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Engenharia Ambiental ·
Geometria Analítica
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Transformações Lineares Professor Antônio Fabiano Paiva Definição Sendo dados espaços vetoriais V e W definimos uma transformação linear de V em W 𝑇 𝑉 𝑊 como sendo uma aplicação que leva cada vetor 𝑣 𝑉 a um único vetor 𝑤 𝑊 Denotaremos transformação linear aplicada a um vetor 𝑣 como 𝑇𝑣 Importante Uma transformação linear deverá ser fechada para a soma e também para o produto por escalar Sendo dados dois vetores 𝑣1 e 𝑣2 pertencentes ao espaço amostral V onde 𝑇 𝑉 𝑊 teremos 𝑇 𝑣1 𝑇 𝑣2 𝑇 𝑣1 𝑣2 𝑘 𝑇 𝑣1 𝑇 𝑘 𝑣1 Portanto para verificar se uma determinada aplicação entre dois espaços vetoriais é uma transformação linear basta verificarmos essas duas situações Exemplo Consideremos os espaço vetoriais V ℝ2 e W ℝ3 Vamos apresentar a aplicação 𝑇 𝑉 𝑊 tal que 𝑇 𝑥 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 0 e verificar que se trata de uma transformação linear Resolução Primeira parte Consideremos dois vetores 𝑣1 𝑣2 𝑉 onde vamos verificar o fechamento para a soma Sabemos que 𝑣1 𝑣2 ℝ2 logo poder ser expressos assim 𝑣1 𝑥1 𝑦1 e 𝑣2 𝑥2 𝑦2 com 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑒 𝑦2 ℝ e portanto 𝑣1 𝑣2 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2 Logo 𝑇 𝑣1 𝑇 𝑥1 𝑦1 𝑥1 𝑥1 𝑦1 0 𝑇 𝑣2 𝑇 𝑥2 𝑦2 𝑥2 𝑥2 𝑦2 0 e assim 𝑇 𝑣1 𝑇 𝑣2 seria 𝑇 𝑣1 𝑇 𝑣2 𝑥1 𝑥1 𝑦1 0 𝑥2 𝑥2 𝑦2 0 𝑇 𝑣1 𝑇 𝑣2 𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 0 0 𝑇 𝑣1 𝑇 𝑣2 𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2 0 𝑇 𝑣1 𝑣2 Segunda parte Consideremos agora o vetor 𝑣 ℝ2e um número real k 𝑣 𝑥 𝑦 𝑘 𝑣 𝑘 𝑥 𝑦 𝑘𝑥 𝑘𝑦 portanto 𝑇 𝑣 𝑇 𝑥 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 0 e assim 𝑘 𝑇 𝑣 𝑘 𝑇 𝑥 𝑦 𝑘 𝑥 𝑥 𝑦 0 𝑘𝑥 𝑘𝑥 𝑘𝑦 0 𝑇𝑘𝑣 E finalmente então verificamos que a aplicação é uma transformação linear Propriedades das transformações lineares Considerando T como uma transformação linear de V em W sendo V e W dois espaços vetoriais 𝑇 𝑉 𝑊 podemos estabelecer as seguintes propriedades 𝑇 0 0 𝑇 Ԧ𝑣 𝑇 Ԧ𝑣 para qualquer 𝑣 𝑉 𝑇 𝑢 Ԧ𝑣 𝑇 𝑢 𝑇 Ԧ𝑣 Exemplo importante Considere a seguinte transformação linear 𝑇 𝑉 𝑊 onde V ℝ2 e W P2 e que T 11 2 3x x2 e T 23 1 x2 vamos então determinar T 2 1 Resolução Os vetores 1 1 e 2 3 são base para ℝ2 logo todos os outros vetores do ℝ2 podem ser escritos como uma combinação linear deles logo 𝛼 1 1 𝛽 2 3 2 1 e assim encontraremos 𝛼 8 𝑒 𝛽 3 Portanto 8 1 1 3 2 3 2 1 𝑇 2 1 𝑇 8 1 1 3 2 3 𝑇 8 1 1 𝑇 3 2 3 8 𝑇 1 1 3 𝑇 2 3 8 2 3𝑥 𝑥2 3 1 𝑥2 Logo 𝑇 2 1 11𝑥2 24𝑥 13
