Exercícios de Cálculo e Derivadas

Universidade Federal do Espirito Santo Departamento de Matematica CCE PF Céleulo 1 MAT09570 181220 tarde Leia com atencgao Justifique suas respostas 1 Determine a 15 limpo zs fe ftdt sendo f uma fungao com derivada continua em x 1 tal que f1 0 f1 2 Dica note que obtém quando h 0 Solugao 1 1 1h fa h im lim TFC1 ae Ptdt him Sh RH e TFC WV 1 5imfdh RH 1 5f 1 f é continua 1 2 all Solugao 2 1 1h fa h jg SOA F 2 h0 h l 5 7 1 2 2 all b 10 Encontre a linearizacao da funcao fx 1 3x 1a 227 em a0 Sabemos que a linearizacao de f em a 0 é dada por Lx f0 f0x 0 De modo que precisamos calcular f0 e f0 f0 1430104207 1 19 1 1 fx 51 3x31a2 4 227 14 32 31a2 4 227 14 42 151 32 12 227 3 14 32 1 a2 2x7 1 42 Portanto f0 15119311 1 15312 Assim a linearizacao de f fica sendo Lx 14 122 2 25 Sejam a b nimeros reais Seja f a funcao definida abaixo fla 4x 0b zO0 sen ax xcos 5x 0 a Se escolhermos a 0 e b 1 a funcao f é continua no ponto x 0 b Determine a e b para que f seja diferencidvel no ponto x 0 a Paraa 0e b1 temos que f0 1 enquanto lim sen 0 2cos 5x 0 x0 pois sen 0 0 e como cos 52 é limitado e x tende a zero temos 0 resultado pelo teorema do confronto Portanto como f0 4 lim9 fx a funcgao nao é continua no ponto x 0 b Para ser diferencidvel devemos ter hf0 hf0 limpso eft limps0 eft 7 limp 59 22 Timpo sen tga tates fay 4 limps0 sen on cos 5h 4 limp s0 B Temos que 6 0 para o limite limp9 acima existir Por outro lado o limite h h 5h h lim Sen ah hicos 5h 5 sen 2h a heos 5h a h0 h h0 ah h0 pelo limite fundamental e pelo teorema do confronto Portanto a 4 e b 0 3 25 Calcule a drea delimitada pelas curvas fx 7x cos x gx a 7 72exr1 Note que as curvas se intersectam no ponto 7 0 Temos que Lz x 0 Hat ZO 2 Como a fungaéo cosseno é sempre positiva no intervalo 721 temos que fx gx se O0a1legx fx se 72 x 0 temos que calcular o seguinte 0 1 A x mxcos x dx maxcos x dx 12 0 Para isto calculamos inicialmente uma primitiva de zacos a usando integracaéo por partes Seja UuT72 du 7 dx dv cos x dx v sen x Entao reco a dx masen x ren x dx maxsen x cos Assim temos 0 0 1 1 A 22 maxsen x cos masen x cos 22 12 72 0 0 n782n172 7sen 1 cos 1 1 12 58 2nnsen 1 cos 1 12 4 25 Um jovem esportista se encontra num ponto O de uma represa circular com raio de 6km e quer chegar no ponto P diametralmente oposto a O do outro lado da represa no menor tempo possivel Ele pode correr a uma taxa de 12 kmh e remar um bote que esta no ponto O a 6 kmh Determine 0 menor tempo possivel para o esportista fazer o trajeto O objetivo é minimizar o tempo do percurso de O até P Supor que Q é outro ponto na circunferéncia tal que o jovem faz o percurso OQ de bote e QP correndo a beira da represa entao OQ QP 12cos 1260 t 4 2cos 9 0 O0Kt 0 6 1D 6 7 cos 0 t7 U2sin01 0ta7 nm OT U00 0Otn t oe t 0 2cos 0 Pelo teste da Segunda derivada a funcao tem valor minimo em on e valor maximo em Ainda comparando os valores de t nos pontos extremos do intervalo 0 2 tm 27 e t82 V3 088 Portanto o menor tempo possivel a ser feito pelo esportista é aprox 088h 3