Questões - 2023-2

QUESTÃO 1: Um biólogo deseja fazer um estudo para verificar a especificidade do fungo Gigaspora gigantea com as plantas Spartina sp e Tibouchina sp. Foram coletadas 20 amostras de solos em volta da Spartina sp e 20 amostras da Tibouchina sp e verificada a quantidade de fungos presentes. Os resultados foram: Tabela 1: Quantidade de fungos presentes em 40 amostras de solos em volta das plantas Spartina sp e Tibouchina sp Spartina sp 120 78 59 55 116 93 125 42 50 110 95 43 60 117 63 41 40 61 102 40 74 115 63 35 96 84 77 104 57 83 55 Tibouchina sp 45 80 61 74 110 91 72 102 94 87 25 43 33 48 39 35 56 70 53 14 Esses dados têm evidências para indicar uma diferença entre as quantidades médias de Gigaspora gigantea encontrada em plantas de Spartina sp e de Tibouchina sp? Considere um nível de significância α = 5%. QUESTÃO 2. Foi desenvolvido um estudo para verificar a qualidade dos vinhos em um estado brasileiro. Uma propriedade física avaliada nesse estudo foi a estabilidade dos vinhos, dada em quatro categorias: péssima, problemática, regular e aceitável. Numa amostra de 188 garrafas de vinho, foram encontrados os seguintes resultados: Tabela 2: Distribuição conjunta das frequências das variáveis Tipo de vinho e Estabilidade Estabilidade Tipo de vinho Péssima Problemática Regular Aceitável Total Branco 8 29 28 7 72 Rosado 10 22 10 3 45 Tinto 29 21 13 8 71 Total 47 72 51 18 188 a) Teste a hipótese de que não há relação entre tipo de vinho e estabilidade. b) Teste a hipótese de que os vinhos tinto e branco são independentes da estabilidade, utilizando somente os dados relativos aos brancos e tintos. c) Qual dos dois vinhos você acha que seria pior quanto à estabilidade? Considere um nível de significância α = 5% QUESTÃO 3. Em humanos é relativamente comum o hipotireoidismo, a qual é uma deficiência da glândula tireoide para produzir hormônios. Uma indústria farmacêutica, visando testar um novo tipo de droga, realizou uma pesquisa com 6 indivíduos portadores desta doença. Com tal finalidade, fez a avaliação da dosagem do hormônio H nos indivíduos portadores da doença antes e depois de serem medicados com a nova droga. Os resultados desta pesquisa são fornecidos a seguir Indivíduo Antes Depois 1 100 140 2 105 135 3 98 132 4 95 125 5 104 138 6 105 145 Pode-se concluir que a nova droga é capaz de aumentar a dosagem média do hormônio H ao nível de 5% de significância? Dados: - Spartina sp (A) x̅A = 120+. . . +43 20 = 1436 20 = 71,80 s²A = (120 − 71,80)²+. . . +(43 − 71,80)² 20 − 1 = 16593,2 19 = 873,3263 - Tibouchina (B) x̅B = 125+. . . +44 20 = 1410 20 = 70,50 s²B = (125 − 70,50)²+. . . +(44 − 70,50)² 20 − 1 = 16889 19 = 888,8947 Primeiramente, devemos verificar se as variâncias são homogêneas - Hipóteses: H0: 𝜎²A = 𝜎²B H1: 𝜎²A ≠ 𝜎²B - Estatística de teste Fcalc = 873,3263 888,8947 = 0,98 - Região crítica (α = 5%, gl1 = 19, gl2 = 19) Fcrit1 = 0,40 Fcrit2 = 2,53 - Conclusão Como 0,40 < Fcalc < 2,53, Fcalc não pertence à região de rejeição da hipótese nula. Não se rejeita H0 ao nível de significância de 5%. As variâncias são homogêneas e podemos então realizar o teste t-Student para diferença de médias considerando variâncias homogêneas. - Hipóteses H0: μA = μB H0: μA ≠ μB - Estatística de teste gl = 20 + 20 − 2 = 38 scomb = √(20 − 1) ∙ 873,3263 + (20 − 1) ∙ 888,8947 38 = 29,6835 tcalc = 71,80 − 70,50 29,6835 ∙ √ 1 20 + 1 20 = 0,138 - Região crítica (α = 5%, gl = 38) tcrit = ±2,024 - Conclusão Como tcalc não pertence à região de rejeição, não se se rejeita H0 ao nível de significância de 5%. Não há evidências de diferença significativa na quantidade média de fungos entre as duas plantas. a) - Hipóteses: H0: não há relação entre o tipo de vinho e a estabilidade H1: há relação entre o tipo de vinho e a estabilidade - Estatística de teste Sejam os valores esperados (E) entre parênteses e considerando: E[i,j] = Totalliha i × Totalcoluna j / Totalgeral E[1,1] = 72 × 47 188 = 18 E[1,2] = 72 × 72 188 = 27,5745 ⋮ E[3,3] = 71 × 51 188 = 19,2606 E[3,4] = 71 × 18 188 = 6,7979 Estabilidade Tipo de vinho Péssima Problemática Regular Aceitável Total Branco 8 (18) 29 (27,5745) 28 (19,5319) 7 (6,8936) 72 Rosado 10 (11,25) 21 (17,2340) 10 (12,2074) 3 (4,3085) 45 Tinto 29 (17,75) 21 (27,1915) 13 (19,2606) 8 (6,7979) 71 Total 47 72 51 18 188 A estatística de teste é dada por: 𝜒2 calc = (8-18)² 18 + (29-27,5745)² 27,5745 +. . . + (13-19,2606)² 19,2606 + (8-6,7979)² 6,7979 = 22,34 Os graus de liberdade são: GL = (Nº de Linhas − 1) × (Nº de colunas − 1) = (3 − 1) × (4 − 1) = 6 - Região crítica (α = 5%, gl = 6) χ2 crit = 12,59 - Conclusão Como 𝜒2 calc > 𝜒2 crit, rejeita-se a hipótese nula ao nível de significância de 5%. Há evidências de relação entre o tipo de vinho e a estabilidade, ou seja, não são variáveis independentes. b) - Hipóteses: H0: não há relação entre o tipo de vinho e a estabilidade H1: há relação entre o tipo de vinho e a estabilidade - Estatística de teste Sejam os valores esperados (E) entre parênteses e considerando: E[i,j] = Totalliha i × Totalcoluna j / Totalgeral E[1,1] = 72 × 37 143 = 18,6294 E[1,2] = 72 × 50 143 = 25,1748 ⋮ E[2,3] = 71 × 41 143 = 20,3566 E[2,4] = 71 × 15 143 = 7,4476 Estabilidade Tipo de vinho Péssima Problemática Regular Aceitável Total Branco 8 (18,6294) 29 (25,1748) 28 (20,6434) 7 (7,5524) 72 Tinto 29 (18,3706) 21 (24,8252) 13 (20,3566) 8 (7,4476) 71 Total 37 50 41 15 143 A estatística de teste é dada por: χ2 calc = (8 − 18,6294)² 18,6294 + (29 − 25,1748)² 25,1748 +. . . + (13 − 20,3566)² 20,3566 + (8 − 7,4476)² 7,4476 = 18,75 Os graus de liberdade são: GL = (Nº de Linhas − 1) × (Nº de colunas − 1) = (2 − 1) × (4 − 1) = 3 - Região crítica (α = 5%, gl = 3) χ2 crit = 7,81 - Conclusão Como χ2 calc > χ2 crit, rejeita-se a hipótese nula ao nível de significância de 5%. Há evidências de relação significativa entre o tipo de vinho (tinto ou branco) e a estabilidade, ou seja, o tipo de vinho (tinto ou branco) e a estabilidade não são independentes. c) O vinho tinto parece ser pior quanto à estabilidade do que vinho branco, isso porque ele tem maior frequência nas categorias “Péssima” e “Problemática” do que o vinho branco. Primeiramente devemos calcular a diferença entre os momentos (depois – antes): 40 25 27 40 27 35 Agora devemos calcular a média e o desvio das diferenças: x̅dif = 40 + 25 + 27 + 40 + 27 + 35 6 = 32,3333 sdif = √(40 − 32,3333)²+. . . +(35 − 32,33)² 6 − 1 = √235,3333 5 = 6,8605 - Hipóteses H0: μdif ≤ 0 (não houve aumento da dosagem média de hormônio) H1: μdif > 0 (houve aumento da dosagem média de hormônio) - Estatística de teste Trata-se um teste pareado, logo: tcalc = 32,3333 − 0 6,8605/√6 = 11,544 - Região crítica (α = 5%, gl = 5) tcrit = 2,015 - Conclusão Como tcalc > tcrit, rejeita-se H0 ao nível de significância de 5%. Há evidências de que a droga é capaz de aumentar a dosagem média do hormônio H nos portadores da doença.