Definição e Exemplos de Espaços Vetoriais

Espaço vetorial Professor Antônio Fabiano Paiva Definição Um espaço vetorial é um conjunto V não vazio que está definido com duas operações Soma Sendo u e v são dois elementos pertencentes a V a soma de u com v ser denotada por u v u v é um elemento de V Multiplicação por escalar Sendo 𝒄 um número real qualquer e u um elemento de V a multiplicação de u com 𝒄 denotada por 𝒄 u cu éum elemento de V O conjunto V é fechado para as operações de soma e produto por um escalar Exemplo Considere o conjunto V formado por todos os vetores do ℝ3 Vamos verificar que esse conjunto é um espaço vetorial atendendo às condições apresentadas acima Vejamos Considere então dois vetores quaisquer do espaço ℝ3 𝑢 𝑥𝑢 𝑦𝑢 𝑧𝑢 e 𝑣 𝑥𝑣 𝑦𝑣 𝑧𝑣 com 𝑥𝑢 𝑥𝑣 𝑦𝑢 𝑦𝑣 𝑧𝑢 𝑒 𝑧𝑣 sendo números reais e um número real k Vamos comprovar as duas operações necessárias para a verificação do conjunto ser considerado um espaço vetorial 𝑢 𝑣 𝑥𝑢 𝑥𝑣 𝑦𝑢 𝑦𝑣 𝑧𝑢 𝑧𝑣 que é um vetor do ℝ3 também 𝑘 𝑢 𝑘 𝑥𝑢 𝑦𝑢 𝑧𝑢 𝑘𝑥𝑢 𝑘𝑦𝑢 𝑘𝑧𝑢 que também é um vetor do espaço ℝ3 Portanto o conjunto de todos os vetores do ℝ3 é considerado um espaço vetorial Subespaços vetoriais Considere um espaço vetorial V e W um subconjunto de V e que também é fechado para as mesmas operações soma produto por um escalar Dizemos então que W é um subespaço vetorial de V Exemplo Considere agora o espaço vetorial V de todas as matrizes quadradas de ordem 2 𝑀2 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑐𝑜𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 𝑒 𝑤 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟 e seu subconjunto W formado por todas as matrizes de ordem 2 que são matrizes diagonais Podemos provar que W é um subespaço de V Subespaço Gerado Definição É o subespaço vetorial formado por todos os vetores que são combinação linear de um grupo de outros vetores previamente estabelecidos O conjunto U formado por todos os vetores 𝒗 que são combinação linear de 𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑 𝒖𝒏 é denominado subespaço vetorial gerado por 𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑 𝒖𝒏 e podendo ser representado por U 𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑 𝒖𝒏 Exemplo Consideremos os vetores do plano ℝ2 𝑢 1 0 e 𝑣 0 1 Podemos então verificar que todos os vetores de ℝ2 podem ser obtidos através de uma combinação linear envolvendo 𝑢 1 0 e 𝑣 0 1 logo esse plano ℝ2 será gerado por tais vetores ℝ2 𝑢 𝑣 Conjunto de vetores LI e Conjunto de vetores LD Sendo dado um conjunto de vetores 𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑 𝒖𝒏 de um espaço vetorial V podemos classificálo de LI linearmente Independente ou LD linearmente dependente de acordo com a igualdade a seguir 𝜶𝟏 𝒖𝟏 𝜶𝟐 𝒖𝟐 𝜶𝒏 𝒖𝒏 𝟎 Se 𝜶𝟏 𝜶𝟐 𝜶𝒏 𝟎 LI Se pelo menos um dos 𝜶𝟏 𝜶𝟐 𝜶𝒏 for diferente de zero LD Exemplo Considere o espaço amostral V ℝ𝟐 e os vetores 𝒗𝟏 𝟏 𝟎 e 𝒗𝟐 𝟎 𝟏 pertencentes a V Verificaremos que o conjunto formado por 𝒗𝟏 e 𝒗𝟐 será LI pois 𝜶𝟏 𝒗𝟏 𝜶𝟐 𝒗𝟐 𝟎 𝜶𝟏 𝟏 𝟎 𝜶𝟐 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝜶𝟏 𝜶𝟐 𝟎 𝟎 logo 𝜶𝟏 𝟎 e 𝜶𝟐 𝟎 Base de um espaço vetorial Sendo dado um espaço vetorial V um subconjunto W formado pelos vetores 𝒘𝟏 𝒘𝟐 𝒘𝒏 será chamado de base do espaço V se 𝒘𝟏 𝒘𝟐 𝒘𝒏 for LI 𝒘𝟏 𝒘𝟐 𝒘𝒏 gerar V ou seja V 𝒘𝟏 𝒘𝟐 𝒘𝒏 Considere o subconjunto do ℝ𝟐 formado pelo vetores 𝒘𝟏 𝟏 𝟏 e 𝒘𝟐 𝟎 𝟏 Vamos verificar que esses dois vetores são uma base de ℝ𝟐 Resolução 𝜶𝟏 𝒘𝟏 𝜶𝟐 𝒘𝟐 𝟎 𝟎 𝜶𝟏 𝟏 𝟏 𝜶𝟐 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 de onde podemos verificar que 𝜶𝟏 𝜶𝟐 𝟎 e assim então o subconjunto é LI Podemos ainda observar que o os dois vetores geram o ℝ2 pois um vetor genérico Ԧ𝑣 𝑥 𝑦 com x e y pertencente ao conjunto dos números reais ℝ pode ser obtido da seguinte forma 𝑥 𝑦 𝑥 1 1 𝑦 𝑥 0 1 ou seja são geradores de V