Modulação Angular e Frequência Instantânea em Sistemas de Comunicações

Sistemas de Comunicações I Prof Fabiano Castoldi UNIPAMPA Alegrete Modulação e Demodulação Angular Modulação Angular Conceito de Frequência Instantânea Considere a forma de onda modulada generalizada onde 𝛳it é o ângulo generalizado da portadora no instante t Uma oscilação completa ocorre quando 𝛳it completa um giro de 2π radianos Caso 𝛳it varie monotonicamente com o tempo então a frequência média no intervalo t à t𝝙t é st A cosit ftt ittit 2t Modulação Angular Conceito de Frequência Instantânea Fazendo obtemos a definição de frequência instantânea de um sinal com modulação angular onde a componente derivada é a velocidade angular Desse modo se caracterizarmos a curva da variação do ângulo em função do tempo podemos definir a frequência instantânea por uma reta tangente ao ponto no instante observado Podemos relacionar a frequência angular e o ângulo do sinal instantâneos fit limt0 ftt limt0 ittit 2t 1 2 dit dt wit dit dt it R t 1 wid t 0 Modulação Angular Conceito de Frequência Instantânea Fazendo obtemos a definição de frequência instantânea de um sinal com modulação angular onde a componente derivada é a velocidade angular Desse modo se caracterizarmos a curva da variação do ângulo em função do tempo podemos definir a frequência instantânea por uma reta tangente ao ponto no instante observado Podemos relacionar a frequência angular e o ângulo do sinal instantâneos fit limt0 ftt limt0 ittit 2t 1 2 dit dt wit dit dt it R t 1 wid t 0 Modulação Angular Conceito de Frequência Instantânea Fazendo obtemos a definição de frequência instantânea de um sinal com modulação angular onde a componente derivada é a velocidade angular Desse modo se caracterizarmos a curva da variação do ângulo em função do tempo podemos definir a frequência instantânea por uma reta tangente ao ponto no instante observado Podemos relacionar a frequência angular e o ângulo do sinal instantâneos fit limt0 ftt limt0 ittit 2t 1 2 dit dt wit dit dt it R t 1 wid t 0 Modulação Angular Modulação de Fase PM o ângulo instantâneo é variado linearmente com o sinal da mensagem mt onde wct 2πfct é o ângulo da portadora não modulada e kp é o fator de sensibilidade de fase do modulador radv a frequência instantânea em PM é ou seja varia linearmente com a derivada do sinal modulante Assim o sinal PM é it 2fct kpmt wit dit dt wc kp dmt dt st A coswct kpmt Modulação Angular Modulação em Frequência FM a frequência angular instantânea varia linearmente com o sinal mt onde kf é o fator de sensibilidade de frequência do modulador Hzv o ângulo instantâneo é O sinal FM é wit wc kfmt it R t 1wc kfmd wct kf R t 1 md st A cos h wct kf R t 1 md i Modulação Angular 42 Properties of AngleModulated Waves 155 a b c d e time FIGURE 41 Illustration of AM PM and FM waves produced by a single tone a Carrier wave b Sinusoidal modulating signal c Amplitudemodulated signal d Phasemodulated signal e Frequency modulated signal 42 Properties of AngleModulated Waves 155 a b c d e time FIGURE 41 Illustration of AM PM and FM waves produced by a single tone a Carrier wave b Sinusoidal modulating signal c Amplitudemodulated signal d Phasemodulated signal e Frequency modulated signal Modulação Angular Propriedades das Ondas em Modulação Angular Constância da Potência Transmitida PA22 Não Linearidade do Processo de Modulação Irregularidade de Cruzamentos por Zero Dificuldade de Visualização da Forma de Onda da Mensagem Relação entre Largura de Banda e Desempenho em Relação a Ruído Aditivo Modulação Angular Relacão entre FM e PM Modulação Angular Ex 51 fimin 999 fimax 1001 222 ANALOG MODULATIONS AND DEMODULATIONS mt mt t 1 1 2 10 4 a b d c t t t 20000 20000 wPMt wFMt Figure 425 FM and PM waveforms