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Notas de Aula de Física 1182 S. R. DAHMEN INSTITUTO DE FÍSICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL 91501-970 PORTO ALEGRE RS Versão 01/2017 2 Conteúdo 1 A Lei da Indução de Faraday 1 1.1 A Lei de Faraday 1 1.1.1 Efeitos práticos 2 1.1.2 Exemplo resolvido de cálculo de voltagem e corrente induzidas: Capítulo 3, problema 33 do Tipler 3 1.2 Problemas propostos 6 2 A Indutância 7 2.1 A Indutância 7 2.1.1 Auto-indutância e indutância mútua 8 2.1.2 Exemplo resolvido de cálculo da indutância: duas bobinas de diferentes raios, concêntricas, uma dentro da outra 9 2.1.3 Efeitos práticos 11 2.2 Problemas propostos 13 3 Circuitos AC: corrente alternada 15 3.1 Circuitos LRC (Indutor, Resistor, Capacitor) de corrente alternada 15 3.2 Reatâncias: resistências em um circuito CA 22 3.3 Exemplos resolvidos 23 3.4 Circuito RLC em série 24 3.5 Correntes e Voltagens 28 3.6 Potência Dissipada 33 3.7 Exemplos de aplicação 34 3.8 Problemas propostos 35 3 4 A Lei da Indução de Faraday Figura 1.1: Uma espira retangular de 10 cm x 5 cm e resistência de 2,5 Ohms entra numa região onde há um campo magnético constante de 1,7 Tesla, apontando para fora da página. Esta espira tem velocidade igual a 2,4 cm/s e a variável mede o quanto dela já entrou na região do campo. 1.1 A Lei de Faraday Figura 1.2: Desenho qualitativo do gráfico da variação do fluxo. Figura 1.3: Gráfico do fluxo magnético do problema da espira retangular. O eixo vertical está em escala de Wb. 1.2 Problemas propostos 1.) Considere a mesma espira entrando na mesma região onde todos os valores são mantidos iguais. Só que agora, a velocidade, ao invés de ser uma velocidade constante, é a velocidade da espira em queda livre, partindo do repouso (ou seja, pense no desenho virado onde agora aponta na direção do centro da Terra. Então, soltamos a espira e deixamos cair dentro da região do campo). Considere queda no instante inicial a base da espira está começando a entrar na região de campo e ela parte do repouso, ou seja, com da gravidade como sendo m/s². Determine a voltagem induzida e a corrente induzida. Capítulo 2 Substituindo fluxos pelas correntes que geram os fluxos: a indutância Objetivo: O objetivo deste capítulo é um que encontramos constantemente em teorias físicas, a saber, reescrever uma lei da natureza em termos de grandezas mais acessíveis à medidas, para que assim possamos utilizá-la na prática (num laboratório ou no projeto de um equipamento do uso cotidiano). Vamos entender como é possível na prática obter voltagens induzidas com valores por nós especificados (por exemplo, uma voltagem que possamos usar em nossos lares). Para isto introduziremos o conceito de indutância. 2.1 A Indutância A Lei de Faraday sem dúvida é das mais importantes e úteis da Física, mas ela tem um problema prático: normalmente não conhecemos os campos magnéticos (seus valores) e portanto não temos como calcular o fluxo, apenas em casos muito particulares de campos constantes, como vimos no capítulo anterior. Neste caso o cálculo do fluxo se torna trivial. Porém, no dia-a-dia, campos magnéticos são gerados por correntes (que aprendemos a calcular usando a Lei de Biot-Savart) e raramente utilizamos ímãs. Isto nos leva a concluir que podemos tentar reescrever a lei de Faraday não em função do campo magnético que induz uma voltagem mas da corrente que está produzindo o campo magnético. Em outras palavras, é possível reformular a Lei de Faraday, escrevendo-a não em termos da variação do fluxo magnético mas da corrente que gera aquele fluxo. A definição é simples: como um fluxo é proporcional ao campo magnético que o gera e o campo magnético proporcional à corrente que o gera, então podemos simplesmente escrever: (2.1.1) (2.1.2) em outras palavras onde é a constante de proporcionalidade entre o fluxo e a corrente que, em última instância, é o agente gerador do fluxo. Esta grandeza L é chamada de indutância. Há casos que 8 A Indutância conseguimos calcular a indutância explicitamente (vamos ver alguns exemplos) mas há outros que simplesmente conseguimos medi-la ao comparar a corrente que gera o campo e a corrente induzida. Como assim? Bem, partindo da lei de Faraday apresentada no capítulo anterior (2.1.3) podemos simplesmente escrever, já que estamos afirmando que o fluxo é , que (2.1.4) É muito importante notar nesta expressão que temos duas correntes diferentes: uma corrente num circuito que gera o (por isso chamamos este circuito de circuito primário) e a numa espira pela variação de (por isso chamada de circuito secundário). Agora, experimentalmente é possível mostrar que a indutância é uma grandeza que depende apenas da forma geométrica do circuito e de constantes universais, e portanto pode ser tirado pra fora da integral: (2.1.5) Isto é a Lei de Faraday escrita numa forma mais prática, pois se usarmos uma corrente primária para induzir uma corrente secundária em outro circuito, basta medirmos as duas correntes e teremos o valor da indutância, cuja unidade é denominada Henry. Antes de vermos um exemplo de como calcular a indutância, façamos ainda uma breve discussão de um detalhe bastante sutil desta definição. 2.1.1 Auto-indutância e indutância mútua A definição de indutância, como vimos, é simplesmente (2.1.6) A indutância basicamente nos diz o quanto um circuito influencia magneticamente o outro. A sutileza desta fórmula vem do fato que normalmente conhecemos (em princípio basta medi-la com um amperímetro) e em alguns casos interessantes temos como calcular . Mas a quem a quem se refere o fluxo? Em outras palavras, fluxo sobre quem? Na seção anterior, falamos de um circuito primário, cuja corrente gera um campo, e um circuito secundário, que sente o campo do outro circuito. Neste caso o fluxo magnético é aquele sentido pelo secundário. Porém, pensemos num exemplo simples: uma espira gera um campo B quando nela passa uma corrente I. Mas este campo atravessa não apenas qualquer circuito que estiver próximo (qualquer circuito secundário), mas também a própria espira que gera o campo. Em outras palavras: uma circuito gera um fluxo magnético sobre si mesmo. Portanto, quando definimos o fluxo acima, devemos deixar claro sobre qual estamos falando: o fluxo sobre o circuito gerador do campo, quer dizer, o fluxo sobre si próprio ou o fluxo que ele faz sobre terceiros. 