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Mecânica dos Fluidos Semestre 20222 Professor Marcus V S Rodrigues UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO UFMA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA CCET CURSO CIÊNCIA E TECNOLOGIA Alunoa 3ª AVALIAÇÃO PARCIAL Turma 2 Observações a A avaliação deverá ser entregue pessoalmente na segundafeira 12 de dezembro de 2022 no horário da aula 7h30min às 9h10min b As respostas deverão ser respondidas somente à caneta não só as respostas mas todo o desenvolvimento em folha de papel A4 sem pautas não sendo aceita provas respondidas em qualquer outro formato de folha c Não serão corrigidas questões escritas à lápis d Convém deixar claro que não serão aceitas provas entregues fora do horário definido em a 01 Seja o escoamento bidimensional definido pelo seguinte perfil de velocidade V y3 3x2yi 3xy2 x3j Mostre que o escoamento é incompressível e irrotacional Em seguida determine as funções de corrente e potencial que geram esse campo de velocidade 02 Considere o campo de velocidade de um escoamento tridimensional dado por V xy2z2t i x2yz2t j x2y2zt k Determine o divergente div V e o rotacional rot V desse campo 03 Água escoa em regime permanente a uma vazão de 10 kg s em uma tubulação com diâmetro de 80 mm Em seguida a tubulação sofre uma redução para um diâmetro de Mecânica dos Fluidos Semestre 20222 Professor Marcus V S Rodrigues 50 mm conforme ilustrado na Figura 1 Assim determine a queda de pressão ocorrida devido à redução de diâmetros desprezando os efeitos viscosos Figura 1 Redução em tubulação de água 04 Água escoa em uma tubulação horizontal que sofre uma redução em seu diâmetro de 80 mm para 60 mm Um manômetro em U é conectado entre dois pontos 1 e 2 antes e depois respectivamente da contração de