Dividing throughout by 2π we have the equation in terms of the variable f frequency in hertz The instantaneous frequency fi is fi fc kf 2π mt 108 105mt fimin 108 105 mtmin 999 MHz fimax 108 105 mtmax 1001 MHz Because mt increases and decreases linearly with time the instantaneous frequency increases linearly from 999 to 1001 MHz over a halfcycle and decreases linearly from 1001 to 999 MHz over the remaining halfcycle of the modulating signal Fig 425b For PM It follows from Eq 431c that PM modulated by mt is the same as FM modulated by mt fi fc kp 2π mt 108 5 mt fimin 108 5 mtmin 108 105 999 MHz fimax 108 5 mtmax 1001 MHz Because mt switches back and forth from a value of 20000 to 20000 as seen from Fig 425c the carrier frequency switches back and forth from 999 to 1001 MHz every halfcycle of mt as shown in Fig 425d MHz MHz Modulação Angular Ex 52 fimin 999 fimax 1001 FSK PSK sP Mt A sinwct mt 1 A sinwct mt 1 45 FM and PM Nonlinear Angle Modulations 223 This indirect method of sketching PM using mt to frequencymodulate a carrier works as long as mt is a continuous signal If mt is discontinuous it means that the PM signal has sudden phase changes and hence mt contains impulses This indirect method fails at points of the discontinuity In such a case a direct approach should be used at the point of discontinuity to specify the sudden phase changes This is demonstrated in the next example Example 48 Sketch FM and PM waves for the digital modulating signal mt shown in Fig 426a The constants kf and kp are 2π 105 and π2 respectively and fc 100 MHz For FM fi fc kf 2π mt 108 105mt Because mt switches from 1 to 1 and vice versa the FM wave frequency switches back and forth between 999 and 1001 MHz as shown in Fig 426b This scheme of FM by a digital message signal Fig 426b is called frequency shift keying FSK because information digits are transmitted by keying different frequencies see Chapter 6 For PM fi fc kp 2π mt 108 1 4 mt The derivative mt Fig 426c is zero except at points of discontinuity of mt where impulses of strength 2 are present This means that the frequency of the PM signal stays the same except at these isolated points of time It is not immediately apparent how an instantaneous frequency can be changed by an infinite amount and then changed back to mt mt 1 2 2 2 2 1 999 MHz 1001 MHz ϕPMt ϕFMt a t t t t c b d 100 MHz Figure 426 FM and PM waveformsMHz MHz Modulação Angular Largura de Banda em Modulação Angular Considere os sinais temos a relação expandindo o termo jkfat da exponencial em série de potências se Mf é limitado em banda a B Af também é limitado em banda por B at R t 1 md ˆst Aejwctkf at st Reˆst st A h coswct kfat sinwct k2 f 2 a2t coswct k3 f 3 a3t sinwct i kn f n ant 0 para n grande Modulação Angular Aproximação para Modulação Angular de Banda Estreita NBFM ou NBPM quando kfat1 todos os termos de ordem superior da série de potências são desprezíveis Assim teremos uma boa aproximação para a onda FM e para a onda PM A expressão é similar a um sinal de modulação AM Logo teremos 2B de banda tanto para FM quando para PM sF Mt A coswct kfat sinwct sP Mt A coswct kpmt sinwct Aproximação para Modulação Angular de Banda Estreita NBFM ou NBPM Modulação Angular Aproximação para Modulação Angular de Banda Larga WBFM ou WBPM um sinal FM é somente significativo para grandes desvios de frequência ie kf é grande o suficiente para kfat1 não ser válido Isto resulta no chamado sinais de banda larga FM para os quais devese considerar as componentes de ordem superior na série de potência Para demonstrar considere um sinal mt que é bem aproximado por um sinal amostrado por pulsos retangulares de amplitudes constantes chamados células se o sinal mt possui banda B a amostragem deve ser feita em pelo