Notas de Aula: Prova 3 - Integrais e Antiderivadas

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO Instituto de Ciências Exatas MAT09570 Cálculo I NOTAS DE AULA PROVA 3 Integrais 11 Integral indefinida Definição 1 Antiderivadas Dizemos que uma função F é antiderivada ou primitiva de uma função f em um dado intervalo aberto se Fx fx em cada x do intervalo Exemplo 1 A função Fx senx é antiderivada de fx cosx em pois para todo x temos Fx senx cosx fx Contudo não é a única antiderivada de f nesse intervalo Se somarmos qualquer constante c a Fx senx então a função também é uma antiderivada de f em pois Fx senx c cosx 0 fx O processo de encontrar antiderivadas é denominado integração antiderivação ou ainda antidiferenciação Você pode perguntar se existem antiderivadas de uma função f que não podem ser obtidas adicionando constantes a uma antiderivada F já conhecida A resposta é não uma vez conhecida uma única antiderivada de f em um intervalo todas as outras antiderivadas nesse intervalo podem ser obtidas adicionando constantes àquela antiderivada Desse modo se Fx fx como antiderivadas de f são da forma Fx c e denotamos fxdx Fx c em que C é uma constante arbitrária A expressão fxdx é denominada integral indefinida e representa uma família de funções Exemplo 2 Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções 1 fx senx 2 fx 1x 3 fx xn n 1 Prova 1 Se Fx cosx então Fx senx logo uma primitiva de senx é cosx e dessa forma a primitiva mais geral é cosx C 2 Lembrese que ddx lnx 1x Logo no intervalo 0 a primitiva geral de 1x é lnx C Também sabemos que ddx lnx 1x para todo x 0 então nos diz que a primitiva geral de 1x é lnx C em qualquer intervalo que não contenha 0 3 Usamos a Regra da Potência para descobrir uma primitiva de xn De fato se n 1 então ddx xn1n 1 n 1xnn 1 xn Logo a primitiva geral de fx xn é Fx xn1n 1 C TABELA DE INTEGRAIS INDEFINIDAS IMEDIATAS 1 du u c 2 un du un1n1 c n 1 3 du lnu c 4 au du auln a c a 0 a 1 A primitiva mais geral sobre um dado intervalo é obtida adicionando uma constante a uma dada primitiva Adotamos a convenção de que quando uma fórmula para uma integral indefinida geral é dada ela é válida somente em um intervalo Por exemplo 1x2 1x C de modo que fica subentendido que isso é válido em 0 ou 0 As primeiras propriedades das antiderivadas seguem diretamente das regras do fator constante da soma e da diferença de derivadas Definição 2 Propriedades da Integral Sejam Fx e Gx antiderivadas de fx e gx respectivamente e c uma constante Então i a fxdx a Fx c a fxdx c com a ii fx gxdx Fx Gx c fxdx gxdx c Exemplo 3 Calcule x2 4cosxdx Prova Como Fx 13x3 é antiderivada de fx x2 e Gx 4senx é a antiderivada de gx 4cosx das propriedades acima temos que x2 4cosxdx 13x3 4senx c Exemplo 4 Calcule 3x2 sec2xdx Prova 3x2 sec2xdx 3x2dx sec2xdx 3x33 tanx c x3 tanx c Exemplo 5 Calcule 7ex 1 3senxdx Prova 7ex 1 3senxdx 7 exdx 1dx 3 senxdx 7ex x 3cosx c 7ex x 3cosx c Exemplo 6 Calcule 2xe2dx Prova 2xe2dx e2x2 c pois e2x2 2xe2x2 12 Integral definida Sejam x0 x1 x2 xn pontos quaisquer de a b tais que a x0 x1 x2 xn1 xn b Esses dividem a b em n subintervalos x0 x1 x1 x2 xn1 xn em que Δxj xj xj1 para j 1 n Escolha x j xj1 xj ponto arbitrariamente selecionado no subintervalo e P a x0 x1 x2 xn1 xn b a partição de a b Para uma função f definida em a b a soma j1 to n fx jΔxj é chamada de Soma de Riemann relativa à partição P e os números