diâmetro conforme ilustrado na Figura 2 Assim desprezando os efeitos do atrito e considerando a densidade do mercúrio igual 136 determine a vazão volumétrica do escoamento Figura 2 Manômetro em U conectado em tubulação de água com redução Partindose da Equação Geral de Conservação de Massa temos que δρ δ𝑡 δρ𝑢 δ𝑥 δρ𝑣 δ𝑦 δρ𝑤 δ𝑧 0 Para que o escoamento seja incompressível a densidade não irá variar nem com o tempo nem com o espaço dessa maneira a equação se reduz a δ𝑢 δ𝑥 δ𝑣 δ𝑦 δ𝑤 δ𝑧 0 Sabese que e através do perfil de velocidade dado 𝑢 𝑦 3 3𝑥 2𝑦 𝑣 3𝑥𝑦² 𝑥³ 𝑤 0 Dessa maneira δ𝑦 33𝑥 2𝑦 δ𝑥 δ3𝑥𝑦²𝑥³ δ𝑦 δ0 δ𝑧 6𝑥𝑦 6𝑥𝑦 0 Dessa maneira o perfil de velocidades representa um possível escoamento incompressível Partindose do produto vetorial entre o gradiente de velocidade e o próprio perfil de velocidade determinase o vetor rotacional Segue que Dessa maneira temos que e Caso os três componentes do ω𝑥 1 2 δ𝑤 δ𝑦 δ𝑣 δ𝑧 ω𝑦 1 2 δ𝑢 δ𝑧 δ𝑤 δ𝑥 ω𝑧 1 2 δ𝑣 δ𝑥 δ𝑢 δ𝑦 vetor rotacional forem nulos o escoamento é irrotacional Segue que ω𝑥 1 2 δ𝑤 δ𝑦 δ𝑣 δ𝑧 1 2 δ0 δ𝑦 δ3𝑥𝑦²𝑥³ δ𝑧 0 ω𝑦 1 2 δ𝑦 33𝑥 2𝑦 δ𝑧 δ0 δ𝑥 0 ω𝑧 1 2 δ3𝑥𝑦²𝑥³ δ𝑥 δ𝑦 33𝑥 2𝑦 δ𝑦 1 2 3𝑦² 3𝑥² 3𝑦² 3𝑥² 0 Como o escoamento é irrotacional ω𝑥 ω𝑦 ω𝑧 0 Através das Equações de CauchyRiemann é possível determinarse as funções corrente e potencial Segue que e Dessa maneira temos que δϕ δ𝑥 δΨ δ𝑦 𝑢 δϕ δ𝑦 δΨ δ𝑥 𝑣 δΨ δ𝑦 𝑢 δΨ δ𝑦 𝑦 3 3𝑥 2𝑦 δΨ 𝑦 3 3𝑥 2𝑦 δ𝑦 Ψ𝑥 𝑦 𝑦 4 4 3𝑥 2𝑦 2 2 𝑐1𝑥 𝑐2 δΨ δ𝑥 𝑣 δΨ δ𝑥 3𝑥𝑦² 𝑥³ δΨ 3𝑥𝑦² 𝑥³ δ𝑥 Ψ𝑥 𝑦 3𝑥 2𝑦 2 2 𝑥 4 4 𝑐3𝑦 𝑐4 Notase que dessa maneira e Dessa maneira a função corrente 𝑐1𝑥 𝑥 4 4 𝑐3𝑦 𝑦 4 4 é que gera o campo de velocidade dado é sendo uma constante qualquer Ψ𝑥 𝑦 3𝑥 2𝑦 2 2 𝑥 4 4 𝑦 4 4 𝑐 𝑐 δϕ δ𝑥 𝑢 δϕ δ𝑥 𝑦 3 3𝑥 2𝑦 δϕ 𝑦 3 3𝑥 2𝑦 δ𝑥 ϕ𝑥 𝑦 𝑥𝑦 3 𝑥 3𝑦 𝑐1𝑦 𝑐2 δϕ δ𝑦 𝑣 δϕ δ𝑦 3𝑥𝑦² 𝑥³ δϕ 3𝑥𝑦² 𝑥³ δ𝑦 ϕ𝑥 𝑦 𝑥𝑦 3 𝑥 3𝑦 𝑐3𝑥 𝑐4 Dessa maneira a função potencial