menos 2B Hz para correta representação isto significa um período de amostragem 12B segundos Teoria da Amostragem Aproximação para Modulação Angular de Banda Larga WBFM ou WBPM Modulação Angular Aproximação para Modulação Angular de Banda Larga WBFM ou WBPM O espectro do sinal FM aproximado é o somatório de todos os pulsos senoidais de todas as células cada sinal sinc espalhase por 4πB como lobo principal para cada lado As frequências máximas e mínimas em cada célula são wckfmp e wckfmp respectivamente Logo a largura de banda aproximada do sinal FM é rect2Bt coswctkfmtkt 1 2sinc h wwckf mtk 4B i 1 2sinc h wwckf mtk 4B i BF M 1 22kfmp 8B 2 kf mp 2 2B HZ Modulação Angular Aproximação para Modulação Angular de Banda Larga WBFM ou WBPM Considerando o desvio de frequência da portador como kfmp rads o pico de desvio de frequência em Hz é e assim a largura de banda em Hz é Entretanto a forma de onda do sinal original é mais suave então a banda deve ser consideravelmente menor Se considerarmos o caso do NBFM como kf é pequeno 𝝙f é pequeno em comparação a B Logo BFM 4B f kf mmaxmmin 4 f kf mp 2 BF M 2f 2B Modulação Angular Aproximação para Modulação Angular de Banda Larga WBFM ou WBPM Mas já definimos que para NBFM BFM 2B Desse modo podemos ter uma melhor aproximação se utilizarmos Este é o resultado obtido por Carson para sinal modulante sendo um tom senoidal Regra de Carson onde 𝜷𝝙fB é a taxa de desvio ou índice de modulação no caso do tom senoidal BF M 2 f B 2 kf mp 2 B BF M 2B β 1 Modulação Angular Aproximação para Modulação Angular de Banda Larga WBFM ou WBPM Para a PM podemos aplicar as mesmas considerações de FM obtendo assumindo dmtdt dmtdtmax dmtdtmin temos Logo Observe que FM depende do pico de mt enquanto que PM depende do pico de dmtdt f kp dmtdtmaxdmtdtmin 4 f kp dmtdt 2 BP M 2f B 2 kp dmtdt 2 B Modulação Angular Análise Espectral da Modulação de Tom a modulação de um tom senoidal é um caso especial no qual é possível a análise espectral exata Seja mt α cosωmt a sua integral e o sinal complexo modulado são por essa equação temos que 𝝙ωkfmpαkf com a largura de banda de mt sendo 2πB ωm Logo at wm sinwmt ˆst Aejwctkf wm sinwmt β f B w 2B kf wm Modulação Angular Análise Espectral da Modulação de Tom assim podemos expandir o sinal na série exponencial de Fourier onde Esta integral não pode ser avaliada na forma fechada porém existem vários valores tabelados para ela dados por uma função Bessel do primeiro tipo e ordem n Jn𝜷 Logo ejβ sinwmt P1 n1 Jnβejnwmt Dn wm 2 R wm wm ejβ sinwmtejnwmtdt 1 2 R ejβ sinxnxdt ejβ sinwmt P1 n1 Dnejwmt Modulação Angular Análise Espectral da Modulação de Tom Assim teremos e pegando somente a parte real Logo o sinal de tom modulado em FM possui uma componente da portadora e uma infinidade de bandas laterais Entretanto as bandas laterais possuem energia Jn𝜷 a qual decresce em função de n o que limita as bandas laterais significativas Em geral Jn𝜷 é desprezível para n𝜷1 Assim para a largura de banda podemos considerar só n𝜷1 resultando em ˆst A P1 n1 Jnβejwctnwmt st A P1 n1 Jnβcoswct nwmt BF M 2β 1fm 2f B Análise Espectral da Modulação de Tom Modulação Angular Curva Universal para Largura de Banda FM em virtude da Regra de Carson nem sempre fornecer uma boa estimativa da largura de banda necessária em modulações de banda larga sugeriuse adotar outros critérios Uma forma mais generalizada e conservadora é calcular a banda considerando apenas os elementos Jn𝜷001 e normalizando para a 𝝙f De um ponto de vista prático a Regra de Carson subestima a largura de banda necessária enquanto que a Curva Universal é muito conservadora Desse modo escolher uma banda que esteja entre os 2 limites é geralmente aceitável na maioria das situações Normalized bandwidth BTΔf Modulação