x j Definição 3 Dizemos que a integral definida de f de a a b é ba fxdx limΔx0 nj1 fxjΔxj desde que o limite exista e não depende da escolha das partições e da escolha dos pontos xj dizemos que f é integrável em a b Os números a e b são denominados limite de integração inferior e limite de integração superior respectivamente e fx é denominado integrando A boa notícia é que Teorema 4 Se f a b R é contínua então é integrável De modo mais geral ainda vale que se uma função f possui apenas um número finito de descontinuidades em a b ela também será integrável Pela definição definição temos ab fxdx 0 e ba fxdx ab fxdx A integral definitiva é um número não depende de x podemos usar qualquer letra para substituir sem alterar o valor da integral Definição 5 Propriedades da Integral Se f e g são funções integráveis em a b e c é uma constante valem ba cdx cb a 2 ba fx gxdx ba fxdx ba gxdx 3 ba cfxdx c ba fxdx 4 Se fx 0 para a x b então ba fxdx 0 5 Se fx gx para a x b então ba fxdx ba gxdx 6 Se m fx M para a x b então mb a ba fxdx Mb a Teorema 6 Para c a b vale ba fxdx ca fxdx cb fxdx Exemplos 8 Calcule 61 1x dx Prova A integral dada é uma abreviação para 61 1x dx Uma primitiva de fx 1x é Fx lnx e como 1 x 6 podemos escrever Fx lnx Logo 61 1x dx lnx61 ln6 ln1 ln6 O que está errado no seguinte cálculo O Teorema Fundamental do Cálculo aplicase a funções contínuas E neste caso a função fx 1x não é contínua em 1 6 pois f tem uma descontinuidade em x 0 portanto 61 1x dx não existe Teorema 8 Suponha que f seja contínua em a a 1 Se f é ímpar fx fx então aa fxdx 2 0a fxdx 2 Se f é par fx fx então aa fxdx 0 Exemplo 12 A função fx x é par logo 22 xdx 02 xdx 02 x²dx x²02 4 Exemplo 13 A função fx sen xx⁶ é ímpar logo 55 sen xx⁶dx 0 Exemplo 14 Calcule senxcos²xdx Prova Essa integral indefinida não é imediatamente reconhecível mas se fizermos uma manipulação usando identidades trigonométricas para reescrever essa função antes de integrála temos senxcos²xdx 1cos²xsenxdx sec²x dx secx C Exemplo 15 Calcule 03 x³ 6xdx Prova 03 x³ 6xdx x⁴4 6x²2 03 143⁴ 33² 140⁴ 30² 814 27 0 0 675 Então o correto é somar as áreas com que tem o sinal de menos a área com sinal de 14 Técnicas de integração 141 Método de fazer substituições Mudança de Variável Sejam f e g funções tais que Img Df com g derivável Suponha que F seja uma primitiva de f isto é Fx fx Então fgxgxdx Fgx c pois pela regra da cadeia Fgxdx Fgxgx fgxgx Fgxdx fgxgxdx Fgx c fgxgxdx Se fizermos a mudança de variável ou a substituição u gx temos dudx gx du gxdx logo fgxgxdx fudu Fu c Fgx c Exemplo 16 Calcule 2x cos²x²dx Exemplo 17 Calcule 3exdx 3exdx eu3 c eu3 c e3x3 c aqui usamos a mudança u 3x e du 3dx Exemplo 18 Calcule 3x1x²dx Vamos usar a mudança de variáveis u 1 x² assim du 2xdx Exemplo 20 Calcule 2x 1dx Prova Seja u 2x 1 Então du 2dx de modo que dx 12du Nesse caso a Regra da Substituição nos dá 2x 1dx u 12du 12 u¹²du 12 u³²3 C 132x 1³² C Prova Outra substituição possível é u 2x 1 Então du dx2x 1 logo dx 2x 1du Ou observe que u² 2x 1 de modo que 2udu 2dx Portanto 2x 1dx u udu u²du u³3 C 132x 1³² C Exemplo 21 Encontre 1 x²x⁵dx Prova Uma substituição apropriada fica mais evidente e fatoramos x⁵ como x⁴x Seja u 1 x² Então du 2xdx de modo que dx 12du Também temos x² u 1 portanto x⁴ u 1² Teorema 9 Regra da Substituição para as Integrais Defindas Se g for contínua em a b e f for contínua na imagem de u gx então ab