2.1 A Indutância 9 Para diferenciar então o “auto-fluxo” do fluxo sobre terceiros, usamos a expressão auto-indutância para nos referirmos ao fluxo que o circuito faz sobre sua própria área – e usamos a letra para esta grandeza – e a expressão indutância mútua quando estamos falando do fluxo que um circuito faz sobre outro – e para esta grandeza usamos a letra , para ficar claro nas fórmulas sobre quem está influenciando quem. Basicamente escrevemos assim (2.1.7) (2.1.8) Quando vemo a primeira equação imediatamente sabemos que estamos falando do fluxo de um espira sobre si própria. Quando vemos a segunda, sabemos que o não se refere à mesma espira por onde passa . Vamos imaginar então o caso geral em que temos 2 circuitos, atuando mutuamente um sobre o outro. Imaginemos que no primeiro passe uma corrente e no segundo passe uma corrente , e que eles estejam próximos o suficiente para que um sinta a ação do outro. Se perguntarmo-nos qual o fluxo que o primeiro circuito sente, podemos escrever (2.1.9) O que esta expressão nos diz é simples: o fluxo que uma espira sente tem duas contribuições: a de seu próprio campo , que é proporcional a sua própria corrente , intermediada pela sua auto-indutância . Mas também ele sente o campo da outra espira , pela qual passa uma corrente , e esta influência é medida pela indutância-mútua . Analogamente, para o fluxo que a bobina 2 sente, teremos (2.1.10) O que mostramos nas próximas linhas é que , quer dizer, a 'influência' de 1 sobre 2 é exatamente igual a de 2 sobre 1. Embora mostraremos isto num exemplo simples, o resultado é geral, motivo pelo qual normalmente se deixa os índices e de lado e só se usa a letra . 2.1.2 Exemplo resolvido de cálculo da indutância: duas bobinas de diferentes raios, concêntricas, uma dentro da outra. Olhemos para o exemplo ilustrativo de uma bobina dentro da outra. O desenho 2.1 é uma representação esquemática de uma bobina cilíndrica (solenóide reto) de raio e comprimento circundada outra bobina de raio menor e comprimento . Cada uma tem respectivamente e voltas de fios. Vamos calcular a indutância mútua e a auto indutância de uma delas. 1) Como proceder: pela definição, calcular a indutância é o equivalente a calcular o fluxo. Para sabermos o fluxo, basta supormos que passa uma corrente I em um dos solenóides. Precisamos calcular então a) o campo B, para um dado I e b) o fluxo, que é o produto de B pela área onde passa o campo. Para um solenóide reto de comprimento e voltas, pelo qual passa uma corrente , o campo magnético em seu interior é uniforme (estamos supondo que o solenóide possa ser aproximado de um solenóide ideal) e não há campo do lado de fora. Neste caso (2.1.11) onde pode-se usar o número de voltas de fio por unidade de comprimento da bobina, . Vamos olhar os 2 casos possíveis, quando passa corrente na bobina maior e quando passa corrente na bobina menor, ilustrados no lado esquerdo e direito da figura 2.2. Caso 1: corrente na bobina maior. Quando passa corrente na maior, é gerado um campo de acordo com a equação acima. Este campo vai produzir um fluxo na bobina menor. Toda a bobina menor, isto é, toda sua área, vai ser perspassada por um campo , logo concluiríamos que o fluxo seria (2.1.12) Porém não podemos nos esquecer que cada uma das voltas da bobina 2 tem uma área e cada uma destas voltas é atravessada por um fluxo devido ao campo uniforme . Logo, devemos multiplicar o resultado acima por para finalmente obtermos (2.1.13) Tudo na expressão acima que multiplica é, por consequência, a indutância mútua. Caso 2: corrente na bobina menor. Neste caso, devemos tomar um pequeno cuidado. O cálculo de é trivial (só usar a fórmula). Devemos multiplicar o fluxo em cada volta da bobina maior por , pois há voltas. O cuidado diz respeito à área usada: embora a bobina maior tenha uma área (seção reta) igual a , apenas uma fração desta área é atravessada por um campo magnético . Isto ocorre pois estamos considerando uma bobina ideal, para qual não existe campo fora dela. Assim o campo só existe dentro da bobina menor, numa área igual a . Assim no caso 2 o fluxo na bobina 1 devido a uma corrente na bobina 2 vale (2.1.14) Vamos discutir este resultado. i. Primeiramente, há uma diferença no denominador das duas expressões que obtemos para e , pois um denominador é e outro . Assim parece que a afirmação anterior que e sejam iguais parece estar errada. Na verdade não. O ponto é que imaginamos 2 solenóides de tamanhos diferentes e usamos resultados de bobinas ideais. Este resultado que obtemos só faz sentido se os solenóides forem infinitamente longos, em cujo caso e tendem a infinito e portanto não há diferença em seus comprimentos. Assim podemos ver sempre este resultado usando um só valor numérico de , ou seja, . É possível provar, rigorosamente, usando alguns cálculos mais avançados, que a indutância mútua é sempre igual. ii. Foi dito no início deste capítulo que a ideia de se introduzir a indutância era estudar uma lei da natureza (neste caso a Lei de Faraday) em termos de grandezas mais acessíveis de mensuração (pois não sabemos medir fluxo magnético). Porém, para calcular a indutância no exemplo acima tivemos que calcular o fluxo, o que justamente estávamos tentando evitar. Qual a vantagem então em introduzir mais uma grandeza se no final acabamos tendo que usar um fluxo magnético para calculá-la? A resposta é uma questão prática: o exemplo acima é um dos raros exemplos em que conseguimos calcular a indutância exatamente, de forma analítica. Ela serve apenas como ilustração para mostrar que a indutância