Angular Geração de Ondas FM Existem basicamente 2 métodos Direto e Indireto Direto Utiliza um VCO de modo a variar a frequência de oscilação linearmente com a tensão de controle ex utilizar uma função de mt Podese utilizar um amplificador operacional e um comparador com histerese como em um circuito de disparo Schmitt Outra maneira é variar um parâmetro reativo L ou C em um circuito ressonante de um oscilador Ex utilizar um capacitor variável Este método é utilizado nos osciladores Hartley ou Colpitts onde a frequência de oscilação é w0 1 p LC Modulação Angular Geração de Ondas FM Indiretos geração NBFM e WBFM NBFM ou NBPM observando as equações dessa modulações notase a similaridade com geração de ondas AM DSBSC Assim podemos utilizar um modulador DSBSC para gerar NBFM ou NBPM A desvantagem desse método é o aparecimento de distorções devido as aproximações realizadas Além disso teremos variações de amplitude sNBF Mt Acoswct kfat sinwct kfat 1 sNBP Mt Acoswct kpmt sinwct kpmt 1 Geração de Ondas FM DSBSC modulator mt NBPM A sin ωct π2 A cos ωct At cos ωct θt Hard limiter Bandpass filter Modulação Angular Geração de Ondas FM Por outro lado existem dispositivos nãolineares que permitem limitar a amplitude dos sinais em banda passante removendo a maioria das distorções Limitador de Banda Passante O Limitador de Banda Passante consiste de um limitador Hard seguido de um filtro passafaixas Observe que a saída para um sinal senoidal será um sinal de onda quadrada de amplitude unitária independente da amplitude da onda senoidal preservando as passagens por zero Geração de Ondas FM Método Indireto de Armstrong utiliza a modulação NBFM e então converte para WBFM através do uso de multiplicadores de frequência aumentando o desvio de frequência Δf Multiplicador de frequência pode ser produzido por um dispositivo nãolinear sem memória seguido de um filtro passafaixas Modulação Angular Geração de Ondas FM multiplicador de frequência a saída de um sistema nãolinear de ordem n é da forma considerando o sinal de entrada como uma onda FM e utilizando identidades trigonométricas onde podemos ver claramente os espectros em ωc 2ωc nωc com desvios de frequência 𝝙f 2𝝙f n𝝙f respectivamente Essa operação altera a amplitude a qual pode ser corrigida pelo Limitador PassaBanda yt a0 a1xt a2x2t anxnt yt c0 c1 coswct kf R md c2 cos2wct 2kf R md cn cosnwct nkf R md Modulação Angular Geração de Ondas FM Geralmente desejase aumentar 𝝙f por um grande fator n o que por consequência aumenta a frequência da portadora fc por n O valor de fc pode ser facilmente ajustado utilizandose um misturador conversor de frequência O método de Armstrong tem como vantagem a estabilidade da frequência da portadora Entretanto sofre com ruídos nãolineares inerentes causados pelo uso excessivo de multiplicações e distorções em baixas frequências modulantes onde 𝝙ffm não é pequeno o suficiente sendo fm a freqüência de um tom senoidal Ex de modulador de Armstrong fc1 200 kHz Δf1 25 Hz fc2 128 MHz Δf2 16 kHz fc3 19 MHz Δf3 16 kHz fc4 912 MHz Δf4 768 kHz Δf escolhida para β1 25 Hz β 05 para o pior caso Faixa do sinal em banda base 50Hz 15kHz Demodulação A informação do sinal modulante está contido na frequência instantânea Uma rede seletiva de frequência Hf2πfb sobre a banda FM fornecerá uma saída proporcional à frequência instantânea Existem diversos circuitos que podem realizar isso sendo um dos mais simples o diferenciador ideal Hfj2πf Modulação Angular Demodulação Aplicando o diferenciador ao sinal sFMt temos Vemos que o sinal resultante possui amplitude e frequência moduladas Como 𝝙ωkfmpωc kfmtωc0 t Isto permite detecção de envoltória Para isto ser possível a amplitude do sinal FM deve ser constante ou seja variações devem ser suprimidas por