fgxgxdx fgb fga Exemplo 22 Calcule 04 2x 1dx usando o exemplo anterior Prova Usando o exemplo anterior temos u 2x 1 e dx 12du Para encontrarmos os novos limites de integração observamos que quando x 0 u 20 1 1 e quando x 4 u 24 1 9 0 4 2x 1dx 9 1 2 u du 1 2 2 32 u 32 9 1 1 3 9 32 132 26 3 Uma boa definição para a área deverá implicar que n k1 fx kΔx k é uma aproximação por falta e n k1 fx kΔx k é uma aproximação por excesso isto é n k1 fx kΔx k Área A n k1 fx kΔx k Como as somas de Riemann tendem a b a fxdx obtemos quando Δx k 0 na expressão 1 b a fxdx lim Δx k0 n k1 fx kΔx k Área A lim Δx k0 n k1 fx kΔx k b a fxdx Portanto Área A b a fxdx 151 Área de curva limitada pelo gráfico e o eixo com f 0 Quando fx 0 em a b temos que b a fxdx 0 Logo A A1 A2 0π senxdx 2π senxdx cosx0π cosx2ππ cosπ cos0 cos2π cosπ 4ua Exemplo 27 Encontre a área da região delimitada pelas parábolas y x² e y 2x x² Prova Primeiro encontramos os pontos de interseção das parábolas resolvendo suas equações simultaneamente Isso resulta em x² 2x x² ou 2x² 2x 0 Portanto 2xx 1 0 então x 0 ou 1 Os pontos de interseção são 0 0 e 1 1 Definição 10 A área entre as curvas y fx e y gx e entre x a e x b é A ba fx gxdx A 0π4 cosx senxdx A1 A2 π40 cosx senxdx π42 senx cosxdx 22 2 Exemplo 29 Encontre a área delimitada pela reta y x 1 e pela parábola y² 2x 6 Prova Ao resolverm Vamos dividir S em n fatias de largura iguais a Δx usando os planos Px₁ Px₂ para fatiar o sólido Usando a definição de volume com a r e b r temos V ᵣᵉᶜᴴ Axdx ᵣᵉᶜₐ πr² x²dx Se n aumentar podemos calcular o valor médio de um grande número de valores igualmente espaçados O valor limite é lim n 1 ba n i1 fxix 1 ba b a fxdx pela definição de integral definida Portanto definimos o valor médio de f no intervalo a b como fmed 1 ba b a fxdx Exemplo 35 Encontre o valor médio da função fx 1 x² no intervalo 1 2 Prova Com a 1 e b 2 temos fmed 1 ba b a fxdx 1 21 2 1 1 x²dx 1 3 x x³ 3 2 1 2 Teorema 13 O Teorema do Valor Médio para Integrais Se f for contínua em a b então existe um número c em a b tal que fc fmed 1 ba b a fxdx ou seja b a fxdx fcba Exemplo 36 Como fx 1 x² é contínua no intervalo 1 2 o Teorema do Valor Médio para Integrais indica que existe um número c em 1 2 tal que 2 1 1 x²dx fc21 Neste caso em particular podemos encontrar c explicitamente Do exemplo anterior sabemos que fmed 2 então o valor de c satisfaz fc fmed 2 Portanto 1 c² 2 e assim c² 1 Para integrar uma função contínua que é definida por partes em um intervalo a b divida o intervalo em subintervalos nos pontos em que a função é descontínua e integre separadamente em cada intervalo Exemplo 38 4 3 x³x2dx 2 3 x³x2dx 4 2 x³x2dx 2 3 x⁴ 2x³dx 2 2 x⁴ 2x³dx x⁵ 5 x⁴ 2 2 3 x⁵ 5 x⁴ 2 4 2 32 5 16 2 243 5 81 2 64 80 486 405 2048 1280 64 80 91 10 91 Pois x2 x 2 se x 2 x 2 se x 2 Exemplo 39 1 0 eˣ 3xdx Note que Fx eˣ 3x é primitiva de fx eˣ 3 e f contínua em 0 1 logo integrável assim 1 0 eˣ 3xdx eˣ 3x1 0 e¹ 3 1 e⁰ 3 0 1 e Se fizermos r r2 r1 r 1 2 r2 r1 então a fórmula para o volume de uma casca cilíndrica se torna V 2πrhr e pode ser memorizada como V circunferênciaalturaespessura Definição 12 O volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região sob a curva y fx de a até b é V b a 2πxfxdx onde 0 x b Exemplo 33 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região delimitada por y 2x² x³ e y 0 Prova Vemos que uma casca típica tem raio x circunferência 