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Transformações Lineares Professor Antônio Fabiano Paiva Definição Sendo dados espaços vetoriais V e W definimos uma transformação linear de V em W 𝑇 𝑉 𝑊 como sendo uma aplicação que leva cada vetor 𝑣 𝑉 a um único vetor 𝑤 𝑊 Denotaremos transformação linear aplicada a um vetor 𝑣 como 𝑇𝑣 Importante Uma transformação linear deverá ser fechada para a soma e também para o produto por escalar Sendo dados dois vetores 𝑣1 e 𝑣2 pertencentes ao espaço amostral V onde 𝑇 𝑉 𝑊 teremos 𝑇 𝑣1 𝑇 𝑣2 𝑇 𝑣1 𝑣2 𝑘 𝑇 𝑣1 𝑇 𝑘 𝑣1 Portanto para verificar se uma determinada aplicação entre dois espaços vetoriais é uma transformação linear basta verificarmos essas duas situações Exemplo Consideremos os espaço vetoriais V ℝ2 e W ℝ3 Vamos apresentar a aplicação 𝑇 𝑉 𝑊 tal que 𝑇 𝑥 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 0 e verificar que se trata de uma transformação linear Resolução Primeira parte Consideremos dois vetores 𝑣1 𝑣2 𝑉 onde vamos verificar o fechamento para a soma Sabemos que 𝑣1 𝑣2 ℝ2 logo poder ser expressos assim 𝑣1 𝑥1 𝑦1 e 𝑣2 𝑥2 𝑦2 com 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑒 𝑦2 ℝ e portanto 𝑣1 𝑣2 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2 Logo 𝑇 𝑣1 𝑇 𝑥1 𝑦1 𝑥1 𝑥1 𝑦1 0 𝑇 𝑣2 𝑇 𝑥2 𝑦2 𝑥2 𝑥2 𝑦2 0 e assim 𝑇 𝑣1 𝑇 𝑣2 seria 𝑇 𝑣1 𝑇 𝑣2 𝑥1 𝑥1 𝑦1 0 𝑥2 𝑥2 𝑦2 0 𝑇 𝑣1 𝑇 𝑣2 𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 0 0 𝑇 𝑣1 𝑇 𝑣2 𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2 0 𝑇 𝑣1 𝑣2 Segunda parte Consideremos agora o vetor 𝑣 ℝ2e um número real k 𝑣 𝑥 𝑦 𝑘 𝑣 𝑘 𝑥 𝑦 𝑘𝑥 𝑘𝑦 portanto 𝑇 𝑣 𝑇 𝑥 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 0 e assim 𝑘 𝑇 𝑣 𝑘 𝑇 𝑥 𝑦 𝑘 𝑥 𝑥 𝑦 0 𝑘𝑥 𝑘𝑥 𝑘𝑦 0 𝑇𝑘𝑣 E finalmente então verificamos que a aplicação é uma transformação linear Propriedades das transformações lineares Considerando T como uma transformação linear de V em W sendo V e W dois espaços vetoriais 𝑇 𝑉 𝑊 podemos estabelecer as seguintes propriedades 𝑇 0 0 𝑇 Ԧ𝑣 𝑇 Ԧ𝑣 para qualquer 𝑣 𝑉 𝑇 𝑢 Ԧ𝑣 𝑇 𝑢 𝑇 Ԧ𝑣 Exemplo importante Considere a seguinte transformação linear 𝑇 𝑉 𝑊 onde V ℝ2 e W P2 e que T 11 2 3x x2 e T 23 1 x2 vamos então determinar T 2 1 Resolução Os vetores 1 1 e 2 3 são base para ℝ2 logo todos os outros vetores do ℝ2 podem ser escritos como uma combinação linear deles logo 𝛼 1 1 𝛽 2 3 2 1 e assim encontraremos 𝛼 8 𝑒 𝛽 3 Portanto 8 1 1 3 2 3 2 1 𝑇 2 1 𝑇 8 1 1 3 2 3 𝑇 8 1 1 𝑇 3 2 3 8 𝑇 1 1 3 𝑇 2 3 8 2 3𝑥 𝑥2 3 1 𝑥2 Logo 𝑇 2 1 11𝑥2 24𝑥 13