Conceitos e Resolução de Sistemas Lineares

SISTEMAS LINEARES Professor Antônio Fabiano Paiva Conceito preliminar Equação linear É toda equação da forma 𝑎1𝑥1 𝑎2𝑥2 𝑎3𝑥3 𝑎𝑛𝑥𝑛 b Onde 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎𝑛 são coeficientes das variáveis 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛 respectivamente além de b ser chamado termo independente Exemplo de uma equação linear 2x 3y z 5 Sistema linear É o conjunto de m equações lineares com n variáveis De uma maneira geral um sistema m x n pode ser apresentado da seguinte forma 𝑎11𝑥1 𝑎12𝑥2 𝑎13𝑥3 𝑎1𝑛𝑥𝑛 𝑏1 𝑎21𝑥1 𝑎22𝑥2 𝑎23𝑥3 𝑎2𝑛𝑥𝑛𝑏2 𝑎31𝑥1 𝑎32𝑥2 𝑎33𝑥3 𝑎3𝑛𝑥𝑛𝑏3 𝑎𝑚1𝑥1 𝑎𝑚2𝑥2 𝑎𝑚3𝑥3 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛𝑏𝑚 Exemplo de um sistema linear ቐ 2𝑥 𝑦 𝑧 2 𝑥 𝑦 2𝑧 2 3𝑥 2𝑦 𝑧 2 Observação O sistema linear apresentado acima é de ordem 3 x 3 pois possui três equações cada uma com três variáveis Solução de uma sistema linear Resolver um sistema linear é encontrar uma sequência numérica que seja solução simultânea de todas as equações que compõem o mesmo A solução de uma equação linear é uma sequência numérica que atende à igualdade apresentada na expressão Exemplo Sendo dada a equação x 2y z 5 podemos dizer que um sequência que atende à igualdade é 0 1 3 ou ainda 3 0 2 Na verdade temos infinitas sequências que são soluções de uma determinada equação linear Escalonamento de uma sistema Método resolutivo de um sistema onde por operações elementares encontramos um sistema equivalente a um determinado sistema que será escrito na forma escalonada também chamada forma escada Exemplo de um sistema escalonado ቐ 𝑥 𝑦 𝑧 9 𝑦 2𝑧 10 4𝑧 12 O importante é que um sistema já escalonado tem fácil resolução Operações Elementares São operações que podemos realizar com as equações de modo a conseguir um novo sistema equivalente ao original e que esteja na forma escalonada São elas Trocar a posição de uma equação com outra Multiplicar toda uma equação do sistema por um número real Substituir uma equação pela soma dela mesma com qualquer outra Substituir uma equação pela soma dela mesma com qualquer outra que foi multiplicada por um número real Exemplo Vamos aplicar operações elementares e encontrar a solução do seguinte sistema linear ቐ 𝑥 𝑦 𝑧 6 2𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑥 𝑦 2𝑧 5