mútua é igual (quer 1 sofra influência de 2 ou 2 de 1) e também para ilustrar que a indutância só depende da geometria. No dia-a-dia a indutância facilita nossa vida: como uma corrente induzida é proporcional, pela Lei de Faraday, à variação temporal de uma corrente primária, sendo que a constante de proporcionalidade é a indutância, então basta medir correntes para assim termos acesso direto ao valor da indutância. Olhem para a expressão (2.1.15) Se tivermos um osciloscópio para medir a num canal e a associada à corrente no outro canal, podemos achar um valor numérico para a indutância. Caso 3: auto-indutância Este caso é simples. Basta substituir na expressão os valores relativos a uma única bobina (tomemos a bobina 1). Neste caso temos (2.1.16) 2.1.3 Efeitos práticos A indutância e auto-indutância (particularmente esta) se mostra presente no dia-a-dia em nossos lares, em nossos aparelhos eletro-eletrônicos. Mesmo que desprezemos esta questão do efeito que um circuito pode ter sobre outro, um circuito sempre tem um efeito (via auto-indutância) sobre si mesmo. Há um detalhe muito importante a notar: a Lei de Faraday só se aplica a correntes que variam no tempo. A indutância não faz sentido para circuitos de corrente contínua, pois embora uma corrente SEMPRE gere um campo magnético e este um fluxo, só vai haver variação de fluxo – e portanto corrente induzida – se o campo magnético variar, o que é o mesmo que dizer que a corrente que o gera está variando no tempo. Como podemos ver isto no dia-a-dia? Bem, qualquer aparelho que trabalha sobre uma tensão V (ou V) alternada vai ter circulando por si uma corrente alternada. Como todo circuito tem auto-indutância, isso significa que durante o funcionamento normal de um eletrodoméstico, haverá sempre dentro dele, além da corrente produzida por esta tensão, uma corrente induzida segundo a lei de Faraday. Ou seja, a corrente efetiva no circuito é uma combinação de 2 correntes: a corrente direta, produzida pela tensão alternada, e a corrente induzida, produzida pela mudança da primeira corrente. Aparelhos são projetados para isto. Figura 2.1: Desenho esquemático de uma bobina reta ideal (solenóide) de raio maior que tem, dentro de si, uma bobina menor, de raio . Elas têm () voltas e comprimentos (). Figura 2.2: Desenho esquemático de duas situações para o cálculo da indutância, olhando ao longo do eixo das bobinas. A bobina maior é desenhada em preto, a menor em azul. No primeiro caso, uma corrente gera um campo na bobina maior (hachurado cinza dentro da bobina maior) e este fluxo atravessa a bobina menor, que se encontra dentro dela. Note que sendo ideal, só há campo DENTRO da bobina. No segundo caso, a bobina menor é percorrida por uma corrente , o que provoca um campo (hachurado azul) no seu interior. Isto provoca também um fluxo na bobina maior, mas note que só uma fração de da área total da bobina maior sente a presença de um fluxo. O resto da área não conta para o cálculo do fluxo na bobina 1. 2.2 Problemas propostos Um problema pode surgir ao conectar um aparelho ligado na tomada. Vocês já devem ter notado o surgimento de uma faísca. Um eletricista diria que isso ocorre pois há carga na linha. Mas exatamente o que está ocorrendo e o que isto tem a ver com a Lei de Faraday? Basicamente o que ocorre é o seguinte: se o aparelho está com o botão de liga-desliga no ON, ao colocá-lo na tomada ele imediatamente fechará um circuito com a rede elétrica de casa e quase que instantaneamente surgirá uma corrente que o faz funcionar. O problema é que essa variação de corrente é muito brusca (muito mais rápida que o período de oscilação normal da rede, que é de s, tempo correspondente a uma frequência de Hz). Como a corrente induzida (ou voltagem induzida) é proporcional à taxa de variação da corrente direta, se a corrente sai do zero e vai muito rapidamente para um valor diferente de zero, a corrente e voltagem induzidas pode ser muito altas, tão altas que elas provocam uma faísca no ponto de fechamento do circuito (a tomada). Portanto a regra é a seguinte: nunca coloque um aparelho com o botão em LIGADO (ou ON) na tomada. Certifique-se que ele está desligado e só o ligue depois, quando já estiver na tomada. Isso também pode provocar a queima de aparelhos quando existe uma 'power surge' na rede, tipo um raio ou mesmo a volta da energia elétrica depois que nossa rua ficou algum tempo sem energia. Quando a energia volta, ocorre a mesma coisa. Num átimo, a voltagem em nossa rede elétrica vai de zero para um valor diferente de zero (mais rápido do que o tempo para o qual ela é projetada, que é o tempo relativo à frequência de Hz, como dito acima). Quando a rede elétrica volta, se houver algum aparelho ligado, pode haver uma corrente induzida muito alta que leva à queima do mesmo. Assim, depois de uma parada de luz, é bom desligar alguns aparelhos. Evidentemente há aparelhos que não ligam se der desligados (como geladeiras, etc.) mas estes normalmente têm dispositivos de segurança para evitar este tipo de problema. 2.2 Problemas propostos Os seguintes problemas são os problemas 49, 50 e 51 do Tipler, 4a. edição. 1.) Uma bobina tem auto-indutância de H e é percorrida por uma corrente de A que está variando a uma razão de A/s. Determine (a) o fluxo magnético através da bobina; (b) a tensão induzida na bobina. 2.) Uma bobina de auto-indutância L é percorrida por uma corrente dada por . Faça um gráfico do fluxo e da tensão induzida como função do tempo (o desenho pode ser esquemático, feito a mão, mas não se esqueça de colocar grandezas nos eixos, com amplitudes máximas em função dos dados da questão). 3.) Um solenóide tem cm de comprimento, cm de raio, espiras e é percorrido por uma corrente de A. Determine (a) o campo dentro do solenóide, supondo-o ideal; (b) o fluxo magnético dentro do solenóide (se ele é ideal, é uniforme); (c) a auto-indutância do solenóide; (d) a tensão induzida no solenóide quando a corrente varia à razão de A/s. 14 A Indutância Capítulo 3 Circuitos AC: Corrente Alternada Objetivos: Entender as peculiaridades de um circuito de corrente alternada, contendo resis- tores, capacitores e indutores (bobinas). 