2πx e altura fx 2x² x³ Então pelo métodos das cascas o volume é V 2 0 2πx2x² x³dx 2π 2 0 2x³ x⁴dx 2π 1 2 x⁴ 1 5 x⁵ 2 0 2π8 32 5 16 5 π Exemplo 34 Use cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região sob a curva y x de 0 até 1 Prova Este problema foi resolvido utilizando os discos na seção anterior Para o uso de cascas reescrevemos a curva y x como x y² Pela rotação em torno do eixo x vemos que uma casca típica tem raio y circunferência 2πy e altura 1 y² Assim o volume é V 1 0 2πy1 y²dy 2π 1 0 y y³dy 2π y² 2 y⁴ 4 1 0 π 2 Neste exemplo o método do disco foi mais simples 18 Método de Integração por Partes Sejam f e g funções definidas em um intervalo ITemos fxgx fxgx fxgx Daí supondo que fxgx admita primitiva em I e observando que fxgx é primitiva de fxgx fxgxdx fxgx fxgxdx fxgx c fxgxdx fxgxdx c fxgxdx fxgx fxgxdx c Essa última igualdade é chamada de fórmula para integração por partes É mais fácil lembrar com a seguinte notação Fazendo u fx e v gx temos du fxdx e dv gxdx e assim udv uv vdu Exemplo 40 Calcule x senxdx Considere u x então du dx e dv senxdx então v cosx Assim pela fórmula para integração por partes temos xsenxdx x cosx cosxdx x cosx senx c Outra forma Sejam u x dv senxdx du dx v cosx Então u x dv senxdx u x v cos u x cos v cos du dx xcosx cordx xcos² senx C É útil usar o padrão u dv du v Exemplo 41 Calcule xe3xdx Considere u x então du dx e dv e3xdx então v e3x3 Assim pela equação para integração por partes temos xe3xdx e3x3 e3xdx e3x3 13 e3xdx e3x3 19 e3x c Exemplo 42 Calcule x²lnxdx Considere u lnx então du 1x dx e dv x²dx então v x³3 Assim pela equação para integração por partes temos x²lnxdx x³3 lnx x³3 dx x³3 lnx x³9 c x³3 lnx x³9 c Exemplo 43 Avalie lnxdx Prova Aqui não temos muita escolha para u e dv Considere u ln x dv dx então integrando por partes temos lnxdx xlnx dxx xlnx x C A integração por partes é eficaz neste exemplo porque a derivada da função fx ln x é mais simples que f Exemplo 44 Calcule ₀¹tg¹xdx Prova Seja u tg¹x dv dx então fazendo a integração por partes temos ₀¹tg¹xdx xtg¹xⁱ₀ ₀¹ x1 x²dx 1 tg¹1 0 tg¹0 ₀¹ x1 x²dx π4 ₀¹ x1 x²dx Para calcularmos essa integral usamos a substituição t 1 x² Então dt 2xdx e assim xdx 12dt Quando x 0 t 1 quando x 1 t 2 portanto ₀¹ x1 x²dx 12 ₂¹ dtt 12 lnt² ¹₂ 12ln2 ln1 12ln2 Logo ₀¹tg¹xdx π4 12 ₀¹ x1 x²dx π4 ln22 Exemplo 45 Calcule cos³xdx Prova A simples substituição de u cos x não ajuda porque assim du senxdx Para integrarmos potências de cosseno necessitaríamos de um fator extra senx De forma semelhante uma potência de seno pediria um fator extra cosx Portanto aqui podemos separar um fator cosseno e converter o fator cos²x restante em uma expressão envolvendo o seno usando a identidade sen²x cos²x 1 cos³xdx cos²xcosx 1 sen²xcosxdx 1 sen²xcosxdx 1 u²du u u³3 C senx sen³x3 C Exemplo 46 Encontre sen⁵xcos²xdx Prova Poderíamos converter cos²x para 1 sen²x mas obteríamos uma expressão em termos de senx sem nenhum fator extra cos²x Em vez disso separamos um único fator de seno e reescrevemos o fator sen⁴x restante em termos de cos² sen⁵xcos²x sen²x²cos²xsenx 1 cos²x²cos²xsenx Substituindo u cosx temos du senxdx e assim sen⁵xcos²xdx sen²x²cos²xsenxdx 1 cos²x²cos²senxdx 1 u²²u²du u² 2u⁴ u⁶du u³3 2u⁵5 u⁷7 C cos³x3 2cos⁵x5 cos⁷x7 C Outras identidades trigonométricas que podemos utilizar são sen²x 121 cos2x e cos²x 121 cos2x Exemplo 47 Calcule ₀¹sen²xdx Prova Se