Matemática: Análise de Limites, Derivações e Integrais

Universidade Federal do Espirito Santo Departamento de Matematica CCE PF Céleulo 1 MAT09570 010422 tarde Leia com atengao Justifique suas respostas Use valores exatos 1 Determine se existirem 15 a lim 2 sen onde a 0 xL0O x Temos uma indeterminacao oo 0 que transformamos em 8 im 222 sen 2 tim S22 Hy cos 5 z eth 8552 2 jim Cos c 3 200 xr 2 ool Oo dado que a 0 20 b os pontos da curva 2 ry y 1 em que a reta tangente é horizontal 10 Derivando implicitamente 22 yay 2yy 0 2a y a2 2yy 0 y y 22 272y 10 A reta tangente é horizontal quando tem declive 0 ou seja y 0Sy2z 1 Os pontos da forma x 2x que estao na curva satisfazem a 27 4 47 15 327 1le2ey13 Logo os pontos sao 13213 e 13 213 1 10 c sen gagadx sabendo que g0 7 e g1 772 0 u gx Substituindo du gixde r0u 90 a g1lug1 72 1 am 2 sen gxqxdx sen udu cos ult cos 72 cos 7 1 0 T 10 d fx fxdx sabendo que f tem o grafico como em baixo e as regides b A B C tém areas 3 21 respetivamente y a NB b x a b flslaz f Fle flaz b b f tars f pelae 3241434241 4 20 2 Encontre os pontos da elipse x 4y 4 que esto mais distantes do ponto 0 1 2 15 Seja Px y um ponto da elipse A distancia de P a 01 6d a y 1 Substituindo 274y 4 ie x 44y obtemos d 4 4y y 1 4 4y y 2y1 5 2y 3y O valor de y que otimiza d é o mesmo que otimiza d Assim resolvemos o problema de otimizacao maximizar fy 5 2y 3y y ER Derivando fy 26ye fy 0 26y0esy18 05 Note que fy 0 y 13 e fy 0 y 13 donde f admite maximo global para y 13 A abscissa correspondente satisfaz 2 49 4 x 329 ie 2 423 ou x 423 Portanto os pontos pretendidos sio 423 13 e 423 13 29 3 Seja R a regido do plano xy delimitada pelas curvas x y 1 x 3 SejaS o sdlido obtido por revolucao de R em torno da reta y 2 Escreva sem calcular as integrais que representam a a area de R Esboco PA one pe a Pa 2 eed BZ s 2c ae 05 Area f xry ex ydy f 3 y 1dy b o volume de S pelo método das cascas cilindricas 3 AA Os tnt iy ig 3 gl ee 4 fecal cam 2 SSS Uma casca ao nivel y 22 tem raio 2 y e altura 3 y 1 donde o volume é dado por 2 2n2 y3 y 1dy 2 c o volume de S pelo método do fatiamento Cagh BEAS 4 Ss a Se 2 2mm st Nie ee 10 Uma fatia ao nivel 2 13 6 uma arruela Invertendo x y 1 e atentando aos casos de sinal positivo e de sinal negativo de y a arruela tem raio interno 2x 1 e tem raio externo 2Vx124VJa21 4 5