3.1 Circuitos LRC (Indutor, Resistor, Capacitor) de corrente alternada. Poderíamos imaginar que a teoria de circuito que aprendemos poderia ser usada também quando colocamos estes sob a ação de uma voltagem alternada (como a tomada em nossos lares). Ela pode mas há certos limites na sua aplicabilidade, pois se a voltagem varia no tempo, surgem efeitos interessantes que estão ausentes em circuitos submetidos a uma tensão contínua. A principal característica é o tempo de resposta dos elementos de um circuito sujeitos a uma voltagem alternada. O que quero dizer com isso? É bem simples: sem entrarmos em muitos detalhes matemáticos, o que faremos oportunamente, a questão toda se reduz a três pontos. 1. Resistores: não há nada de especial em relação ao resistor e ao fato dele ser submetido a uma tensão contínua ou alternada. Imaginem a Lei de Ohm aplicada a um circuito com uma fonte de tensão e uma resistência. Sabemos que vale a regra (3.1.1) Se a voltagem for do tipo (3.1.2) concluímos que, se vale a lei de Ohm (e ela vale!) e sendo a resistência algo que não depende do tempo, teremos (3.1.3) Ou seja, temos a mesma função para as duas variáveis, apenas com amplitudes diferentes. Dizemos que em um resistor a corrente e a voltagem sempre estão em fase. Isto está ilustrado na parte A da Figura 3.1. As duas andam juntas o tempo todo. 16 Circuitos AC: corrente alternada Figura 3.1: Uma ilustração da voltagem e da corrente em um resistor submetido a uma tensão alter-nada. Vale lembrar que a voltagem em nossas redes é de (ou ) Volts. Como já pude explicar anteriormente, quando nos referimos a estes valores estamos falando daquilo que aparece na leitura de um multímetro, e este mostra sempre o valor quadrático médio. O valor quadrático médio de uma função é sempre usado para calcular a média de funções periódicas, particularmente aqueles que tem porções positivas e negativas: no caso do seno ou cosseno, a função é metade do período positiva, metade negativa. Isso significa que se fôssemos ler exatamente a média da função, teríamos como resultado sempre . Usamos então um truque: tomamos o quadrado da função, que por definição é sempre positivo, e fazemos a média deste quadrado. Daí tiramos a raiz quadrada. O que sobra é a raiz quadrática média, e este valor que os aparelhos nos mostram. Por isso se fala no valor de uma grandeza, a sigla em inglês para `root mean square' (se vocês já se perguntaram o que é aquele que aparece em muitos aparelhos, aí está a explicação). Vamos recalcular a no caso de voltagens que são funções senoidas ou cossenoidais (chamadas normalmente de funções harmônicas). A média de qualquer função temporal i, independente de ser harmônica ou não, é sempre definida via (3.1.4) No caso de funções periódicas, é o período da função. Já para funções não periódicas mas que variam no tempo, representa um intervalo de tempo que escolhemos livremente. Calculando então a média do quadrado da voltagem temos: (3.1.5) (3.1.6) (3.1.7) (3.1.8) 3.1 Circuitos LRC (Indutor, Resistor, Capacitor) de corrente alternada. 17 pois a integral dá simplesmente . Como a definição da raiz quadrática média é _________ _________ (3.1.9) obtemos finalmente __________ __________ . (3.1.10) Assim, se quisermos representar a voltagem de nossos lares (digamos Volts) pela fórmula devemos escrever (3.1.11) (3.1.12) (3.1.13) Esta é a equação matemática que representa a voltagem numa tomada . O valor da voltagem máxima é _________ _________ . Do mesmo modo temos Um outro detalhe muito importante. As pessoas muitas vezes se confundem, quando olham para uma função harmônica, com o que realmente representa o período, a frequência e a fase da função. A figura abaixo tenta ilustrar isso. x(t) Figura 3.2: Uma função harmônica. O fato de ela ser um seno ou cosseno puro depende da fase . A figura ilustra a função ________\ _________. Se __________ temos a função seno pura. Se __________ a função é um cosseno puro. Isto explica graficamente o resultado __________ __________. Observe que uma fase positiva é o mesmo que deslocar a função para a esquerda – na direção do eixo x negativo. Uma fase negativa corresponde a deslocamento da função na direção oposta. Basicamente podemos entender a fase assim: se ela for positiva, ela 'joga' a função para trás (esquerda) ou, o que é a mesma coisa, faz um shift do eixo para frente. Se você tem uma fase negativa, é como se movesse a função para frente (direita) ou, o que é 18 Circuitos AC: corrente alternada equivalentemente, arrastasse o eixo para trás. Assim a função nada mais é que uma função seno deslocada de para a esquerda ( para a direita), em cujo caso a figura fica idêntica ao gráfico de um cosseno. Por isso temos o resultado conhecido que . O período é o tempo, em segundos, necessário para a função executar um ciclo completo, ou seja, sair de um dado valor e retornar ao mesmo valor depois de passar por um máximo e um mínimo. A frequência, que matematicamente é o inverso do período, pode ser interpretada como o número de ciclos que cabem dentro de 1 segundo. Assim, por exemplo, uma onda de 2 Hz de frequência tem 2 ciclos completos em 1 segundo. Portanto seu período é de 0,5 segundos. Da mesma maneira uma onda de frequência 0,5 Hz realiza metade de um ciclo em 1 segundo e portanto necessita de 2 segundos para um período completo. Existe uma definição análoga para comprimento de onda e seu inverso, o número de onda. Este é definido como o inverso do comprimento de onda e representa o número de ondas que “cabem” em uma unidade de comprimento. ii. Capacitores: lembrem-se que vimos em um laboratório que o capacitor leva um certo tempo para carregar e descarregar. Isso é simples de entender se ele estiver ligado a uma bateria. Se esperarmos um tempo suficiente, e tivermos