é que gera o campo de velocidade dado é sendo e funções que dependem apenas de x ϕ𝑥 𝑦 𝑥𝑦 3 𝑥 3𝑦 𝑓𝑥 𝑓𝑦 𝑓𝑥 𝑓𝑦 e y 𝑑𝑖𝑣𝑉 𝐹 𝑑𝑖𝑣𝑉 δ δ𝑥 δ δ𝑦 δ δ𝑧 𝑥𝑦²𝑧²𝑡 𝑥²𝑦𝑧²𝑡 𝑥²𝑦²𝑧𝑡 𝑑𝑖𝑣𝑉 δ𝑥𝑦²𝑧²𝑡 δ𝑥 δ𝑥²𝑦𝑧²𝑡 δ𝑦 δ𝑥²𝑦²𝑧𝑡 δ𝑧 𝑑𝑖𝑣𝑉 𝑦²𝑧²𝑡 𝑥²𝑧²𝑡 𝑥²𝑦²𝑡 𝑑𝑖𝑣𝑉 𝑡𝑥²𝑦² 𝑥²𝑧² 𝑦²𝑧² 𝑟𝑜𝑡𝑉 𝐹 𝑟𝑜𝑡𝑉 δ𝑤 δ𝑦 δ𝑣 δ𝑧 𝑖 δ𝑢 δ𝑧 δ𝑤 δ𝑥 𝑗 δ𝑣 δ𝑥 δ𝑢 δ𝑦 𝑘 𝑟𝑜𝑡𝑉 δ𝑥²𝑦²𝑧𝑡 δ𝑦 δ𝑥²𝑦𝑧²𝑡 δ𝑧 𝑖 δ𝑥𝑦²𝑧²𝑡 δ𝑧 δ𝑥²𝑦²𝑧𝑡 δ𝑥 𝑗 δ𝑥²𝑦𝑧²𝑡 δ𝑥 δ𝑥𝑦²𝑧²𝑡 δ𝑦 𝑘 𝑟𝑜𝑡𝑉 2𝑥²𝑦𝑧𝑡 2𝑥²𝑦𝑧𝑡𝑖 2𝑥𝑦²𝑧𝑡 2𝑥𝑦²𝑧𝑡𝑗 2𝑥𝑦𝑧²𝑡 2𝑥𝑦𝑧²𝑡𝑘 𝑟𝑜𝑡𝑉 0 0 0 Sabese que a vazão volumétrica pode ser obtida através da vazão mássica e da densidade do fluido em escoamento Dessa maneira temos que 𝑤 ρ𝑄 𝑄 𝑤 ρ 𝑄 10 𝑘𝑔 𝑠 10 3 𝑘𝑔 𝑚 3 0 01 𝑚 3 𝑠 A vazão volumétrica é de 0 01 𝑚 3 𝑠 A partir da vazão volumétrica é possível se obter as velocidades de escoamento nas seções de 80mm e 50mm Segue que 𝑄 𝑢𝐴 𝑢1 𝑄 𝐴1 001 𝑚 3 𝑠 π4010 3𝑚 2 1 989 𝑚 𝑠 𝑢2 𝑄 𝐴2 001 𝑚 3 𝑠 π2510 3𝑚 2 5 093 𝑚 𝑠 Aplicandose a Eq de Bernoulli temos que 𝑢² 2 𝑃 ρ 𝑔𝑧 0 Como a tubulação não varia de nível Dessa maneira 𝑔𝑧 0 𝑢² 2 𝑃 ρ 0 𝑢2 2𝑢1 2 2 𝑃 ρ 0 𝑃 ρ 𝑢2 2𝑢1 2 2 𝑃 ρ 𝑢1 2𝑢2 2 2 𝑃 10 3 𝑘𝑔 𝑚 3 1989 𝑚 𝑠 25093 𝑚 𝑠 2 2 𝑃 10991 26 𝑃𝑎 A queda de pressão que ocorre é de 10991 26 𝑃𝑎 Realizandose o balanço no manômetro em tubo U dado temos que 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃1 ρá𝑔𝑢𝑎 𝑔 𝐻 ρá𝑔𝑢𝑎 𝑔 ℎ 𝑃2 ρá𝑔𝑢𝑎 𝑔 𝐻 ρ𝑚𝑒𝑟𝑐ú𝑟𝑖𝑜 𝑔 ℎ 𝑃1 ρá𝑔𝑢𝑎 𝑔 ℎ 𝑃2 ρ𝑚𝑒𝑟𝑐ú𝑟𝑖𝑜 𝑔 ℎ 𝑃2 𝑃1 ρá𝑔𝑢𝑎 𝑔 ℎ ρ 𝑚𝑒𝑟𝑐ú𝑟𝑖𝑜 𝑔 ℎ 𝑃2 𝑃1 10 3 𝑘𝑔 𝑚 3 10 𝑚 𝑠 2 5 10 3𝑚 13 6 10 3 𝑘𝑔 𝑚 3 10 𝑚 𝑠 2 5 10 3𝑚 𝑃2 𝑃1 630 𝑃𝑎 Obtendose as velocidades e em função da vazão 𝑢1 𝑢2 𝑢1 𝑄 𝐴1 𝑄 𝑚 3 𝑠 π4010 3𝑚 2 198 94𝑄 𝑚 𝑠 𝑢2 𝑄 𝐴2 𝑄 𝑚 3 𝑠 π3010 3𝑚 2 353 68𝑄 𝑚 𝑠 Aplicandose a Eq de Bernoulli 𝑢² 2 𝑃 ρ 𝑔𝑧 0 Como a tubulação não varia de nível Dessa maneira 𝑔𝑧 0 𝑢² 2 𝑃 ρ 0 𝑢2 2𝑢1 2 2 𝑃 ρ 0 35368𝑄 219894𝑄 2 2 630 10 3 0 42756 21𝑄 2 0 63 𝑄 2 1 473 10 5 𝑄 0 00384 𝑚 3 𝑠 A vazão volumétrica do escoamento é de 0 00384 𝑚 3 𝑠