um Limitador de Banda Passante Assim o sinal recuperado será igual ao modulante exceto por uma polarização Esta polarização pode ser removida com o uso de um segundo diferenciados com polaridade negativa dst dt d dt n A cos h wct kf R t 1 md io Awctkfmt sin h wct kf R t 1 md i Demodulador Este sistema de deteção é conhecido como Discriminador de Frequência Balanceado v1t Awc kfmt v2t Awc kfmt ŷt v1t v2t cmt Modulação Angular Efeitos de Distorções NãoLineares e Interferências Imunidade da modulação em ângulo à nãolineariedades lembrando que efeitos nãolineares podem ser representados por série de potência yt a0 a1 xt a2 x2t an xnt Para o sinal modulado a série de potência pode ser resumida como após aplica várias transformações de identidades trigonométricas como wc é grande podemos separar a componente desejada por um filtro passafaixas obtendo xt A coswct t yt c0 c1 coswct tc2 cos2wct2 t cn cosnwctn t c1 coswct t Modulação Angular Efeitos de Distorções NãoLineares e Interferências Efeitos de Interferências considere apenas a portadora como sinal desejado e um sinal interferidor onde quando IA rt A coswctI coswcwt AI coswct coswctI sinwt sinwct rt Ert coswct dt dt tan1 I sinwt AI coswt dt I A sinwt Modulação Angular Efeitos de Distorções NãoLineares e Interferências Aplicando esse sinal ao demodulador de ângulo ideal Observe que a saída do sinal interferidor é inversamente proporcional a amplitude da moduladora Testes subjetivos demonstram que em sinais AM as interferências devem ser mantidas em níveis inferiores a 35dB sinais de áudio Já para sinais FM os níveis precisam ser de apenas abaixo de 6dB ydt I A sinwt para PM ydt Iw A sinwt para FM cos Modulação Angular Interferência do Canal e Filtros de Ênfase Interferência devido ao ruído do canal Geralmente é tratado como ruído branco ie todas as componentes de frequência do ruído possuem a mesma amplitude e o ruído se estende por todas as frequências Modulação Angular Interferência do Canal e Filtros de Ênfase Filtros de PréÊnfase e Deênfase na modulação FM a interferência do ruído aumenta com a frequência sinais de áudio que possuem concentração da energia em frequências baixas sofrem com distorções nas frequências altas onde possuem pouca energia para resolver isso utilizase a técnica de filtros de Préênfase e Deênfase Conceitos Básicos Análise Espectral Geração de FM Demodulação de FM Extras Préênfase e Deênfase em FM Na figura anterior observase que a interferência aumenta com a freqüência em FM Dessa forma a potência do ruído está concentrada nas altas freqüências Como em um sinal de áudio predominam as baixas freqüências o ruído ataca principalmente onde o sinal é fraco Modulação Angular Filtros de PréÊnfase e Deênfase A idéia é que o sistema se comporte como FM em baixas frequências e como PM em altas frequências aproveitando assim o melhor das duas modulações em relação ao ruído interferência para isso no transmissor o filtro de préênfase ressalta as componentes de alta frequência acima de 21 kHz sem alterar as demais frequências no receptor o processor inverso do filtro de préênfase é realizado pelo filtro de deênfase restaurando o sinal original Modulação Angular Filtros de PréÊnfase e Deênfase A função de transferência do filtro de préênfase é onde K é o ganho configurado em w2w1 Para 2πfw1 Para w12πfw2 Assim o filtro funciona como um diferenciados nas frequências intermediárias 21kHz 15kHz equivalente a modulação PM HP f K j2fw1 j2fw2 HP f j2f w1 HP f 1 Modulação Angular Filtros de PréÊnfase e Deênfase O filtro de deênfase é Assim HPfHDf 1 Esse método é utilizado em diversos sistemas não apenas em FM HP f w1 j2fw1 D Modulação Angular Multiplexação de FM Estéreo transmissão Modulação Angular Multiplexação de FM Estéreo recepção