uma resistência para limitar a corrente, ele eventualmente carregará e daí pra frente não acontece mais nada no sistema. A corrente cessa. Porém, ao colocarmos uma voltagem alternada, de frequência 60 Hz por exemplo, pode ser que quando a voltagem mudar de polaridade (sendo uma senóide, passar pro lado negativo do eixo), o capacitor não conseguiu carregar-se por completo. Isso acontece se ele for um capacitor que leva um tempo maior que segundos para carregar. Este tempo é calculado assim: numa frequência de Hz a fonte faz um ciclo completo em segundos. Ou seja, ela leva metade deste tempo para mudar de polaridade pois uma função seno fica metade do período positiva e metade negativa. Assim metade do período é segundos. Iniciando com uma voltagem zero, ela atinge seu máximo em de período e em de um período vai novamente a zero. Durante todo este tempo o capacitor carrega. Dependendo do capacitor, se ele leva mais tempo para carregar que isso, ele não atinge sua capacidade plena, mas carrega até um certo valor de carga máximo naquela circunstância. No momento que a voltagem vai a zero, não há mais voltagem no capacitor e ele começa a descarregar. É o instante em que ele começa a devolver a carga ao sistema e faz isso com força máxima, pois ele com o valor máximo possível de carga para aquela situação. Daí a carga vai caindo até ele descarregar e portanto o ciclo se repete. Resumo: a corrente no capacitor está defasada em relação à voltagem aplicada. Podemos ver isso na equação de Ohm para um capacitor sob ação de uma voltagem. (3.1.14) Se nós derivarmos ambos os lados, lembrarmo-nos que e a capacitância não varia no tempo, temos (3.1.15) Derivando a função seno da Voltagem obtemos (3.1.16) Observem que se a Voltagem é um seno, a corrente é um cosseno, e vice versa. Ou seja, a voltagem e a corrente estão defasadas. Quando uma é máxima, a outra é mínima, e vice-versa. Esta é a formulação matemática daquilo que foi explicado no parágrafo acima. Como a função cosseno (a contar de ) é máxima e a função seno só atinge o máximo depois, num capacitor a corrente estará sempre na frente da voltagem. Em linguajar técnico se diz que num capacitor a corrente está sempre adiantada em relação à voltagem. Isto pode ser visto na figura 3.3. Figura 3.3: Uma ilustração da voltagem e da corrente em um capacitor submetido a uma tensão alternada. Note a diferença de fase entre voltagem e corrente. Do ponto de vista matemático podemos ver isto também escrevendo o seguinte: (3.1.17) Ou seja, a função cosseno é a função seno adiantada de graus. Do ponto de vista prático, temos o seguinte: se ligamos um capacitor numa fonte de tensão contínua ele carrega e, quando isso acontece, não há mais corrente no circuito. Nesta situação só faz sentido pensarmos num capacitor como um armazenador de energia elétrica (tipo um flash de máquina fotográfica, teclado de laptops, etc.). Já numa fonte de tensão alternada, ele está constantemente carregando e descarregando, e se a frequência da fonte for alta o suficiente, sempre haverá uma corrente no circuito onde o capacitor se encontra. Agora, atenção: mesmo que a fonte seja alternada, se sua frequência for muito baixa em relação ao tempo de carregamento do capacitor, pode ocorrer do capacitor carregar antes da mudança de polaridade da fonte. Neste caso o capacitor também cortará a corrente no circuito. Assim, normalmente, em circuitos CA o capacitor é usado não como armazenador de energia mas como filtro de frequência. Como assim? Bem, pensemos numa caixa acústica: o sinal que vem dos fios do nosso CD-Player ou amplificador são pequenas correntes elétricas de diferentes frequências, cada uma específica de um som (agudo, grave, etc.). Ao chegar na caixa acústica há atrás do Tweeter (sons agudos) um pequeno capacitor que deixa passar apenas altas frequências. Assim, o Tweeter só reproduz sons agudos, ao passo que o Woofer é usado para sons mais graves. Para que cheguem só sons graves no Woofer, que é aquele alto-falante maior, veremos que quem faz o papel de filtro é uma bobina. Em todo caso, este é o motivo que o capacitor é conhecido no meio técnico como um high-pass filter, ou filtro passa-alta. iii. Bobinas (Indutores): o papel da bobina é de certo modo análogo ao do capacitor. Para o capacitor, quando menor a frequência da fonte, mais ele bloqueia a corrente do sistema pois se carrega antes que a fonte tenha chance de mudar de polaridade. Já para a bobina, o contrário acontece. Sabemos que ao passar uma corrente por uma bobina, surge dentro dela um campo magnético. Porém, se a voltagem é alternada, esse corrente varia e consequentemente o campo magnético varia. Mas a bobina tem uma auto-indutância, ou seja, este campo magnético produz um fluxo dentro de si própria que varia no tempo. Consequência: pela lei da indução de Faraday, surge uma corrente induzida na própria bobina que se opõe à variação do fluxo. O fenômeno é interessante. Se passarmos uma corrente contínua por uma bobina, há evidentemente um fluxo mas ele não varia (pois a corrente é constante). Não há lei de Faraday e concluímos assim que, num circuito de corrente contínua, a bobina nada mais é que um fio enrolado, sem muita função. Já com corrente alternada, quando mais rápida a variação da voltagem da fonte, maior vai ser a corrente induzida na bobina pois pela lei de Faraday ele é proporcional não ao fluxo mas à variação temporal do fluxo, quer dizer (3.1.18) Mas pela lei Ohm, tudo aquilo que ganhamos de voltagem na fonte, perdemos nos elementos do circuito, logo (3.1.19) Se integrarmos dos dois lados temos (3.1.20) Diferentemente do capacitor, obtemos agora uma corrente no indutor que está atrasada em relação à voltagem. Observem o valor de dentro do seno. Enquanto a voltagem é representada por uma função , a corrente produzida varia como a função . Isto pode ser visto na figura 3.4. Figura 3.4: Uma ilustração da voltagem e da corrente em um indutor submetido a uma tensão alternada. Note