escrevermos sen²x 1 cos2x a integral não é mais simples de calcular Usando a fórmula do ângulometade para sen²x temos ₀¹sen²xdx 12 ₀¹π cos2xdx 12 x 12 sen2xⁱ₀ 12π 12 sen2π 120 12 sen0 12π Exemplo 48 Encontre sen⁴x dx Prova Vamos utilizar o método da fórmula do ângulométade sen⁴x dx sen²x² dx 1 cos2x2 ² dx 14 1 2cos2x cos²2x dx Como cos²2x ocorre precisamos usar outra fórmula do ângulométade cos²2x 121 cos4x Isso fornece sen⁴x dx 14 1 2cos2x 121 cos4x dx 14 32 2cos2x 12 cos4x dx 13 14 sen2x 18 sen4x C Para resumirmos listamos as regras que devem ser seguidas ao calcular integrais da forma senm x cosn x dx em que m 0 e n 0 são inteiros Podemos empregar uma estratégia semelhante para calcular integrais da forma tgm x secn x dx Como ddx tg x sec² x podemos separar um fator sec² x e converter uma potência da secante restante em uma expressão envolvendo a tangente utilizando a identidade sec² x 1 tg² x Ou como ddx sec x sec x tg x podemos separar um fator sec tg x e converter a potência da tangente restante para a secante Exemplo 49 Calcule tg⁶ x sec⁴ x dx Prova Se separarmos um fator sec² x poderemos expressar o fator sec² x em termos de tangente usando a identidade sec² x 1 tg² x Podemos então calcular a integral substituindo u tg x de modo que du sec² dx tg⁶ x sec² x dx tg⁶ x 1 tg² x sec² x dx u⁶1 u² du u⁶ u⁸ du u⁷7 u⁹9 C 17 tg⁷ x 19 tg⁹ x C Estratégia para calcular tgm x secn x dx a Se a potência do secante é par n 2k k 2 guarde um fator sec² x e use sec² x 1 tg² x para expressar os fatores restantes em termos de tg x tgm sec²k dx tgm x sec² xk1 sec² x dx tgm x 1 tg² xk1 sec² x dx A seguir substitua u tg x b Se a potência da tangente é ímpar m 2k 1 guarde um fator de sec² x e use tg² x sec² x 1 para expressar os fatores restantes em termos de sec x tg2k1 secn x dx tg² xk secn1 sec x tg x dx sec² x 1k secn1 sec x dx A seguir substitua u sec x c Se as potências de seno e cosseno forem pares utilizamos as identidades dos ângulosmétade sen² x 121 cos2x cos² x 121 cos2x Algumas vezes é útil usar a identidade sen x cos x 12 sen2x Temos tgθ fracx2 Rightarrow x 2tgx Daí dx 2sec2θ dθ Fazendo a substituição temos sqrt4x2 sqrt42tgy2 sqrt41tg2θ 2sqrtsec2θ 2secθ 2secθ pois secθ 0 forall θ in 0 fracpi2 Substituindo na integral temos int fracdxsqrt4x2 int frac2sec2θ2secθdθ int secθ dθ lnsecθtgθ c lnsqrt4x2 fracx2 c Exemplos 52 Calcule int sqrt254t2dt Veja que sqrt254t2 sqrt252t2 Assim podemos considerar o triângulo retângulo sqrt244t2 Temos cosθ frac2t5 daí t frac52cosθ onde θ in 0 fracpi2 Assim dt frac52senθdθ Logo sqrt254t2 sqrt25 frac254cos2θ 5sqrt1cos2θ 5sqrtsen2θ 5senθ 5senθ pois senθ 0 forall θ in 0 fracpi2 Substituindo na integral temos int sqrt254t2dt int 5senθ cdot frac52senθdθ frac252 int 1cos2θ 2 frac254 heta fracsen2θ2 c frac252arcosfrac2t5 frac2t5sqrt254t2 c Considere o triângulo retângulo abaixo Considere a substituição cosθ frac32 daí x frac3cosθ 3sec θ Assim dx 3senθtgθdθ Daí temos sqrtx29 sqrtsec2θ9 sqrt3sec2θ1 sqrttgθ3tgθ 3tgθ pois tgθ 0 forall θ in 0 fracpi2 Substituindo na integral temos int xsqrtx29dx int 3sec3tgθ3secθtgθdθ 27int sec2tgθdθ int u3du 27fracu33 c 9 left fracx293 right32 c 111 Integração de funções racionais por frações parciais Considere a função racional fx fracpxqx onde p e q são polinômios com qx eq 0 para x in Df 1 Quando p geq q podemos fazer a divisão polinomial e aplicar o algoritmo de divisão de Euclides px qxsx