Introdução à Geometria Analítica: Retas, Circunferências e Cônicas

Geometria Analítica retas circunferências e cônicas Professor Antônio Fabiano Paiva Introdução à Geometria Analítica Para iniciarmos o estudo da geometria analítica é necessário conhecermos o Plano Cartesiano O Eixo Y linha vertical é chamado de eixo das ordenadas enquanto que o Eixo X linha horizontal é chamado de eixo das abscissas O ponto P ponto vermelho da figura possui duas coordenadas X e Y que indicam em que lugar dos eixos das ordenadas e abscissas ele se encontra Representase isso por Xp Yp Os números romanos nos cantos mostram os quadrantes do plano cartesiano Os pontos do eixo X que estão nos quadrantes II e III são negativos enquanto que em I e IV são positivos Os valores de Y nos quadrantes I e II são positivos e nos restantes III e IV esses valores são negativos Distância entre dois pontos A menor distância entre dois pontos é dada pela seguinte relação se soubermos as coordenadas de dois pontos no plano cartesiano ponto A e B é possível determinar a sua distância utilizando o teorema de Pitágoras a² b² c² A fórmula encontrada permite encontrar a distância entre quaisquer pares de pontos do plano conhecendo apenas suas coordenadas Distância entre ponto e reta Sendo dada uma reta r de equação geral sendo ax by c 0 e um ponto P 𝑥0 𝑦0 podemos calcular a distância de P até r da seguinte maneira Reta no plano cartesiano Definição Reta é o conjunto de infinitos pontos do plano que estão alinhados Podemos trabalhar a equação geral de uma reta usando a condição de alinhamento de três pontos Três pontos estão alinhados se e somente se pertencerem à mesma reta Para verificarmos se os pontos estão alinhados podemos utilizar a construção gráfica determinando os pontos de acordo com suas coordenadas posicionais Outra forma de determinar o alinhamento dos pontos é através do cálculo do determinante pela regra de Sarrus envolvendo a matriz das coordenadas Consideremos três pontos A B e C pertencentes a mesma reta colineares podemos então afirmar que 𝑥𝐴 𝑦𝐴 1 𝑥𝐵 𝑦𝐵 1 𝑥𝐶 𝑦𝐶 1 0 Equação geral de uma reta Conhecendo dois pontos A e B quaisquer de uma reta podemos encontrar a sua forma geral através do alinhamento de três pontos os dois conhecidos e o ponto genérico que representa todos os infinitos pontos da reta 𝑥 𝑦 1 𝑥𝐴 𝑦𝐴 1 𝑥𝐵 𝑦𝐵 1 0 ax by c 0 onde a 𝑦𝐴 𝑦𝐵 b 𝑥𝐵 𝑥𝐴 e c 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝑥𝐵 𝑦𝐴 Equação reduzida de uma reta A forma reduzida de uma reta r é dada a partir da seguinte estrutura Dada a equação geral da reta r ax by c 0 O seu coeficiente angular é dado por m ab isolamos a variável y que determina o ponto de intersecção com a abscissa raiz O seu coeficiente linear n cb que determina o ponto de intersecção com a ordenada raiz E assim então podemos escrever a equação reduzida da reta r y mx n Importante O coeficiente angular também pode ser apresentado como a declividade da reta 𝑚 𝑦𝐴𝑦𝐵 𝑥𝐵 𝑥𝐴 o que equivale a tg𝛼 𝛼 sendo a inclinação da reta Equação de uma reta passando por um ponto P 𝒙𝟎 𝒚𝟎 Seja P 𝑥0 𝑦0 um ponto conhecido Se quisermos obter a equação de uma reta que passe por P temos que conhecer o seu coeficiente angular m pois as infinitas retas que passam por P diferem de m angulação 𝑦 𝑦0 𝑚 𝑥 𝑥0 Posições relativas entre retas Retas paralelas Sendo duas retas r e s paralelas r s temos 𝑚𝑟 𝑚𝑠 𝛼1 𝛼2 Retas perpendiculares duas retas r e s são perpendiculares r s quando os seus coeficientes angulares são tais que 𝑚𝑟 𝑚𝑠 1 Definição Dados um ponto C pertencente ao plano 𝛼 e uma distância r não nula chamase circunferência ao conjunto de pontos de 𝛼 que estão a distância r do ponto C Equação reduzida de uma circunferência Considerando um ponto P 𝑥𝑃 𝑦𝑃 pertencente à circunferência 𝜑 de centro no ponto C 𝑥𝐶 𝑦𝐶 podemos então pela definição concluir que 𝑑𝑃𝐶 𝑟 𝑥𝑃 𝑥𝐶2𝑦𝑃 𝑦𝐶2 𝑟 Logo 𝑥𝑃 𝑥𝐶2𝑦𝑃 𝑦𝐶2 𝑟2 Equação reduzida de uma circunferência Equação geral de uma circunferência A partir da equação reduzida desenvolvemos os quadrados e encontramos a seguinte equação 𝐴𝑥2 𝐵𝑦2 𝐶𝑥 𝐷𝑦 𝐸 0 Onde A B C 2𝑥𝐶 D 2𝑦𝐶 E 𝑥𝐶2 𝑦𝐶2 𝑟2 Definição Uma elipse é conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 é constante e vale 2a Elementos principais de uma elipse 𝐹1𝑒 𝐹2 Focos da elipse O centro da elipse 𝐴1𝐴2 eixo maior 𝐵1𝐵2 eixo menor 2c distância focal 2a medida do eixo maior 2b medida do eixo menor ca excentricidade Relação notável 𝑎2 𝑏2 𝑐2 Equação reduzida de uma elipse Conforme a demonstração feita a equação reduzida de uma elipse de centro na origem eixo maior x e eixo menor y é a seguinte 1 b y a x 2 2 2 2 Exemplo Temos a seguir uma elipse com centro na origem eixo maior medindo 10 e distância focal igual a 6 Pela relação notável das elipses temos que 52 32 b2 25 9 b2 b2 25 9 b 4 1 16 y 25 x 2 2 Definição Dados dois pontos distintos F1 e F2 pertencentes a um plano seja 2c a distância entre eles Chamamos de hipérbole ao conjunto de pontos do plano cuja diferença em módulo das distâncias a F1 e F2 é constante e igual a 2a sendo respeitada a seguinte desigualdade 0 2a 2c Elementos principais de uma hipérbole Observe a hipérbole representada a seguir Nela temos os seguintes elementos focos os pontos F1 e F2 vértices os pontos A1 e A2 centro da hipérbole o ponto O que é o ponto médio de A1A2 semieixo real a semieixo imaginário b semidistância focal c distância focal 2c eixo real 2a eixo imaginário 2b Excentricidade Chamamos de excentricidade o número real e tal que Como c a temos e 1 Caso de uma hipérbole com centro na origem e eixo real y Nessas condições a equação da hipérbole é Definição Dados um ponto F e uma reta d pertencentes a um plano com F não pertencente à reta d seja p a distância entre F e d Chamamos de parábola ao conjunto de pontos do plano que estão à mesma distância de F e de d Veja o desenho Reta diretriz Foco da parábola