a diferença de fase entre voltagem e corrente. Notem que quanto maior a frequência da fonte, menor a corrente produzida (notem que o da expressão acima é inversamente proporcional a ), pois fisicamente quanto maior a variação do fluxo, mais forte é a reação contrária da bobina. Por isso a bobina é usada em circuitos como um low-pass filter, ou filtro passa-baixa. Ele deixa frequências baixas ( pequeno) produzirem correntes altas no circuito, mas a medida que a frequência aumenta, ele faz com que a corrente que passe por ela seja cada vez menor. Essa observação nos leva a uma conclusão interessante: um resistor dificulta a passagem da corrente. Num circuito CA, o capacitor e o indutor tem o mesmo papel, com a 22 Circuitos AC: corrente alternada diferenca que o resistor atua sempre igual, independentemente da voltagem ser continua ou alternada. Ja o capacitor dificulta a circulacao de corrente pelo sistema se a frequencia da voltagem for baixa. O indutor e o contrario: ele dificulta a circulacao da corrente se a frequencia da voltagem for alta. Podemos entao interpretar o capacitor e o indutor como uma especie de “resistor” mas cuja “resistencia” depende da frequencia da fonte. Isto nos da a ideia de definir um novo conceito, a reatancia. Observem que nas figura que representam a relacao entre voltagem e corrente nos elementos do circuito, para efeito de comparacao, manteve-se sempre um na forma de uma funcao cosseno e desenhou-se o correspondente, que mostra que no caso do resistor não ha diferença alguma de fase entre as duas funções; no indutor há uma diferença de fase de modo que podemos ver que a voltagem (sempre tomamos para efeito de comparação) representada pela linha verde já passou pelo máximo antes de chegar em , quando então a corrente chega (corrente atrasada). Para o capacitor, a voltagem (linha laranja) vai atingir o máximo (de novo, a partir do instante inicial) só depois da corrente já ter tido o máximo (corrente adiantada) 3.2 Reatâncias: resistências em um circuito CA Vamos olhar apenas para as correntes máximas (ou valor de pico) nos três elementos de circuito. ----------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------- Observem que por análise dimensional, tanto quando tem dimensão de resistência, ou seja, são medidos em Ohms. Costuma-se renomear estes os dois termos como ----------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------- E as equações acima podem ser reescritas como ----------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------- onde agora fica mais evidente que as grandezas e representam o papel de “resistências” do capacitor e indutor, respectivamente. Para diferenciá-las da resistência de um resistor, elas são chamadas de reatância capacitiva e reatância indutiva. A diferenciação não é só uma mera questão de nome, pois fisicamente elas tem origens diferentes, embora do ponto de vista do circuito, funcionam como se fossem resistências. A resistência vem da colisão dos elétrons livres com os átomos do metal. Já a reatância capacitiva e indutiva vêm, respectivamente, da 23 Circuitos AC: corrente alternada rapidez de um capacitor no processo carga-descarga frente a frequência da fonte de tensão e da lei da indução de Faraday. Convém lembrar que resistores dissipam calor. Capacitores e Indutores não. Eles servem todo como limitadores de corrente, mas apenas resistores jogam energia para fora do circuito. Em outras palavras: o capacitor e indutor não limitam a corrente por oferecer resistência à passagem de elétrons. Eles o fazem pois o capacitor carrega e nao permite mais a circulação de carga pelo circuito. O indutor, pois criam uma corrente induzida contrária que podem “anular” a corrente direta que a fonte gera. Estes sao os principais resultados sobre circuitos de corrente alternada. Ainda falta um conceito importante, o de fasores, mas antes de entrarmos nesta questão, é interessante discu- tir uma questão de cunho prático: embora a grande maioria dos aparelhos que usamos sejam circuitos de corrente alternada, quando fazemos medidas com multímetros estamos apenas inte- ressados nos valores RMS das grandezas. Assim, muitas questões a serem resolvidas requerem apenas o conhecimento das equações acima: se calcularmos valores médios, sem nos preocupa- mos com os senos e cossenos, poderemos obter um grande número de informações pertinentes de nossos sistemas. Vamos olhar alguns exemplos resolvidos para entender um pouco como isto funciona, bem como para que possamos ter uma idéia dos valores numéricos e como as reatâncias mudam drasticamente com a frequência. 3.3 Exemplos resolvidos Problema 1: Reatância de uma bobina. Considere uma bobina que tem uma resistência de e uma indutância de H. Se ligarmos esta bobina numa fonte de tensão, determine a corrente se esta fonte for (a) uma tensão contínua de 120 Volts ou (b) uma tensão alternada de 120 V e frequência de Hz. (Detalhe: em todos os problemas, sem exceção, normalmente se indicam sempre os valores de corrente ou voltagem RMS e nunca os valores de pico. Além disso sempre se dá o valor da frequência . É IMPORTANTE SEMPRE SE LEMBRAR DE MULTIPLICAR POR POIS NAS FÓRMULAS USA-SE SEMPRE!). Solução: (a) Com voltagem contínua não há reatância indutiva pois se . Logo, a bobina se comporta simplesmente como um fio de resistência Ohm. Assim ---------------------------------------------------------------------- (b) Já no segundo caso, onde existe uma frequência de Hertz, ou seja, um de rad/s, a bobina apresentará uma reatância indutiva igual à ----------------------------------------------------------------------- Logo a corrente pelo circuito será ---------------------------------------------------------------------- Estas expressões nos deixam muito claro o quão “resistente” à passagem de corrente uma bobina pode ser, desde que a frequência da fonte seja grande o suficiente. Neste caso temos uma corrente pouco mais de 100 vezes menor do que no caso onde a tensão da fonte é contínua. 