Lista de Exercícios 01 - Sistemas de Comunicação

Sistemas de Comunicacao IT Prof Ricardo Bohaczuk Venturelli Lista de Exercicios 01 1 Em uma rede de comunicagaéo de computadores o tempo de chegada entre mensagens 7 é modelado com uma funcao de distribuigéo exponencial tendo a densidade reW 7T0 fr7 es 0 caso contrario a Qual é o tempo médio entre mensagens com esta distribuigdo b Qual é a variancia no tempo entre mensagens 2 Se X tem densidade fx x encontre a funcgao densidade de probabilidade da varidvel aleatéria Y definida por a Y aX b em que ae b sao constantes b Y xX c Y VX assumindo que X é uma varidvel aleatoria nionegativa 3 Considere uma varidvel aleatéria X definida por fx x aexp bz 00 0o em que a e b sao constantes a Determine a relacao entre a e b para que fx a seja uma fungao de densidade de probabilidade pdf b Determine a fungao de distribuigéo correspondente Fy x c Encontre a probabilidade da varidvel aleatéria X ter um valor entre 1 e 2 4 Uma varidvel aleatéria R segue a distribuigéo de Rayleigh com fungaéo de densidade de probabilidade dada por 2 0ro exp frlr 4 0 0 caso contrario a Determine a fungéo de distribuigéo Frr correspondente b Mostre que a média de R é igual a bm2 c Qual é o valorquadraticomédio de R d Qual é a variancia de R 5 Considere uma varidvel aleatéria uniformemente distribuida Z definida por Oz2 2z 20 faz 2n 0 caso contrario s duas varidveis aleatérias X e Y estao relacionadas a Z por X sin e Y cosZ As d idveis aleatérias X e Y estado relacionadas a Z por X sinZ e Y Z a Determine as fungdes de densidade de probabilidade de X ce Y b Mostre que X e Y sao varidveis aleatérias nao correlacionadas c X e Y sao estatisticamente independentes Por qué 6 Uma varidvel aleatéria gaussiana tem média zero e um desvio padréo de 10 V Uma tensao constante de 5 V é adicionada a essa varidvel aleatéria composta a Determine a probabilidade de que uma medigao desse sinal composto resulte em um valor positivo b Determine a probabilidade de que a média aritmética de duas medic6es independentes desse sinal seja positiva Sistemas de Comunicacao IT Prof Ricardo Bohaczuk Venturelli 7 Considere um processo aleatério Xt definido por Xt sin2xWt em que a frequéncia W é uma varidvel aleatéria com funcgaéo densidade de probabilidade 0wB PD SWws fww4B 0 caso contrario Mostre que Xt nao é estacionario 8 Considere o processo aleatério sinusoidal Xt Acos27 fet em que a frequéncia f 6 constante e a amplitude A é uniformemente distribuida 1 Oal fa 0 caso contrario Determine se esse processo é estacionario no sentido estrito 9 Um processo aleatério Xt é definido como Xt Acos27 fet em que A é uma varidvel aleatéria Gaussiana com média nula e variancia o4 Este processo aleatério é aplicado em um integrador ideal produzindo uma saida Yt definida por t Yt X rdr 0 a Determine a fungao densidade de probabilidade da saida Yt para um instante de tempo particular tk b Determine se 0 Yt é estacionario 10 Encontre a densidade espectral de poténcia de um processo aleatério com fungao de autocorrelacgéo 2 o1rl r 1 Rxt a 7 e r 1 11 Considere um processo estaciondrio no sentido amplo Xt com densidade espectral de poténcia Sf mostrada abaixo S2f Ane 1 0 1 f Encontre a fungéo de autocorrelagéo RT do processo Xt Sistemas de Comunicação II Prof Ricardo Bohaczuk Venturelli 12 Mostre que os sinais abaixo são ortogonais t s1t 1 1 T T2 t s2t 1 T 13 Utilizando o procedimento de ortogonalização de GramSchmidt encontre uma base de funções ortonor mais que representam os três sinais s1t s2t s3t mostrados abaixo Em seguida expresse cada um desses sinais em termos da base encontrada t s1t 1 2 t s2t 2 4 t s3t 3 3 14 Considere as três formas de onda mostradas abaixo t f1t 12 12 4 2 t f2t 12 4 t f3t 12 12 4 2 1 3 a Mostre que esses sinais formam uma base ortonormal b Expresse o sinal xt como uma combinação linear de f1t f2t f3t em que xt 1 0 t 1 1 1 t 3 1 3 t 4 Sistemas de Comunicação II Prof Ricardo Bohaczuk Venturelli 15 Considere as quatro formas de onda mostradas abaixo t s1t 2 1 4 1 t s2t 1 2 1 3 t s3t 1 1 4 1 2 3 t s4t 1 2 2 4 1 3 a Determine a dimensionalidade das formas de onda e um conjunto de funções de base ortonormal b Use as funções de base para representar as quatro formas de onda por meio dos vetores s1 s2 s3 e s4 16 Determine uma base ortonormal de funções para os quatro sinais abaixo t s1t 2 3 t s2t 2 1 t s3t 2 1 3 t s4t 2 2