑡𝑧𝑖 𝑥𝑦2𝑧2𝑡𝑧 𝑥2𝑦2𝑧𝑡𝑥𝑗 𝑥2𝑦𝑧2𝑡𝑥 𝑥𝑦2𝑧2𝑡𝑦𝑘 𝑟𝑜𝑡 𝑉 2𝑦𝑥2𝑧𝑡 2𝑥2𝑦𝑧𝑡𝑖 2𝑥𝑦2𝑧𝑡 2𝑥𝑦2𝑧𝑡𝑗 2𝑥𝑦𝑧2𝑡 2𝑥𝑦𝑧2𝑡𝑘 𝑟𝑜𝑡 𝑉 0𝑖 0𝑗 0𝑘 𝒓𝒐𝒕 𝑽 𝟎𝟎 𝟎 Questão 3 Podemos aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 Assim obtemos 𝑃1 𝜌 𝑉1 2 2 𝜌𝑔𝑧1 𝑃2 𝜌 𝑉2 2 2 𝜌𝑔𝑧2 𝑃1 𝜌 𝑉1 2 2 𝑃2 𝜌 𝑉2 2 2 Assim a diferença de pressão é dada por 𝑃 𝑃1 𝑃2 𝜌 𝑉2 2 2 𝜌 𝑉1 2 2 𝑃 𝜌 2 𝑉2 2 𝑉1 2 Escrevendo em termos da vazão temos 𝑃 𝜌 2 𝑚 𝜌𝐴2 2 𝑚 𝜌𝐴1 2 𝑃 𝑚2 2𝜌 1 𝐴2 2 1 𝐴1 2 𝑃 𝑚2 2𝜌 1 𝜋 4 𝐷2 2 2 1 𝜋 4 𝐷1 2 2 𝑃 16 𝜋2 𝑚2 2𝜌 1 𝐷2 2 2 1 𝐷1 2 2 𝑃 8 𝜋2 𝑚2 𝜌 1 𝐷2 4 1 𝐷1 4 Substituindo valores temos 𝑃 8 𝜋2 102 1000 1 00504 1 00804 𝑃 10990 𝑃𝑎 𝑷 𝟏𝟏 𝒌𝑷𝒂 Questão 4 Pela conservação da massa temos que 𝐴1𝑉1 𝐴2𝑉2 𝜋 4 𝐷1 2𝑉1 𝜋 4 𝐷2 2𝑉2 𝐷1 2𝑉1 𝐷2 2𝑉2 𝑉1 𝐷2 2 𝐷1 2 𝑉2 Aplicando a equação de Bernoilli entre os pontos 1 e 2 temse 𝑃1 𝜌𝑔𝑧1 1 2 𝜌𝑉1 2 𝑃2 𝜌𝑔𝑧2 1 2 𝜌𝑉2 2 𝑃1 1 2 𝜌𝑉1 2 𝑃2 1 2 𝜌𝑉2 2 𝑃1 𝑃2 1 2 𝜌𝑉2 2 𝑉1 2 𝑃1 𝑃2 1 2 𝜌 𝑉2 2 𝐷2 𝐷1 4 𝑉2 2 𝑃1 𝑃2 1 2 𝜌𝑉2 2 1 𝐷2 𝐷1 4 Mas a diferença de pressão entre os pontos é dada por 𝑃1 𝑃2 𝜌𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜𝑔ℎ Assim temos 𝜌𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜𝑔ℎ 1 2 𝜌𝑉2 2 1 𝐷2 𝐷1 4 2 𝜌𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜 𝜌 𝑔ℎ 𝑉2 2 1 𝐷2 𝐷1 4 𝑉2 2 𝜌𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜 𝜌 𝑔ℎ 1 𝐷2 𝐷1 4 𝑉2 2 136 98 0005 1 60 80 4 𝑉2 1396 𝑚 𝑠 Assim a vazão é dada por 𝑄 𝑉2 𝜋 4 𝐷2 2 𝑄 1396 𝜋 4 00602 𝑸 𝟎 𝟎𝟎𝟑𝟗𝟓𝒎𝟑 𝒔 𝟑 𝟗𝟓 𝒍 𝒔