24 Circuitos AC: corrente alternada Problema 1: Reatância de um capacitor. Considere uma capacitor de capacitância de F e uma fonte de tensão alternada de 120 Volts. Calcule a corrente no circuito quando (a) Hz e (b) Hz. (Detalhe: notem que, em problemas envolvendo capacitor, nem se cogita discutir casos de tensão contínua, pois o capacitor vai eventualmente carregar e não vai mais ter corrente no circuito). Solução: (a) Com voltagem em Hertz a reatância capacitiva vale ---------------------------------------------------------------------- Portanto a corrente vai ser ---------------------------------------------------------------------- (b) Já no segundo caso, onde existe uma frequência de mil Hertz, ou MHz, a reatância capacitiva vale ---------------------------------------------------------------------- Isso implica numa corrente ---------------------------------------------------------------------- Notem a enorme diferença entre as duas correntes: existe 5 ordens de grandeza separando-as, quer dizer, uma é 100 mil vezes maior que a outra. Resumo: em um circuito de corrente alternada, capacitores e indutores passam a ter um papel ativo, limitando a corrente para fontes de baixa (capacitores) e alta-frequência (induto- res), funcionando assim como filtros de frequência. Isso se dá através da sua reatância, que é análogo a uma resistência, embora convém lembrar que esta resistência tem uma origem física diferente daquela de um resistor. Um outro detalhe importante é o fato que existe uma deslo- fasagem, no caso do capacitor e resistor, entre a voltagem aplicada e a corrente que ela gera. Se estamos trabalhando com valores , este fato não é tão relevante. Porém, se estivermos olhando para as funções matemáticas que representam correntes e voltagens, veremos que elas são funções harmônicas deslocadas uma em relação a outra. 3.4 Circuito RLC em série O que acontece quando colocamos agora um resistor, um capacitor e um indutor em série em um circuito alimentado por uma fonte de tensão alternada? Se formos olhar para os resultados anteriores, fica a dúvida: no capacitor a corrente está adiantada em relação à voltagem. No indutor, atrasada. No resistor, em fase. Então, onde está a corrente? Atrasada, adiantada ou em fase? Quem ganha, o resistor, o indutor ou o capacitor? Esta dúvida surge pois a maneira como coloquei a pergunta está equivocada, ou seja, ela induz ao erro (isso se chama um sofisma: você introduz um erro na lógica de modo que as pessoas chegam a uma conclusão errada). O erro está em eu afirmar que a corrente pode estar atrasada, adiantada ou em fase. A corrente nunca está adiantada, atrasada ou em fase pois a característica PRINCIPAL de um circuito em série é que a CORRENTE é sempre a mesma em qualquer parte do circuito, pois todos os elementos estão no mesmo fio. Não importa em que parte do circuito você coloque um amperímetro, a corrente medida será sempre a mesma, em qualquer ponto. Logo, quando dizemos “a corrente está adiantada, etc. em relação à voltagem”, pode parecer que no fundo quem dita a regra é a voltagem e não a corrente. Na verdade seria mais correto dizer “a voltagem está adiantada,etc. em relação à corrente” pois é a corrente que devemos tomar por base! Pense em um circuito submetido a uma tensão contínua. Quando resolvemos o circuito usando a lei de Ohm, usamos o mesmo para um circuito de uma malha mas a TENSÃO é diferente em cada resistor, etc.. Sabemos apenas que a soma das voltagens em cada elemento é igual à voltagem da fonte. Assim, num circuito de voltagem alternada, a corrente é igual e daí podemos dizer que no capacitor a voltagem vai estar ATRASADA (que é o mesmo que dizer que a corrente está adiantada); no indutor a voltagem está ADIANTADA (ou a corrente atrasada). E no resistor, a voltagem está em fase. Resumindo: a corrente é nosso fundamento e uma vez tendo uma corrente, que é a mesma para todos (como no circuito de corrente contínua), as voltagens são diferentes (como no circuito de corrente contínua). Só vale lembrar que isso significa, já que estas voltagens estão todas defasadas, que as voltagens também aumentem seus picos em tempos diferentes. A todo instante a soma das voltagens é igual a voltagem da fonte, como no caso de corrente contínua, mas temos que lembrar que em sistemas de corrente alternada as somas andam são senóides. Isto implica que pode haver instantes de tempo em que a voltagem no indutor, por exemplo, seja maior que a voltagem na fonte (pois já dava haverá uma senóide, digamos assim, adiantada ou, que está do lado negativo do eixo, fazendo que a voltagem total, que é a soma de todas as voltagens, seja igual a voltagem da fonte. Isso normalmente causa surpresa quando vamos ao laboratório e vemos por exemplo que para uma voltagem de pico da fonte de 10 Volts chegamos a medir em certos momentos uma voltagem no indutor (ou capacitor) de 12 Volts, apenas para dar um exemplo. Mas quando isso ocorre, haverá nos outros elementos do circuito uma voltagem negativa que somada à voltagem de 12 Volts levam a uma voltagem total MENOR. A lei de Ohm não perde sua validade: as voltagens nos elementos se somam para dar a voltagem na fonte. Só devemos nos lembrar que estamos somando 3 funções que variam no tempo. Consequentemente a sua soma também variará no tempo. No entanto, somar funções senoidais é uma tarefa um tanto complicada. Vamos imaginar que temos uma voltagem máxima no indutor e uma voltagem máxima no capacitor. Sendo assim, a soma das duas voltagens para uns instante de tempo arbitrário seria (3.4.1) que pela lei de Ohm dever ser igual a voltagem da fonte naquele mesmo instante de tempo (3.4.2) A tarefa matemática é a seguinte: partindo do lado esquerdo, chegar ao lado direito, ou seja, escrever a soma de 2 senóides arbitrárias como sendo também uma senóide. Note que mantemos o mesmo nas diferentes funções pois estamos pensando sempre que a frequência da tensão da fonte é só uma, e portanto