rx E assim obtemos fx fracpxqx fracqxsx rxqx sx fracrxqx com r q Exemplos 54 Como o grau do numerador é maior que o grau do denominador faremos a divisão de x3x por x1 temos int fracx3x22x1dx int left x2x2 frac2x1 rightdx fracx33 fracx22 2x 2lnx1 c Exemplos 55 Agora é sua vez calcule int fracx44x21dx 2 Quando p q fatoramos o polinômio qx o máximo possível e reescrevemos f como uma soma de frações parciais Aqui temos 4 casos possíveis iremos estudar cada um deles separadamente 1º caso qx é um produto de fatores lineares distintos isto é qx a1b1a2b2 cdots arxbr onde não há repetição de fatores e nenhum dos fatores é múltiplo de outro neste caso existem A1 cdots Ar reais tais que fx fracpxqx fracA1a1xb1 fracA2a2xb2 cdots fracArarxbr Se qx é produto de fatores quadráticos irretrutíveis e nenhum fatores são repetidos 78 Integrais Impróprias 1 Definição de uma Integral Imprópria do Tipo 1 Geometricamente isso quer dizer que embora as curvas y 1x² e y 1x pareçam muito semelhantes para x 0 a região sob y 1x² à direita de x 1 a região sombreada na Figura 4 tem uma área finita enquanto a região correspondente sob y 1x na Figura 5 tem uma área infinita Observe que 1x² 1x se aproximam de 0 quando x mas 1x² se aproxima mais rápido de 0 que 1x Os valores de 1x não diminuem rápido o suficiente para que sua integral tenha um valor finito EXEMPLO 2 Calcule ₀ xeᵡ dx SOLUÇÃO Usando a parte b da Definição 1 temos ₀ xeᵡ dx lim t ₀t xeᵡ dx Integramos por partes com u x dv eᵡ dx de modo que du dx v eᵡ ₀t xeᵡ dx xeᵡ₀t ₀t eᵡ dx teᵗ 1 eᵗ Sabemos que eᵗ 0 quando t pela Regra de LHôpital temos lim t teᵗ lim t teᵗ lim t 1eᵗ 0 Portanto ₀ xeᵡ dx lim t teᵗ 1 eᵗ 0 1 0 1 EXEMPLO 3 Calcule 11 x² dx SOLUÇÃO É conveniente escolher a 0 na Definição 1c 11 x² dx 0 11 x² dx ₀ 11 x² dx Precisamos calcular as integrais no lado direito separadamente 0 11 x² dx ₀ 11 x² dx π2 lim t tg¹ t tg¹ 0 lim t tg¹ t 0 π2 EXEMPLO 7 Calcule 3 0 dx x 1 se for possível SOLUÇÃO Observe que a reta x 1 é uma assíntota vertical do integrando Como ela ocorre no meio do intervalo 0 3 devemos usar a parte c da Definição 3 com ε 1 3 0 dx x 1 1 0 dx x 1 3 1 dx x 1 onde 1 0 dx x 1 lim t1 t 0 dx x 1 lim t1 ln x 10 lim t1 ln1 t porque 1 t 0 quando t 1 Então 0 1 dxx 1 é divergente Isso implica que 3 0 dxx 1 é divergente Não precisamos calcular 3 1 dxx 1 ATENÇÃO Se não tivéssemos observado a assíntota x 1 no Exemplo 7 e em vez disso tivéssemos confundido essa integral com uma integral ordinária então poderíamos ter feito erroneamente o seguinte cálculo 3 0 dx x 1 2 ln 2 ln 1 ln 2 Isso é errado porque a integral é imprópria e deve ser calculada em termos de limite De agora em diante toda vez que você se deparar com o símbolo b a fx dx você deve decidir olhando a função f no intervalo a b se ela é uma integral definida ordinária ou uma integral imprópria EXEMPLO 8 Calcule 1 0 ln x dx SOLUÇÃO Sabemos que a função fx ln x tem uma assíntota vertical em 0 como lim x0 ln x Assim a integral dada é imprópria e temos 1 0 ln x dx lim t0 1 t ln x dx Agora usamos a integral por partes com u ln x dv dx du dxx e v x 1 t ln x dx x ln x1t 1 t dx 1 ln 1 1 ln t 1 t 1 dx Para calcularmos o limite do primeiro termo usamos a Regra de LHôpital lim t0 ln t lim t0 ln t lim t0 1t então 1 0 ln x dx 1 0 0 1 A Figura 11 mostra a interpretação geométrica desse resultado A área da região sombreada acima de y ln x e abaixo do eixo x é 1