Princípios de Telecomunicações - Aula 7: Transformada de Fourier

Princípios de Telecomunicações Aula 7 Prof Gabriel Queiroz Email gabrielqueirozcefetrjbr 2 Transformada de Fourier Como definir um sinal em função do tempo no domínio da frequência Por que usar uma transformada Alguns problemas são muito difíceis até mesmo computacionalmente de solucionar diretamente Pode ser mais fácil resolver um problema modificado transformado E reverter a modificação na solução aplicar a transformada inversa O melhor é sempre ter ambas as versões do problema pois se complementam Por que usar uma transformada A representação do sinal no tempo ou espaço está presente no dia a dia Certas operações tornamse mais simples se forem trabalhadas no domínio da frequência O que se consegue através da Transformada Transformada de Fourier de Fourier A Transformada de Fourier Qualquer forma de onda pode ser representada por um somatório de senos e cossenos de diferentes frequências amplitudes e fases A transformada expressa esses senos e cossenos no domínio da frequência Aplicações Modulação de sinais Multiplicar o sinal modulante por uma onda portadora no tempo resulta em convolução na frequência Processamento de sinais áudio e imagem Construção de filtros Deslocamentos na frequência para passar ou rejeitar uma faixa Aplicações Análise combinatória probabilidade e estatística Planejamento de utilização do espectro Eliminar interferência e melhorar a eficiência do uso das faixas de frequência menor desperdício Reconhecimento de padrões Criptografia Machine learning aprendizado de máquina Série de Fourier x Transformada de Fourier Um sinal periódico é representado por uma série de Fourier A energia do sinal está contida apenas nas frequências múltiplas harmônicas da fundamental Funções não periódicas são representadas por transformada de Fourier A energia está em todas as frequências Série de Fourier x Transformada de Fourier A transformada é obtida levandose a série exponencial de Fourier ao limite T Senos e cossenos podem ser escritos em termos de uma exponencial Relação entre série trigonométrica e série exponencial Fórmula de Euler Série de Fourier x Transformada de Fourier Série de Fourier x Transformada de Fourier Exemplos de decomposições Exemplos de decomposições Exemplos de decomposições Condição suficiente de existência Nem sempre a Transformada de Fourier existe Se a integral de Fourier for ser finita então a transformada existe condição de integralidade absoluta Não é necessário mas é suficiente atende à Dirichlet Necessário para a condição de fronteira transformada de sinais periódicos Integral de Fourier Tabela de transformadas comuns Propriedades úteis da TF Linearidade superposição e multiplicação por escalar Dualidade Escalonamento temporal Deslocamento no tempo Translação na frequência Modulação Modulação Convolução Integração e derivação Tabela de propriedades Exemplo modulação AM Existem várias formas de se implementar a modulação AM A mais básica é conhecida como AMDSBFC DSB Banda lateral dupla Existem duas bandas uma em cada lado do sinal da portadora a superior USB e a inferior LSB FC com sinal de portadora full Exemplos modulação AM Exemplo modulação AM O pulso em azul representa o sinal da portadora por isso FC e ambas as bandas laterais estão presentes Quando o sinal de portadora é totalmente suprimido AMDSBSC portadora suprimida Quando apenas uma das duas bandas laterais está presente ou a USB ou a LSB AMSSB banda lateral única Exemplo modulação AM Há ainda outras formas de conceber a modulação AM Na AMDSBSC os pulsos azuis da figura anterior não existem Na AMSSB ou a banda cinza se mantém ou a banda em azul claro se mantém Note que a portadora também é suprimida pelo circuito modulador balanceado Exemplos modulação AM E como isso é feito Primeiro temos o sinal modulante mt e a portadora por exemplo Acosw0t O sinal modulado resultado é a multiplicação no tempo desses dois sinais Para o AMDSBFC a amplitude da portadora é considerada st A mtcosw0t E como isso é feito Para o AMDSBSC a amplitude da portadora é desconsiderada st mtcosw0t Agora como vocês podem lembrar uma das propriedades da Transformada de Fourier diz que uma multiplicação no tempo é uma convolução na frequência E como isso é feito Da mesma forma uma das transformadas comuns é a do cosseno que são dois impulsos nas frequências w0 e w0 st mtcoswt Para finalizar convém lembrar que toda convolução com um impulso é a repetição do sinal centrado no ponto em que ocorre o impulso E temos o AMDSBSC Se mt Mω então mt cos ωct 12Mω ωc Mω ωc E temos o AMDSBSC URGENTE URGENTE A energia original cai A energia original cai pela pela metade ao ser dividida metade ao ser dividida em duas bandas em duas bandas Anexo transformada discreta de Fourier O fato de se ter infinitas amostras no tempo e também na frequência é um problema para a implementação prática da TF Computacionalmente inviável Solução usar um número finito de pontos Transformada Discreta de Fourier Usável em plataformas como Matlab Mathematica etc Anexo transformada discreta de Fourier Um dos algoritmos principais para calcular uma DFT é a Transformada Rápida de Fourier FFT Computa a DFT quando o tamanho N de uma sequência é uma potência de 2 Menor complexidade que o método original