esta mesma frequência estará sendo aplicada em qualquer elemento do circuito. Há porém uma maneira geométrica bastante interessante de fazer isso. O segredo está em representar uma função senoidal como sendo a projeção no eixo de um vetor que gira com velocidade angular em torno de um ponto fixo. Isto está ilustrado na Figura 3.5. Figura 3.5: A relação entre o movimento de um vetor que gira em torno de um ponto fixo e uma função senoidal. Observem o vetor em diferentes instantes de tempo e vejam que a curva senoidal representa a altura de sua ponta até o eixo , ou seja, o valor da componente do vetor. Matematicamente, o movimento circular é o mesmo que um movimento senoidal, mas visto de um referencial diferente. Prestem bastante atenção a esta figura. Se imaginarmos o vetor girando, a ‘sombra’ de sua ponta descreverá, no eixo , uma senóide. Isso equivale a dizer que um movimento circular e um movimento senoidal são matematicamente equivalentes. Na verdade são iguais! A diferença está no referencial. Tente imaginar um ponto fixo no perímetro de um círculo que gira. Se o centro do círculo, à medida que ele gira, se deslocar também com uma velocidade constante para a direita, quem estiver parado vai ver este ponto descrever uma senoidal. Se a pessoa se move com o círculo, com a mesma velocidade para a direita, ela verá apenas o ponto girando em torno do centro do círculo. 3.4 Circuito RLC em série Se pegarmos agora duas funções senoidais, podemos representá-las juntas como na Figura 3.6. O que é importante notar nesta figura é que estamos trabalhando com 2 vetores que giram Figura 1.5 – Uma função do tipo senóide com a fase inicial α que representa o valor do argumento da função no instante t = 0. Ela significa que no instante em que ligamos nosso cronômetro, a projeção do vetor em questão já era diferente de zero. Figura 1.6 – A representação de duas funções l(t)1=U1sen(ωt+β) e l(t)1=U2sen(ωt+α), de diferentes amplitudes máximas I1, I2 e uma, e cuja diferença de fase é φ=β−α. Figura 3.6: Duas funções senoidais representadas conjuntamente como vetores girando num círculo. Se a velocidade angular dos dois é a mesma, eles mantém o mesmo ângulo entre si o tempo todo. com a mesma velocidade angular . Isto significa que eles mantém sempre a mesma distância entre si (distância medida em ângulo, obviamente). Se quisermos então somar duas funções senoidais, já que elas podem ser representadas por vetores, basta fazer a soma de dois vetores, como na figura 3.7! Tentem entender bem esta figura. Ela é mais simples do que parece. Transcrevo abaixo o texto do meu livro (e da Profa. Gallas) onde mostro como calcular isto. Isto serve apenas de ilustração, pois no caso dos circuitos RLC que estamos interessados, todas os vetores fazem 90 graus entre si e daí aplicamos diretamente Pitágoras (lembrem-se: se a corrente no circuito é uma, a voltagem no resistor está em fase, no capacitor atrasada de 90 graus e no indutor adiantada de 90 graus. Logo os três vetores de voltagem são perpendiculares entre si). No caso ilustrado abaixo, usamos a Lei dos Cossenos, que recai em Pitágoras quando é 90 graus. 3.5 Correntes e Voltagens a voltagem na fonte é positiva mas já começou a cair e tanto o indutor como o capacitor tem uma voltagem nula. Como calcular agora a corrente, que é nosso objetivo? Basta fazermos a soma de 3 "vetores" , e e impor que a soma destes três vetores seja igual ao vetor que representa a voltagem na fonte. Na verdade só devemos tomar um cuidado. Reservamos os nomes , e para os valores realmente medidos nos multímetros. Quanto aos fasores, para que façamos uma distinção entre sua projeção no eixo e os fasores em si, chamaremos eles de e e . Já que os dois primeiros são sempre colineares e de sentidos opostos podemos somá-los diretamente cujo módulo será (3.5.1) se for maior que se for maior que (3.5.2) Agora, basta somar o termo com . Como ele faz 90 graus com a resultante de , podemos escrever direto o módulo do vetor total (que tem que ser igual ao valor ao da fonte) usando Pitágoras (3.5.3) Agora, lembremos que o que aparece na expressão acima são os módulos (tamanhos) dos vetores e não suas projeções, ou seja, seus valores máximos. Como o módulo do vetor acima tem que ser o módulo do fasor que representa a voltagem na fonte , temos que (3.5.4) Agora, sabemos que (3.5.5) (3.5.6) Substituindo estes valores na expressão para obtemos (3.5.7) (3.5.8) Resumindo (3.5.9) Ou seja, num circuito RLC em série, esta é o valor máximo de corrente que medimos. Notem que ela é dada pela voltagem máxima da fonte dividida por uma grandeza (que tem 32 Circuitos AC: corrente alternada dimensão de OHM) e pode ser interpretada como uma "resistência" generalizada do circuito. Esta grandeza recebe o nome de IMPEDÂNCIA. Resta responder uma pergunta: esta corrente na verdade é o valor de pico, o valor máximo de que podemos medir. Agora, ele é um fasor colinear com o fasor verde da figura 3.9 e gira junto. O valor que observaríamos num instante de tempo qualquer seria a projeção deste fasor de corrente no eixo , ou seja onde é ângulo entre o fasor verde (que representa a voltagem na fonte) e o fasor preto (pois o fasor que representa I é colinear com o fasor que representa a voltagem no resistor). Isto está representado na figura 3.10. Achar é simplesmente uma questão geométrica pois o ângulo é o ângulo cuja tangente vale (3.5.10) Uma outra expressão bastante prática é (3.5.11) (3.5.12) Com isso resolvemos o problema de um circuito RLC em série. A corrente é representada pela função (3.5.10). Na verdade o que acabamos de fazer pode parecer complicado, quando na realidade não é. O que fizemos pode, basicamente, ser resumido a três passos: (1) Queremos aplicar a lei de Ohm a três voltagens que variam no tempo e são representadas por funções seno de diferentes fases. O problema é que somar diferentes senóides pode ser algo muito trabalhoso. Buscamos assim representar o seno de uma forma que torne a